系統統計量について

系 統 統 計

量

に っ い

て

石 川 武 司＊

On

　

the

　

Estimation

　of　

the

　

Location

　_and 　

Scale

　

Parameters

　　　　　　　　　

based

　on　

Order

　

Statistics

Takeshi

　

IsHIKAwA

　 　 Some 　results 　of　the　best　linear　unbiased 　estimaters 　of　the　locatien　and 　scale 　_parameters 　 based　on

the　k　ordered 　samples （the　subset 　of　the　n　ordered 　observations _）from 　the　_population，　of　which 　_proba ・ bility　density　function　is　given　by　g 〔_（x一_μ）〆σ〕ノσ or　g_（x_！σ）〆σ t　habe　been　obtained 　by　Y．　Ukita　6，．But

，the

exact 　numerical 　form 　of　these　esti皿 ates 　has　not 　been　given．　In　many 　practical　situations ，　we 　shall

obtain 　censored 　samples ，　that　is，　such 　samples 　where 　values 　of　some 　of　the　observations 　are　not　avai −

1able　or　missing ，　and 　we 　are 三nterested 　in　the　linear　estimaters 　based　on 　such 　censored 　samples ．

　　In　the　present　paper ，　we 　shall　obtain 　the　best且inear　unbiased 　estimaters 　based　on　k　ordered 　samples

from　some 　special 　populations 　and 　we 　shall　show 　the　numerical 　results 　concerning 　the　optimum 　rank

（optimum 　spacing _＞． §

1

． 緒 言 　確率 密度関数が ロ ケーシ ョ ン とス ヶ一ル パ ラメ ータ ー のみ に関 する ような 母集団がある とき， この 母集団 か ら の n 個の 順 序統計 量XCt）≦X 〔2｝≦…≦XCn）に よ るパ ラ メ ー_タ ー_{の 最 小 自 乗 法に よる推定 量は} ， ま た， それらの最 良線型不偏 推 定 量で ある こ と，お よ び，そ の推 定 量の 各 種 分 布に つ い て の公式と，こ の 分 散と標 本 平均の 分 散 と の関 係 な どに っ い て は，E ．　H ．　Lloyd2｝ ，A ．　E ．　Sarhan3｝． な どに よ り研 究 されてい る。また， n 個の うちの 何 個か が 失われた場 合に， 残 りの観測値 （順 序統 計量）を用い ての_{線 型}推 定 量の 研究は， 宇 喜 多 6），A ．　E．Sarhan3）．_な どに よりな さ れて い る。 n→ oo の場 合に は，　

J

．　Ogawa8），

A ．R ．　MD 　Ehsanes11 

J

．　Ogawa 　and 　K ，　Miyakawa 且o｝

など に よ り， 指 数 分布につ い て， 標 本 P 分点を用いて の研究がある。 本 論 文の 日的は，k 標 本を用い て の最 良 線 型 不 偏 推 定 量のある特殊な 場 合 を 論 じ， さ らに， ある もの に つ いて は最 適な な標 本 を_{決 定 す}るこ とで ある。 §2 ． 最 良 線 型 不偏推定量およ びそ の分散 　母集団確 率 密 度 関数を

f

（X）とす る。

f

（X）に つ い て は 次の三種 類が考 え られる。 ＊ 助手 　 数理 工 学 科 1970年 9 月 30 日受理 i） ii） iii） μ，σ 共に 未 知。 μが既 知で σ が 未 知。 a が 既 知で _μが未知。 2．1． 二 つ の_未知パラ メーターを含む場 合 　／（X_）＝_{g ［（}X一_μ）

1

σ］！σ とす _{る。 こ こに} ， μ，σ は未知パ ラ メ ータ ーで， μ は ロ ケ ーシ ョ ソ パ ラ メータ ー， a は ス ケール パ _ラメー_ター_{とい われ る} 。 　 こ の 母集団 よ りn _個の順 序 統 計量 X ω ≦X   ≦… X （n ）が得られた とぎ， こ の 中か ら， さ ら｝ ’_t　ll 個 。X_{燭 ≦} X _{咆 ≦}…_{≦X ：ik} ）を抽 出する。 た だ し，　

il

，　

i2

，・・，霸 は 1 か らn の 間の整 数で il＜i2〈 …＜ 乱，　le≦n とする。 　い ま，下 記の よ うに，X を Y に変換 す る。 　 Y ＝（X 一μ）

