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(1)

大規模系のための逐次分散形オブザーバー

      (昭和53年10月28日 原稿受付)

情報工学教室高田等

ADecentralized Sequential Observer for Large−Scale Systems

       by Hitoshi TAKATA

       ABSTRACT

  The implementation of the sequential observers with a gain of the Kalman filter s type, such as an extended linear observer, a second−order observer, and so on, incurs computational diffi・

culties for some practical reasons, and this is true especially in the applications to large−scale

systems. These difficulties can be overcome by using a partitioning technique. Based on this concept, a decentralized linear observer for large・scale systems is developed. This observer is partitioned into a number of local observers which are interconnected only through a supervisor

or predictor.

  The numerical example shows that this observer enables us to estimate the states of a

large−scale system properly.

      器であるスーパーバイザーを通してのみ間接的に行なわ

1・序論        れる.な路サブシステムには各々に局所オブザーバー

状態推定機構としては,確率系に対しカルマンフィル   があり,それはスーパーバイザーから与えられた予測情 タP拡張カルマンフィルタi)2次近似法フィルタ3)など   報と,そのサブシステムの観測データ,および観測方程 がある。一方,確定系に対しては,それぞれそれらに比   式のみを基にして,そのサブシステムの状態推定を行な 肩するものとして線形オブザーバー1)拡張線形オブザ   うものである。持にもし,個々の観測データなどが一箇 一バーP2次近似法オブザーバー6)などがある。上記   所に集められ一度に使用できるならば, 換言すれば,サ のフィルタやオブザーバーはいずれも,全システムのあ   ブシステムが唯一個の場合には,本オブザーバーはカル

らゆる情報が一箇所に集められ,そこにおいてあらゆる   マンフィルタ形オブザーバーゲイン6)をもつ線形オブ 推定演算の処理が可能であるという前提があった。しか    ザーバーと全く同一のものになる。

し大規模系になると,情報収集,計算機記憶容量,計算     最後に数値実験により,本オブザーバーの有効性が確 時間などの面からこの種の推定器では,その適用が極め   められた。

て困難,非経済,あるいは実行不可能にさえなる。これ

       2.逐次分散形オブザーバーの構成 らの点を克服するために,確率系に対しては,大規模な

システムの分割と統合の概念を導入した分散形フィルタ    線形確定系の大規模システムが次のN個の相互作用 が研究されてきた;)−ll)しかし確定系に対してはこれら   のあるサブシステム亀(z1,,1V)により記述される に比肩するものが見当らない。       としよう。

 そこで本稿では,大規模な線形確定系に対し逐次計算      N    .   .

鷲;撫織li藁iiき&膨:∴∵1璽一6

(2)

ここでκκ(のは幡目のサブシステムS のη ×1状態   ただし

ベクトル,yκ(のは勿 ×1観測ベクトル・F旬:η ×物行    x;〔κT(1),……,κT(N)〕丁

列・凪 :勿 ×物行列・b々(の:批×1ベクトルである。    y=〔ヅ(1),……,yT(N)〕T  さらに各サブシステム間には次のような制約があると    b=〔bT(1),__,ゲ(N)〕T

しよう。       、F= 瓦l Fi 2 ……Fi N

(i)各サブシステム間には互いに直接的な情報交換が       E1抗2__EN

(ii)各サブシステムS,は自己の観測データyκ(2)      」臨、凡、__Ew

(1(=1,2,3,…)のみ得られ,他のサブシステ    H=H1   0

ムS、(ノ≠のの観測データは全く得られない。         王f2

(iii)各S、は自己の観測行列Hκ、(κ=1,2,3,…)      ・・.