1

σ X ｛。｝に対応するもの をy〔e）とすれ ば， Y ［il）≦YCi2）≦… ≦Y 〔ik）は， 確 率 密 度 関 数 がgω で 与 えられる 母 集 団 か らの サ イズ n _標本に お_け る it，i2，…廐 番目の順 序 統 計 量と考 え られる。 XEヨ_（X （‘ 、｝・X 〔i、）・…・XCik｝プ・y…丕 （Y｛i、｝・y〔‘2，・…y（ik，） なる列ベ ク ト ルを考 える。 　 今後， 列ベ ク トル をXp 忍 行ベ ク トル をX ’ ，　X ’な ど と書 くこ とにする。 　g（y）はパ ラ メ ータ ーを含ま な い か ら， y の平 均E 一₁一

， イ 系 統 統計 量にっ い て　 （石 川 武 司） （Y），および， 分散 共 分 散 行 列 C（Y，17 ’ ）は 次の ように 与 え られ る もの と す る。

　E （Y）＝u＝（Uie）Ck×1）　・c （Y ・y ’）＝w ・・：（Wi

。i。）（kxiC⊃ こ の とき，X の平均お よ び 分 散 共 分 散 行 列は E （x ）一（・u）

（

幻

・σ（x ・x ’）一・2w

　

（2−・） と な る。 こ こ に， 1 ’_＝ （Ll …1）CkXl［とす る。 よっ て ， 　 　 　 　 　s≡ ［x − E （x）］’w −1【x − E （x）］ とする とき， 　 　 　 ∂s 　 　 　 ∂s 　 　 　 　− ＝0 ， 一 ＝0 　 　 　 ∂_P 　 　 　 　∂σ を 満 足 す る μ，σ を そ れ ぞ れ

P

，∂と す れ ば， 　 　 　 　

fi

＝u厂W −1 （ul ’一一1u ’）1）V−ix1A 　 　 　 　 δ≡1’1彫一1_（1u’−_u1 ’_）冊 一ix _／d （2−2） （2−3） で与え ら れ る。こ こ に， 　 　 　 　a − （1’W −11 _）（u’_W −lu_）一_（1’_{W −}1_の2 　これは最 小 自乗 法に よ る推 定量であるが， こ れ が ま た， 最 良線 型不偏 推定量であるこ とは知 られてい る。 　 最良線 型不 偏 推 定 量 とは， 線型不偏 推 定量の中で最小 分 散 を 与 える推 定 量のこ とである。 　μ，σ の 推 定 量 が （2−2）， （2−3）で与えられるとき， そ れ らの 分 散お よ び共 分 散は次の よ うに なる。 　 Var （

fi

）コσ2 ゴ 冊一t麗μ 　 Var （∂_）＝σ21 ’ur−11 ／d Cov _（

_P

，δ）＝ 一σ21 ’_W −1_麗μ 2．2． μ が 既 知 の 場 合 （2−4） （2−5） 　μ＝0 とし て も一般 性 を失わ ない から，

f

（x）　・＝　g （x／ σ）！σ と す る。 こ の場 合に は，Y ＝Xtσ で変 換し， §2 ．1． と 同 様の記 号 を 用い て，全 く 同 様に，σ の最 良 線型 不偏 推 定 量 δが え られる。 す な わ ち，

3

＝“Pvr −lx _／u厂w −1麗 Var （G）＝σ2tu ’置一1麗 §

3

．　

W

が

2

型の対 角行列の場合 （2−6） 　IV−t_{の成 分が} ， 対角お よ びその両 側の要 素を除い て ， すべ て零で _ある とぎ， W は 2型の対 角 行 列とい わ れる。 た だ し， W は対 称か つ 正 則 な 行 列とする。 　W が 2型の対 角 行 列で ある た め の 必 要か つ十 分 な 条 件は宇 喜多に よっ て 求められた。 す な わ ち， 　定 理 （宇 喜 多5）_）W ＝_（Wi ゴ）｛LXk ）が 2型の対角行 列で あるた め の必 要か つ 十 分な条 件は， すべ ての rVこ対 し て 　 　 　 　 wri1Wu 　＝＝　2i_{。 ，}1 ＝r，　r ＋1，…，k　 　 （3−1） であるλが存 在する こ とで ある。 また，こ の とぎ， W − t の要 素 w ｛i _{は 次式で 与え られ る} 。 wt エ ＝一_λ 12！（ω21一え12　Wll_） wkle ＝ − Wl_．k＿1！（Wk ＿1．k− 21k　w1 ．_k−_1）Wlk w 「−1’「 ＝エ