については,その値を知るが,他のHκ、(∫≠のにつ       O   HN

o

いては全く知らされない。      このとき2V個の推定式(3)はまとめられて

(6)

      」εκ1κ= 」εκ1κ_1十、Kκ(y仁〃κ∫κ1κ.1)       (7)

さてこれらの条件下でのシステム(1×2)に対し・逐次計算    ただし豆κ1κ=巨」|κ(1),…,厄1κ(N)〕丁 可能なオブザーバーを構成しよう。       fκぽ.、=巨蓄1κ.、(1),_,鎌1κ.、(N)〕τ

[推定式]       K、=

 システムが線形で,かつ(i)〜(iii)の制約条件が あるので,各サブシステムS のκκ(⑪に対する状態推

定式を

元。、。ω=元緬( )+κ。、(y。ω与繭、。.1ω)(3) と記述される・

κκ1   0

  κκ2

0   、κκN (8)

      さてスーパーバイザーは(7)の推定値万κ1κが時刻κの経 とおく。ただし元κ1胸(のは時刻κにおいて観測値yκ   過とともに状態真値x、へ近づくように,すなわち

ωが得られる前の刷の予損‖値・紬のは・・ωが ,。全聯万。、κ

得られた後の蝋のの推定値,およびκ陥は%×〃2 オブ

ザ_バ_ゲイン行列である。       に対し

 なおサブシステム間には相互作用があるので,各サブ     llθκll2全己θκ一→0  (κ→∞)

システムが個々全く独立に痴κ一1(のやK陥を計算した   となるように,各サブシステムS @=1,…,N)ヘオブ

のでは・全体的な状態推定・強いては自己κκ(のの推定   ザーバーゲイン1(κ、( =1,…,N)に関する情報を与えな

も正しく行なえないであろう。そこで各サブシステムの   ければならない。このために,まず次の行列繰り返し式を 状態推定を合理的に行なわせるために・システム全体的   導入する。

璽籔藁璽竃1璽:1∴一{1箒瓢(鴇鷺rl㍗∵1

〔スー・一バイザー〕    ただ日:単位行 小α=〔?1㍊である゜そ

スーパーバイザーは全体的な蜴からその役割を果す の際C。、( −1,...,N、κ=1,2,……)を正定イ直対称行 ので,(1)②に対するそれぞれN個の方程式を単一のもの

       列(Cκご>0)(注1)におけば,Cκ>0になることから,

にまとめた,つぎの式で取り扱った方が便利である。

      N    先験値Q1もQ1>0に選定すればすべてのK=1,2,

  力学系:xκ+1=Fκxκ+玩  (η×1;η=Ση、)

       ゴ=1

(3)

っぎに重みつき推定誤差己Pど1eκを導入する。(7)より

 eκ=Xκ一fκ1κ=(∫一頁κHκ)Fκ一1¢κ一1   (ID

であるので(9)〜(1Dを用いれば

 ε乏Pえ1θκ=θπ_1F正1(∬一κκHκ)τPえ1(∬−KκHκ)

Pκ=

Pkll……昔li・・…・B(IN

PJIゴ……1L商……1「kiN

P乏IN……p孟N……昔NN

   Fκ一1θκ一1≦θ1 1FJ−1(∬−KκHκ)T{(∬−KκHκ)    である。ここでサブシステム5τには観測行列Hκご以外

   Qκ(∬rKκ11κ)}一1(∬−1(κHκ)Fκ一1eκ一1       のHκゴ(元キ ,元=1,2,…,N)は全く与えられないという   =θ1−1FZ−1Qえ1Fκ一1θκ一1=θ1 1Pえ]1θκ一1   (12)  制約条件(iii)がある。この下で(15)のノκを最小にする すなわち       Kκ、を求めるというときには,第3項については,現段階

  elPえ1eκ≦己一IP万!1θκ.、       では何ら配慮することができないであろう。しかし後の(23)

となる。一方P、の最大固有値をλm、.(Pκ)とすれば    式で,第1と第2項の最小化が第3項の減少化にもつなが

  P万1≧(1/λm、x(Pκ))∫  (λm、。(Pκ)>0)      っているということが示されるであろう。よって当分の

の関係があるので02)より       間,第1〜2項の最小化を行なうことにしよう。このこと

  1/λm,x(Pκ)eleκ≦εIP記θκ≦θ8Prlθo,   (13)  は,サブシステム5 のためのゲインK苗については単に

故に,λmax(Pκ)→0(κ→∞)とできればe1θκ→0    第1項の

(κ→oo)が得られる。       ノκ、全Z『戯 Z、       (1θ

 なおPκは正定値対称行列であるので適当な正則行列       B(、ご=(∬−1(κご1∫κゴ)Qκ、ご(∫_κ.混、、)T+KκゴCκば孟

BによりPκ=βTβと表わされる。スペクトルノルム      (17)