1

_（Wr ＿₁．_r− 11r ω1．r ＿1） ω「 「 ＝一_（Wr ＿₁． r＋1−2t．r ＋1Wt ．，＿1）

1

　 　 　X_（tVT＿1．r −RlrWl．r＿1） 　 　 　x_（Wr ．r＋1一λ1．ア＋1ω且r） （3−2） 　系 W ニ _（略 _ゴ）_〔kxk ）は対 称かつ 正 則で，　rくt の とき 』 ω・t＝ω rr である な らば，　 W は 2型の対 角行 列であり， W −1m （w ｛i ）の成 分は次 式で与えられる。 　 　 　wll ＝ ω11−1＋_（ω 22一ω ll）一1 　 　 　wkk ＝（Wkk −Wk ＿1，　k＿1） −1 　 　 　w 「−1・「 r＝一_（ ωrr − Wr ＿1．r＿1_）−t，r ＝2，3，…　，k − 1 　 　 　w ’「 ≡ （Wrr − Wr ＿1．r＿1）−t＋_（Wr _＋Lr ＋1一ωrr） −l 　 　 　 　r ＝ 2，3_，…_，k − 1　 　 　 （3−3） 　 2型にな るこ とは 明 らか， λ1r　＝　Wrr 　wlt −1 _とおけば 前 定理 よ り た だ ちに えられ る。 　 定理 1 母集 団の 確 率 密 度 関 数が

f

（x）＝g［（x一μ）

f

σ］／σ で _与え られ るとき， この母集 団から n 個の順 序統計 量 X 〔1 ｝≦Xc2）≦…≦XCn）ヵミ得 られた とする。 い ま，i〈ゴな る 信，ゴに対 して，cov （X 〔‘1，X ｛i））＝＝Var （Xu））が 成 り立 つ ならば， n 個の うち の 任意 の k個 XGI｝，　Xu2），…．

XCik

） を 用い た場 合の μ，σ の最 良線 型不偏推 定量， お よ び，そ れ らの分散は次式で与え られる。 こ こに ・− v＊_（協 …・_・ k・・）−1

綴

三

塩

凱

　　x（X 〔i。厂 X 〔ir−1〕） β＝X ｛ip　−ui1　B Var （b）＝σ2　V＊_（i1_，　i2_，’・一_，ik_；％广1

Var _（

_R

_）；∂ _｛Wil 十u2ilV ＊

（il・i2…・騙；π） −₁ ｝ 　 　 　 な V＊_（il ・i2…，砺 n）：Σ （Uir −Vi 。＿、＞ 21 　 　 　 r＝2 　　　　　　×　_（ωi ， −_{Wir −} 、） また， ta，　Wi は， 母 集 団確率 密度 関数が g（X）である母 集 団か らの n 個の順序 付標 本に おける， 順 位

i

番 目の もの の平 均お よび分 散で ある。 　証 明。 r〈8 に対 し て，　 cov （X 【t_，），X 〔1_。，）； Var _（X 〔_ら，） ゆ えに， X ｛il），XCi2），…X 【｛_ρ の分散共 分散行 列は 2型の 対 角 行 列であ り， その逆 行 列の成分は 上述の系で与え ら れる。 よっ て， （2−2）， （2−3），（2−4）， （2−5）を計 算す れ ば 結 果 が え られ る。 　定 理 2 母集団の確率 密度関数が∫（x_）＝_g（x／σ）

1

σ で 与 え られる とき， こ の母集 団か らn 個の順 序統 計量X 〔1｝≦ Xc2｝≦…≦Xc。）が え られた とする。　i〈ゴなる i， ゴに対 し て，cov （Xg｝，　X 〔ゴ，〉＝ Var （Xl）が 成 り立つ な らば，

1

相 模工 業大学 紀 要 第 5巻 第 1号 n _個の う ちの_{任 意}の お個 ・X 〔il），　X ｛i2），…，XCik） を 用い た 場 合の σ の最良線型 不偏推定量 3 お よ び Var（G）は， 次 式で与え ら れる。 ・− v（・・・… …綱

橡 揮  

（x・i_・・−X ・i．−D） 　 　 　 　 　Var （δ_）＝ σ2　V （it，　i2，”・，iin；n）−1． 　た だ し， ttio ＝ Wi 。＝ 0　・X 〔io） ＝ O 　 　 　 k

　　

V（i・・i・・’”・ik；n）＝

ご

、 （U・・ rze ・r−・） 2 ！（Wi ・ 一_・W‘・一・） eCi，　Wi は定 理 1の場 合 と 同 様。 　 証 明は， 定 理 1の 場 合 と まっ たく同 様である。 　 定 理1 ，定 理 2の例。 　母集 団確率密 度 関 数が，次の ように 与え ら れ る場 合，

　

　

　

酬

∵

瞭 一鯛

認

と ぎ 　 Y ；（X 一μ）／σ で 変 換 す れ ば， Y の確率密 度 関 数g（y） は，

　

　

　

　

・… −

！

lx

’ （− u’

　

yas とき よっ て，　 こ の母集 団か らの n 個の順 序 統 計 量の， 順 位   _番目の もの の平均を 秘，，8番目の もの との共分散をWrs と す れ ば，

　　　

幣

∫

『

砌 （・一・−v）r−・ （e−・_）・一・＋1dy 　 ア ＝_{Σ （}n −t＋1）一ユ 　 己 ＝1

　　

ωrr

　

−

　

∫

『

売＠−Ur）2（1−e −一_” ）r−1_（e−v_）n−r ＋td 〃 　 　 　 　＝Σ（n − 1＋ 1_）−2 　 　 　 1＝t r くS の と き

　　　

w _・・　一

∬

czv _（・−e−t ）r−・ （・一一2 −e−・_）・一・一・・ 　 　 　 1 く暫 　 　 　 　 　x _（e−v）n−s ＋te −zdz _〔ly 　 　 　 　＝Σ （n − 1＋ 1_）−2二w ， 。 　 　 　 1＝r 　こ こ1こ_， 　 　 　 　 　k ＝n！1（r −1）〜（n −r）ノ 　 　 　 　 　c ＝π∫！（r − 1_）！（s−r − 1_）！（n −s_）！ 　これは，_定理 1の_条件を満た して い る。 ゆえに， こ の 場 合の 一般の セ ン ソ ード標 本に よ る推 定 量，お よ び，そ の 分散は， 定理 1よ りた だ ちに え られ る。 　ま た，上 記母集団に おい て， P ケーシ ョ ソ パ ラメ ータ 一_{μが既知の場合に は} ， μ＝0 と考えても一般性を失わ ない か ら， Y ＝X ！σ と変 換す るこ とに ょ っ て， まっ た く同 様の計算と な る。 した が っ て， こ の場 合，一般のセ ソ ソード標本に よ る推定 量， お よ び，その分 散は， 定理 2で与え られる。 　最 適 配置 （ic個の標本を 用 い て パ ラ メ ータ　一．_を推 定_す る と き，nCiC 個の 推定量 が考え ら れ る が， そ の中で，最 小 分 散 を 与え る k 個 を最適配 置 とい う）の問題 につ い て_考える ときに，次の ような， 指 数 分布の特殊 性を利用 する。 　r＜S の とき 　 　 　 Ur＜USI　Wrr ＜Wse 　 　 V＊ （1，i2…，毎；n ）＞y＊ （2，i2，…森 ；η）〉…＞ 　 　 　 　7＊ （t2− 1，乞2，’■，乞k；n） 　 　V＊ （1，i2…　，ik；物）＝

V

（il＊，i2＊，…，i＊k＿1；n−1） こ こに，營a＿1＝毎一1，s ＝2，3，…為 　最 後の 式は，μが未知の場 合に は，

X

（1）を μ とし て_代 用 し，残 り （n − 1）標 本 がえ られた と考え，（h −1）標本 を用い て，σ を推 定 _{し よ}う_とい う常 識的 な考え を， 裏打 ちするもの である。 こ れ らの こ と と， 定理 1，定理 2に よ り，μ，e の最適配 置は， まず，　 il＝1で な け れ ばな らな い こ と，i2，　is，…_廐 に 対 して は同 じ順位 が選ば れ る こ と，さ ら に，（n − 1_）個の標 本の_中で， 佛 一1） 個の慓 本を用い た場 合の，δの 最 適 配 置よ り，

fi

，∂ の残りの配 置が求め られるこ とがわ か る。 こ の こ とは， 重要 なこ と とい え よ う。 　 以 上の性 質 を も とに して，k ＝ 1 （1）6_に対 _{し て}，E _の 最 適 配 置 を 求め た 。k＝1に 対し て は，すで に，宇 喜 多6 ⊃ に よっ て 求め られて い る。 k ＝2 （1）5 に 対 して は， G ．Kulldorff12｝ _{に よ} っ て求め ら れてい るこ と が， 最近 わか っ た 。 結 局， k ＝ 6 の場合に つ い ての み報 告 する こ とにする。 （表 1） 　

12v

δにつ い て は， 表1に おい て， n → n−Lk → ．か 1

壱エ ；1，i2，　is，…毎→ il，　

i2

，…，

ik

＿1 と して み れ ば よい。

　 　 　 　§

4

． 対 称 分 布 　母集 団の確 率 密 度 関 数

f

（X）が対 称である場 合，特に 正規 分布に_対し て， F ．　Mostellert 〕_は，_{次の ような} 推 定 量を用い るこ と を提 唱し た （n が大 きい場 合 ）。 a“＝＝