の性質から      を最小にすることと等価である。そのときのノ苗 を最小

  llPκll=λmax(Pκ)=λmax(Bτβ)=llBll2       にする1(陥は

    =・up llB・ll2=sup(〆p・・)  (14)  K。、=Q。、、尻(臨Q。認孟+㈲一1

     11Z l=l       llZll=1

      ( =1,…,2V)  (18)

であるので,λma。(Pκ)をできるだけ小さくするためには

      として与えられる。さてこのとき丑∠ゼは(18)を(17)に代入し

  ノ漣〆P口 (膓=〔zr,…,認〕T)    て

を最小にするようなゲインKκを求めなければならない。     BΩ、=(∬−1(κτHκ )Q疏      (19)

 以下,そのようなゲインKκを導出しよう。      =(Q誌十H孟C訂H厄)−1       (2①  〔オブザーバーゲィン〕      である。この状態で,さらにノκ匡の最小化を行うために(20)

 (9)に(6)(8)を代入し,Cκを固定して考えれば       より,始め任意に固定していたCκ、>0をできるだけ小さ

      く選ぶことにしよう。しかしながら(18)よりH苗が最大階

み:露蕊:㌘箋(㌫罐』.㌶㌫蕊1誓驚藍㌣霞

      虞})       正定値対称行列の範囲で,使用する計算機の精度に応じ      (∫一κκ」Hκ」)T+1(κゴCκゴκZゴ}る         て,できるだけ小さく選ぶ必要がある。

    +羅{(∫−Kκ Hκ )Q…(∬一κ・・鋤「}る  っぎに,オブザーバーゲイン(1鵬出の際には何ら考       (15)  慮されなかった(15)式第3項について検討しよう。

ただし       (9)より

Qκ=

Qκ11……Qκ1τ……QκIN

QI1 ……Qκ〆・…・Qκw

Q姦1仏・・…Qlw……QκNN

 昔∠」=(∬一κκ混κτ)Qκτ」(∫−Kκ豆Hκ」)τ ( キ∫)

      (21)

である。(19)を代入すれば

  Bω=B(商Q品Qκ 」Q云}」B(刀         (22)

(4)

となり,岡式第3項は      が計算できる。しかも更に,次時刻の推定のために必要   Σz『(∫一κκ HκルQκぎゴ(∬一κκゴHκ」)τZ」      な」6κ+11κとQκ+1を(4)(1①から,

  ノ‡1

   =Σ∂1砕ゴiQ }iQκゴ」Q云}」1巳」」Z」    (23)   fκ+llκ全〔冤+llκ(1),……,百+11κ(N)〕T

となる迫式はQ。が与えられたとき,疏一1,…,N)  =踊・・+b・

      Qκ+1=(Qπ+1∠ゴ)=FkPκ躍

を(18)に選び,しかもCκ >0を小さく選定して06)すなわ

ち翫 (z1,,1V)をできるだけ小さくすれば,自ずか   により計算し・各サブシステム&へ翫+11κ(のとQκ+田

ら(23)すなわち(15)の第3項も小さくなることを示している。  を送る。

 結局,各 (2−1,…,2V)に対し局所オブザーバーゲイ    従って先験値元11・・Q1を与えれば上記の繰り返しによ

ンを      り,逐次的にしかも各サブシステムごとに推定値を計算   1(κ、=Qκ 混品(H幻Qκ認」汁C。、).1     (24)  できることになる。その際各サブシステムは単に幼×幼   (Cκ、:十分小さな要素からなる正定値対称行列)    次元の逆行列計算で済み・しかも悪条件(i11−condition)の に選ぶことは,(15)すなわちλm、.(Pκ)を小さくすること,   ような数値計算上の問題は決して生じない。またスーパ

換言すれば(13)から全体の推定値∫κ1、を真値κ、へ近づけ   一バイザーと局所オブザーバーの間の情報交換量は単に ようとしていることになる。      ぽκ1κ(の・且 )とぽκ・11κ(の・Qκ・1のであるので・