｛

：

：

_蘓識

_鱒

_細 ’　　T　　レア ー一 VL．， 　　　σ ； E（Y_{（n2 厂} y尸_c” 11） 　　　o＊ 　＝　E（YCn4）＋　Y（ns ｝−　Yc”₂｝　−　Y｛nl ，） Y は，規 準正規 分 布に従 う確 率 変 数で ある。 （4−1） 一　3　一

系 統 統計 量にっ いて　 （石川武 司） 　また， H ．　L．　Harter7 ） _は ， 準範囲の一次 結 合を用い， 次の よ うな推定 量 を考え た。 　 　 　 函 ＝Rr／E（Rr） 　 　 　 　−　 　 　 　Rr十2r．r’　Rt’

　　　　　

σ’・「’ 　＝＝　

E

_（

R

。）＋2，．，’E （R。’） 　 こ こ に， 　 　 　 Rr ＝x （”＿r ）− Xtr＋1， 　 2r．ri は，　r，　r ’ 　の み に 関 係 する量で，　 dVar（a，．，’）／ d　Ar．_r’＝0 な る よ うに定め られ る。 　そ し て， r，〆 に対して，　Var （δr），　Var （a，．。’）を 最・亅・ にするものを， 数 値 計 算に より求め た。 　対称 分布に おい ては_， 常 識 的に_{準 範 囲}， あるい は， 対 称 点の一次結 合を用い るこ と が， 自然な もの と考えられ る。 本論 文に おい て は， 対 称 配置を仮 定 した場 合に， 一 般の k での最 良 線 型 不 偏 推 定量に つ い て考える。 　

f

（x） が 対 称で あるか ら，変換， Y ；（X 一μ）1σ，あ る い は， Y ＝Xlσ を施せば，　g（y）は原 点対称と な る。 　 とこ ろで， E（Y・　_c”＿_{r＋ ・）}）＝

le

° k，・9（y）［1一σ（y）］・ ”_t ［σ_（y）】n“’d 〃 一_（−_i）・

！

°°ky・ g（y）［G（y）］r ”

ll

−

G

_（y）］n“’dy 　　　 −oo ＝_{（− 1）}8_五

7

_（】r 匸あ），8 ＝1，2ジ・・， （4−3） E_（Ya），Y・ゴ・）一

！

lc

・Y［G（x）］’“t［σω 一σ（・）】」” ’−1 　 　 　 Xくガ 　 　 　 ［1−G（y）】n−ig （x）9（y）ctxdv

　

−

　∬

σxyl［G（y）

1

π一ゴ_［σ_（X_）− a（y）】ゴー壱冖1_［1− G_（X）］’−1 　 　  くx 　　×9（x）9（写）

dxdy

＝E（】r（．＿ゴ＋1｝・】日（n−i＋D）　　（4−4） こ鵬   一

∫

Vg （・）・ttとする・ ゆ焔 　 　 　 制e ＝一窃n＿i十工， 　 　Wii ＝W ゴi ＝ W _％＿_ゴ＋1・a−e＋1 ；W舛一i＋1m 一ゴ＋t よっ て， い ま，n 個の中の k個と して， 対 称 配置を仮定 する な らば， こ の ときの 平 均ベ ク トル U，分散 共 分 散 行 列 W は， 次の 条 件 を 満 足 する。 　 　 　 　Ju ・＝− u， 」肌7＝W 　 　　 　　　 　　　（4−6） こ こに，

　

　

　

　

み 掴 一 ・鰯 一

｛

1

篇

囲 　 （4−6）　よ り， 　 　 　 　w −1＝JW −IJ 　 　1’叨1−1u ＝　−1’耳厂一1π　c＞1’耳7−lu ＝0（4−7） こ のと き， （2−2）， （2−3）は， 　 　 　

P

＝1 ’　va−ix_／1’W −11 　 　 　 δ＝ ｝＝ u’−VIT”lxlu ’　vv−iu か つ ，その分 散は， 　 　 　 Var （

P

）＝σ2μ’η厂一11 　 　 　 Var （の ＝σ21u ’　W −iu （4−8） （4−9） 　こ こ で， さ らに簡約 化の た め， 次の よ うな補題を導入 する。 　補 題 1　叩：（kxk ）対 称な 正則 行 列，　a，bを任 意の k 次 元ベ _{ク ト}ル と す る。 　a’M −ib　＝1−　

1

　M −a　b’_［

1

_川 ，

1

研

1

は行 列 式。 　補 題 2　A は （kxk ）点 対 称かつ 対 称な 行 列とする， 　

k

が偶数の とき ［Al ＝

IA

，1− Al2Jl・

1

・4tt＋Aエ2Jl

　kが奇数の とき ［A ［＝：：　c_［Aii−．

At2Jl

　’　