 なお特にサブシステムが1個のとき,すなわち大規模系   η・(η +3)/2要素のみの交換でよい。この関係のブロック が分割されずに本手法が適用されたとき,(17)〜(19)から容   図をFig 1に示す。

易に推測されるように

      に ぺ    く     む  

  κ・=Q・扉(HκQκ扉+c。)一         A−,,・.,‥,、、,。1

  {

  P。=(∬−KκHκ)Qκ     (25)   −R二ご・二可コこ這・二二ニヌニ孟河一

となりカルマンフィルタ形オブザーバーゲインが得られ

る。このときには筆者ら6)により豆κ1κはXκへ漸近収束         X・lk−・=F礼一・lk−、+b

       叫・(Q、、」Hp、.、rT することが証明されている。

       ガ      

さて従来の(25)の場合には・×姉=星・欲元の逆行   (tピ1)) (;ll・(う

列計算が必要であったのに対し,N個のサブシステムに

       ㌦、・0、、、H:(H、0、、iHl・C、)≡1 分割された我々の(24)の場合には,わずかηご×κ 次元の逆         ・、1、{・)・・、1、.、( )・K、、(・、(・)−H、x、1、.」・))

行列計算で済む特長がある。       ㌦1=(1一㌦iH、)

       SI       SUBSYSTEH    :  SI       SN

 以上のことからつぎの結論へ達する。

       Fig.1Block diagram of Estimation

〔まとめ〕

 各サブシステムS (21,,〜V)は,スーパーバイザ

ーから元κ1κ.1( )とQκ 、が与えられれば,(3)(24)から推定    なおスーパーバイザーは各時刻において行列Pκを知 値元κ1κ( )と行列       るので・llpκll=λm・x(Pκ)の大きさにより全体的な収束

       状況を常に把握することができる。しかも単一サブシス

   ・・全∫一κ・翫     (2⑤ テムのとき1、は漸近収束させることができるので,スー

が計算できる。      パーバイザーはいくつかのサブシステムの再統合・再分  一方スーパーバイザーは各サブシステムから痴κ(の,   割などを行なわせることにより,全体としていつも収束

ル1κf(z1,,」V)を受け(19)(2Dを用いて      できるように指図することが可能である。

  豆κ1κ=〔爾κ(1),…,競1κ(N)〕丁      以下に推定のアルゴリズムを示す。

  Pκ=(且τゴ)

ただし o::二篇1鵬因(27)。;ア㌫:1,Q、

(5)

〔サブシステム:S 〕      Observerと呼ぶ)を適用した場合・およびスーパーバイ 1〕 スーパーバイザーからfκ1κ.1(のとQ陥を受ける。   ザーがなく3個の各サブシステムが独立に(ηゴ;微)次の 2〕κ陥=Q肋H孟(H。、Q。、、尻+C・・)−1       カルマンブイルタ形ゲインの線形オブザーバー (以下 3〕痴κ(の=元κ1κ.1(i)+κκ∠(yκ( )−Hκ 痴κ一1(i))   N−independent−Observerと呼ぶ)を適用した場合も同 4〕1ぬ、=∫_κκ Hκ、       時にシミュレーションした。なお後者の場合には各サブ

5〕元κ1κ(のと1レfκゴをスーパーバイザーへ送る。      システム間において 推定値蜘κ(の(ゴ=1,…・N)の

〔ス_パーバィザー〕      みの情報交換は常に行なえるものとした。特に本例題の 6〕冗。,。一〔蕗1κ(1),・・…・,硫(N)〕T    よう}・勿・=1のときにはDecent・alized−Obsewe「とN−

7〕pκ=(&」)      independent−Observerには逆行列の計算が必要でない。

   澱 ;〃κ Q陥ゴ (21,,1V)      オブザーバーの先験値としては   {

   昔、3=〃κ、Qκηルfl5 (iキ元,1≦ゴ,元≦N)     豆llo=0, Ql=FPoF7 ただしPo=(Zも、、)

8〕漏κ.、1。=F。fκ1κ+bκ      1411=R33=几55=10−6,丑22=島44=島66=

9〕 Qκ+1;FκPκFZ      =10−12,その他は几∠」=0

10〕各サブシステム&(21, ,2V)へ(宜+11κ(i),   とした。またオブザーバーゲイン係数については   Qκ.、川を送り,K=K+1とおき1〕へ帰る。    Cκτ=10−12( =1,2,3;κ=1,2,…)とした。