LAn

＋A12J 　 　 　 −2ab’ ／c「 こ こに，

　

　

　

　

氤

） l

l

：

1

が

　

　

　

　

　

　

　

　

ぎ

ま たは， ’

A

・・．・ …

婦

午

A

＝ ，’×k_’

1

め ’ 　03 西厂 且21i α

1A2zl

　 　 　 I 　 為一1 万 　A が点 対称で ある こと辷 耳 ゑ ＝ JKJ よ り_， た だ ちに 結果 が え られ る で あろ う。 　今後， k は偶 数 とする。 　補 題 1 よ り 　 　 　 　 u’　

va

『lu　＝1−

11

_ゲーuu ’

i

_！｝　WI 　 　 　 　 　1’

W

−tl ＝ 1一亅M −　ll’

11

_［　val ところ で， 　 　 　 」（w − uu ’）」＝卯一uu 「 　 　 　 J（W −　11’_）」　＝M −　11 ’ よっ て，（

W

−uu ’ ），（W − 11 ’）も また点対 称行 列である い ま， u’ 　 ・＝ _（・ゴ… ’_）・_{… （}

告

・ ・_）べ ・ F・・V， とすれ ば， 補題 2 より， 　麗’耳厂一1翼 ＝　1−

IP

「11− 7「12」−2翼₁翼1’

111Wll

− M12Jl 　 　 　 （4−10） 　 1’W 一ユ1 一_{レ 肝}厂 、エ＋ W 、2」−211 ’

Ylvr

・・＋ 貼 2Jl また， ゴ

W

−_{IX ＝−} U’W −IJX ，1 ’

W

−ix …　1’　W −iJX _を 冒

相 模工業 大 学 紀要　第 5巻　第 1号 利 用 し て ， 　 　 　tt’　VV｝IX ＝ 量｛1 −

1W

− （X −　JX _）u’

11Wl

｝ 　 　 　1’

W

−IX 　＝_巷｛1− ［W −（X 十JX ）1 ’

11

［Wl｝ と書 くこ とが で きる。 こ こに，（W − （1 −JX ）u’），（W − （X 十JX ）1’） もま た点 対 称行 列で あるこ とがわ か る。 x − _（x・ ’_x ・’）・・x・・（彑×12） べ … L・_： とす れ ば，結局， 　u ’W −・X ＝_垂〔1− 1Wii− m _・2J −2_（Xl− JX2_）za1’11 　　　　×　　

lWll

−

W

，2Jl｝　　　　　　（4−11） 　 1’W −・X ＝ 垂 ｛1−

1

　Wlt_＋ V_γt・」− 2（X1 − JX2）1’

1

！ 　 　 　 　x 

I

_隅n 十

W

，2J1｝ 　 補題 3A ’＝（at．　a2…α_の ，　x’＝＠1　x2＿Xk ）． 　 　 　 U：（lex1）ベ ク トル 　 　 　 k

　　

lAl

−

1A

−xy ’

1

＝ _ΣXila1 …y…akl（uは

t

列 目）

　 　 　 t；1 　い ま， （Wl1 −　W12」）の第1行でつ くられ る ベ ク トル _を W ’tと し， Ct≡

IWI

…Wl ＿1UtWl ＋r ・・IVk／21 とおけば （4−10），　（4−11）　より， δ＝6 ＝ 〃 2 Σ　Ci_（XCi_ρ一XCn−il＋1，） 己＝1 　k／22 ΣtetCl 　 己＝1 こ こ に ，麗、厂＝（”IU2 …Uk ／2） 　 別の書ぎ方を す れば， δ． δ。 σ・（X ・画 ＋ ・厂 Xa ・・）＋ σ・（X・一

1q

・ ・1 − _{X ・‘} ・・）＋

CiE（Y 〔m ＿‘1＋1）− Y 【il｝）＋C2E （YCn−i2＋1，一

　呷呷一＋Ck／2（x （n＿ik／₂＋n　− x ｛ik／2｝）

　　　　　

Y（i2））＋・一一＋Ck／2E （YCn −ik／2＋1｝−

　

Y（ik／2〕） 　 　 　 （4−12） 特に，

C1

＝

C2

＝ …＝

Ck

_／2 と考え ら れ る ときは， F ．Mostellerの提唱 した推 定 量 とな る。 正 規 分 布の場合 で_， n→ OG の とき，各

Ci

が近 似 的に等 し くな る か ど う か， 今の とこ ろ わか ら ない 。 ま た，これは，k ＝2，4 の 場 合に は， H ．　L ． 　Harter _{が考え た}推定量 と一致し てい るこ とが わ か る。 　同様に し て， （4−8），（4−10），（4−11）よ り

μ

雌 偏 ・

号

（ ＋X （il））＋C2＊（XCn−i2＋1）＋X ［i2） σ1＊＋σ2＊_＋ …_{＋ σ}＊_k ／2） ） 　　　　　＋ …＋σ＊ k／・（x 〔，、−ih ／E＋ ・1＋xw 、，） （4−13） 　 　 　 （皿、、＋ W12」γ＝＠1 ＊_tv2＊… tW ＊k〆2） また， こ の ときの分散は，それ ぞ れ 次 式で 与 え られ る。 　 　 　 k／2

　 　Var（σ）＝Var （δ）＝σ21　Wlr 　W ，2J ］／Σ （−2C・tee）

　 　 　 e＝1 　 　 　 　k／2 　　Var（

P

＞＝σ21　Wn ＋ W12JltΣ 2σe＊ 　 　 　 e；1 　 　 　 （4−−14） よっ て， 次の定理 を得る。 　定理 3　母 集 団の_{確率 密}度 関 数

f

（X）が 対称で ある と き，　こ の 母集団か らの n 個の順 序 統 計量の う ち，対 称 配 置にあ るle個 （偶 数個 ）を 用い た と きの ス ケ ール パ ラ メ ーターの最 良線 型不偏推定 量は， ロ ケーシ ョ ン パ ラ メ ー_タ ー_{の 未知，既 知}に か かわ らず同 じであり，そ れは， 準 範囲の一次結合で， 式 （4−12）で 与え られ る。 ま た， ロ ケ ーシ ョ ソ パ ラ メータ ーに つ い て は， 式 （4−13 ）で与 え ら れ， そ れぞれの 分 散は，式 （4 −_{14）で与え られる} 。 　k ＝2，4 の場合，

fi

，∂ を具 体 的に書 き下せば， k 二2 の とき， 　　　　　δ≡δ三（X【n ＿il＋v　− X （41，）

1

− 2殉 1 　 　 　 　 　β＝（X 〔π＿iL＋1）十X ｛i1））

12

　　　 Var _（σ）＝ σ2（WivilMWi _ゴCn−i1＋1｝）

12ca2i

_，

　　　 Var （_β）≡σ2（w ｛1・il十 WilCn −il＋1⊃）！2 　正規 分布の場 合， こ の 場合の 最 適 配 置は， W ．　

J

． Dixont】 _{に よ} っ て，求め ら れて い る。 k ＝4 の とき 　C・　＝　U・、（Wi、‘、 一ωd 、・3）−U・₂（_鄲 、 −_Wi 、is）・

　

σ2＝Uil _（Wilil −Wili4）−teil_（ωtli2−Wilis）・

　∂＝3 ＝｛

Ct

（x〔iV　’Xa _、｝）＋σ・（Xi_、− x 〔‘，））｝！ 　　　　− 2（σ・Ui_、＋σ・a ‘₂）・ 聯 ）− a2 ｛（鯛

皇

_叢

聟

_き

_義

” 鯉 　　　　　　　　　一（ω11i2−Wil ‘₃）2｝ ここに， Ce＊ ＝ 陬1＊…w ＊e＿tlw ＊ε÷1…ω ＊_κ／2［ これは， 式 （4−2）で ある。 　 また，

　

σ1＊ ＝（tViEie＋Wi2i3）一（ωiliZ＋Wi1‘_S）・

　C2＊ ＝

（w ｛lil＋Wilt4）一（Wili2＋Wilia）・

　

μ＝

　

｛

c1

＊（

x

_〔i4_｝＋x 〔_‘1］）＋ c2＊（x ｛t3）＋

XCd2

｝）｝！ 　 　 　 　2（σ1＊＋ σ2＊） ・・ ・… 一 σ2_隔

論

拶

欝

’

細

　　　　　　　　一（Wi 、i2＋ Wi ・垂） E_｝ こ こで ，is ；n −

i2

十1，蛋4 ＝n − il十1 　正規分布の場 合，　 k ＝4 の とぎの

fi

の最 適 配 置， お よび， その係 数 を，表llとし て与えた。 相 対 効 率 R ．　E ． （

P

）は，標 本 平 均の 分散 との 比で_ある。 一₅一

系 統 統計量に っ い て　 （石 川 武 司） 司 む　 　 す び 　定理1，定理 2で与え た条件を満たす母集団 と して は， 現 在の とこ ろ， 例で与 えた指 数 分 布 以 外に みつか っ て い ない_{。 今後}の 課題 と して，こ の 条件を満たす 分布族につ いて の考察とい うこ とが考え られ る であろ う。 また，対 称 分布につ い て は，種々の母集 団が考え ら れ る が，今 回 は正 規 分布を 念 頭にお い て考 えた。 他の対称分布につ い て も，今 少 し考察を 進め たい と思 う。最 後に，こ の論文 を作 製 する にあた り，東 京 理科大学 宇喜多義昌教 授， 宮 川強 助教 授に 問 題の提 起および研究等に おい てい ろい ろ お世 話に な りま し たこ とを深く感謝いた し ます。 表 1　指 数分 布 （μ ≡0）に お ける a の 最 高配置 k ≡6 6789012345 　 　 　 　 111111 ・6