      Fig.2〜Fig.7はそれぞれ,各6個の要素の推定比

 3.例題       魚1κ〔2〕/κκ〔日@=1,…,6)に対する軌跡である。本法

 っぎのシステムを考える。      のDecentralized−ObserverではGlobal−Observerほど

  xκ・、=Fxκ       の精度のよい推定値は得られないが,それでも14段目ご

 {

  yκ ニHxκ       うからほぼ完全に推定できた。一方スーパーバイザーを

ただし21…−11…11  もたないN−i・d・p・ndent−°bse「ve「では全く擬できな     一11.5i 1−1 i1−1  かった・

 F=             

H=

1 1i21i−11

1    1  i −1  1.5  i 1   1

1  −1i 1 −1 i3  1

−1   1  i  1   −1  i−1  1.2

01i   O   iOll

O    :01

父/X

l

 4

2

0

一2

      訟  合

      オ  ト       コ コ       コ  コ      コ ロ

      il li

      l  l    | l

      l l   ll

      オ   も         コ        コ      コ  コ

      ロ    ロ      ロ

へ   い  ii

、   il い

∫〜   l l −

11−._/!〔 i il        エ

 ,,一 −」      レ「  l l

 ,           I   l

^,        1   |   

           1               8

           

                  1           l        I  |        ロ   

       》

         1     0 5101520STEP

 初期真値:κ1=〔0,0,0,2.5×10 4,0,

        −1.25×10−2〕τ。      Decentralized−Observer

       ヨ       や

1V=3個のサブシステム批=2,勿∠=1b=口ぴ=       Global_Observer 6吻=ふ=3)}・分割して2節の逐次分散形オブ    wN二6ぷ口;高b・e・v・・

    ゴニ 

ザーバー(以下D㏄entralized−Observerと呼ぶ)を適用

した。比較のため05)の(η;物)次に対する1個のカルマ     Fig.2proportion of Estimated values to

ンフィルタ形ゲインの線形オブザーバー(以下Global−       True value of the lst component

(6)

矛X

2  2

4

2

0

一2

5

l l      O

リ   ハ

ー         −2

0        5       10       15       20 STEP

台   《  rl

D 5101520STEP

Fig.3Proportion of Estimated value8 to         Fig.6Pmportion of E8timated values to     True value of the 2nd component       True value of the 5th component

X/X

1  3

 4

2

0

      令 1   ぴ

      パ    1      4    ・   λ      l l    l

      ハ  い  i

,.. 1い い/1    2

1      1   、    1  〆 l  l       、 ,亀」     ;  1

.,,:            1  !      0

一2 7        》・      −2

 05101520STEP O5101520 STEP

Fig.4Proportion of Estimated values to         Fig.7Pmportion of Estimated values to     True value of the 3rd component       True value of the 6th component

4

2

ii

い     4・結言

ii

i i         以上大規模系のための,逐次計算可能な分散形オブザー

     エ

l i       バーを提案した。本オブザーバーは例えば,電力系統に

      コ

o      i        おける多機系統の過渡状態推定問題のような,計算時間

      :

      1       や情報伝送が制限された大規模系の推定問題などにおい       :

−2       i       て,その有効性が発揮されるものと思われる。

      :

 0 5101520STEP

      参考 文 献

Fig5P・・P・・ti…f E・tim・t・d・・1・es t・ 1;,蕊1㌶1二;惣1蒜蒜瓢C㌻、齋

      True value of the 4th component       1960,

(7)

2)H.Cox,・On the Estimation of State Variables and Para・   7)AR・M・Noton, Two−Leve1 Fo㎝of the Kalman Filter , meters for Noisy Dynamic Systems , IEEE Trans. Automat.      IEEE Trans・Automat・Contr・Vol・AC−16・No・2, PP・128/

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3)MAthans, R. P. Wishner, and A Bertolini, Suboptimal    8)NJ Smith and A・P・Sage・ A Sequential Method for Sys・

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参照

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