［

78901 11122 1 ．   1222333444556666 2 ． 易 2344556778990111 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1111 3 響 Z345677890 　 　 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 − 4 ▼ 勉 1・

1

・3 223445 111111 5 ． 勉 6 ．   6789012345678901 　 　 　 　 111111111122 5678901234567890 　 　 　 　 　 11111 正 11112 456789012 　 445678 　 　 　 　 　 　 111 　 111111 Var （σ）fa2 O，’1667’ 0．14310 ．12540 ．11170 ．10060 ．091620 ．084060 ．077680 ．072220 ．067480 ．063310 ．059640 ．056380 ．053450 ．050810 ．04840 R ．E （σ） 1．00000 ．99830 ．99680 ，99520 ．99390 ．99220 ．99130 ．99030 ．98910 ．98800 ，

98730

．98630 ．98540 ．98460 ，98410 ．9838 ’− 表皿　正規 分 布にお ける

4

の _{最 適} 彫 ；4 標_{本 （対 称}配_置） n　 　 il　 　 i2is 　 　 i4 1b 456789012345 　 　 　 　 　 　 111111 111111112222223333445556　344567788900 　 　 　 　 　 　 　 　 1 　 1 4

：

_l

ll

、

l

ll

』

ll14

0．2500 ．2030 ．27603090 ．1670 ．1500 ．1600 ．1450 ．2240 ．2060 ．1920 ．200

b

・

　

…

0．250　

i

O．2970 ．224 　　1 ・・9・

「

0 ．333　 　 1 0．3500 ．3400 ．355 ・276

_［

O．294

1

：

：

991

Var 　（

P

）

1

σ2R ．E （

P

） 0 ．2500 ．2040 ．1730 ．1480 ．1310 ．1180 ．1060 ．09670 ．08860 ．08180 ．07620 ．0711 1．0000 ．9800 ．9650 ．9660 ，9580 ．9440 ．9440 ．9400 ．9410 ．9400 ．9370 ．938 例え ば， n ＝10の と き

P

・＝b・（Xci_、｝＋x （i4，）＋bx（Xt‘

1

）＋x 〔is｝） β＝O．160（Xa ）＋XCID））＋0．340（Xc_の＋X （7）） Var _（

_p

_）＝ 0．106 σ2，　R．　E （_β）＝ 0 ．944．

相 模工 業大学 紀 要　第 5巻　第 1号

　 　 　 文 　 　 献

1_{）　 F}．Mosteller ： Ann ．　Math ．　Statist．，　 Vol ．17

　 　 （1946），pp．377−408，

2_）E ．H ．　Lloyd：Biometrika，　 VoL 　39．（1952），

　 　pp．88−95．

3）　A ．E．　Sarhan： Ann ．　Math ．　Statist．，　VoL　25

　 　 （1954），pp ．317−328．

4_） W ．J．　Dixon ： Ann ．　Math ．　Statist．，　 VoL　28

　 　 （1957），pp．　SO6−809． 5_{）　宇 喜 多 義}昌；北 海 道 学 芸 大 学 紀 要，6−1 （1955）． 6）　宇 喜 多 義 昌： _{北 海}道_学芸大学 紀 要_， Vol．6（1955）， 　 　 pp．54−65． ） 7 ） 8 ） 9 10） 11） 12）

H ．L ．　Harter： Ann ，　Math ．　Statist．，　Va1 ．30

（1959），pp．980−999．

J．Ogawa ：Ann ．　Inst．　Statist．　Math ．，　Vol．12

（1960），pp ．135−141．

Sarhan　A ．E．　and 　Greenberg 　B．G．： Contribution

to　Order　Statistics，_（1962_），　

Wiley

，　New 　York ．

J

．Ogawa 　and 　K ．　Miyakawa _{二 日大生 産工 学 部}

報 告　1−1， pp．105−108．

A ，K．　MD ．　Ehsanes 　Saleh　 and 　 Mir　 M ．　 Ali_：

Ann ．　Math ．　Statist．，Vol ．37_（1996_），　_pp，143−151．

G ．Kulldorff： Ann ．　Math ．　Statist．，　 Vo1．34 pp．1419−1431．