離散形線形系に対するIdentity−Observerの
ゲインについて
（II召和51」F 10月18日 原吾高・豊｛寸）
情報工学敦室 高 田 等
第2部電気工学継 上 田 隆 三
電気工学教室 高田茂夫
On Identity・Observer Gains for Discrete Linear Systems by Hitoshi TAKATA Ryuzo UEDA Shigeo TAKATA
ABSTRACT
l。thi、 p。p。，，、。 ld・・tity−・b・e・v・・a・d it・g・i・…ei・・e・tig・t・d f・・di・c・・t・h・・a・Ume−va「ying
、y、t，m、． Tw。 typ・・。f・・nditi…f・・th・・b・e・v・…ed・・ived・wl・i・h・・eωwh・・ll・e・。「m5°f
，、tim、ti。。，，，。，、 by tl、，。b・e・v・・gen…t・・m・n・t・ne dec・e・・i・g・・q・・・・・…d（li）when！he
。、tim、ti。。 er，。，、 c。。ve・g・t・・e・…ympt・ti・ally． F・・th・1 m・・e t…ki・d・・f・b・e「ve「galns・
whi，h a，e田ti、fi，d、，iしh the ab。。e c・・diti。・・，・・e・1・。 P・・P・・ed・0…fth・m is a g・i・d・terlni・・d
。a、ily by a、impl， p，㏄，d・・e． The。tlle・i・q・i…imi1・・i・・［・・ct・・e…K・lm・n−fnt・・9・i・・v・1・・ted by。、eq。，。ti。l f。，m． The・e g・i・・a・e f…f・・1・1 t・。・b｜・・5u・h・・ilLc・・diti・−d・・e・e「y ea§・f°「
nun、erical conコputatlon．
・計算ができないとか，あるいは推定が進んでいって，確 1・序 誼． 率系の状態予測共分散行列に対・応する行列の行列式が極
綿醗系酬酬定法としてLuenb・・g・・llは線形オ めて小さくな・たときにぽ，『 欄の鞠三｝ （111 c°ndiLi°n）
プザ＿バ＿を構成した。本推定法は線形系に対するもの に落ち込み易い欠点があった。
である嶋跳推定値は緯系の力脚ンフィルタ・・ そこで本綿・おい蹄々は・緻酬酬芋変嚥麟 の胎と剛に、跳刊1直酬1値の線形齢として 1・対し・力学系が減元ベクトルの 胎の次元はプザ
繊された。その融ブザー・・一ゲインは1、E意に髄で 一・・一（ld・1・・ity Ob・・・…）のゲイン｛こついて考察した・
きた．従。てオプザーバーゲイン決定に際してはは由 この際舗緬オプザーパーによ酬定値がぷ1こ 脚大きいとい酬乏があると同時に，逆に一醐には 囎ミする抽の躍条件を杣した・これによ1）・．聴値 定まらないという酬紬。た．そこでTse・・ら購定系 と状鮪き値酷である状態髄謡の鵡｝獄に対す を1卵酬のな唖縣とみなして．これ聞ルマン形 る遷酬亨1」の固郁［を疏に擶巨し酷オプザーパー の推定法を適肌た．こうして得1ちれたオプザーパーゲ ゲインを勅ようとするξきには・ぱ元の力鞠こ対
似謎次的に一瓢に定めら1、るもの酬，騨系 し ・醐立の・糖項式形方賦を島早かねばならないこ
とみなした齢の2乗平均誤端・1癒勅ら噸オ と勅力・る・それ軌椴のオプザーパーゲインをわ
ブザーパーゲイゾと呼ばれるべきものであ・た。しか ラインで糊しなくてはならないような 胎に齢l」次の
しこの樋オプザー，・一ゲイン醐・の際には．観踊 系になるにつれ・計 算酬の多くをゲイン瀧砒めに
列が最大喘（M、、im、m，。・k）でなけれ削要な逆］〒列 費さねばならないこと｛こなる・そこで・つぎに醐直指定
による舗：の煩机さを避｛ナる抽の，つぎの踊のゲ ≦・・≦・1とする。
イン瀧法について検討した・その第1の 鵬オプザ なお躰行亨・」（F、，d、⊇、IM、t，」、）と呼ばれる正n・1行 一パーゲイン決定法川ま橘時刻1こおいて，オプザーパ 列は
一の推定誤差のノルムが蜆測データの少ない予測誤差の ．
、 φ（∫ζ，r）≦≧」F1・＿1」F辿＿ゴ・・1弔・ （2・3）
ノルムよりも決して大き（ならないよっな方法であり、
しかも極めて簡単にその｛1虹を求めることがで詞もので と定…茂され
議嶽欝灘ll！i三蕾 i‖嶽㌻∴ ｝似凸
度疏めなければならない・これに対し第2の カルマン なる関係がある。
フィ・・タ形オプザーパーゲイン法 【ま・蹴［附加糖が （2．ユ）、（22）式 ・対する次元、，のオブザ＿バ＿σdenti［y 混在する場合のカルマンフィルタゲインと全く同じ形の Observer）は
迂次計算可能な繰り返し式ゲインである。しかも特に対 一
、 」r酬＝百IF−1十κκ（弥一』万κrκ一1） （2．5）
象系が，無限個の区間で完全可観測性が満たされ，かっ
ただし 推定誤差遷移行列が有界である場合にほ，本ゲインは自
五κ1κ＿1＝凡・＿1fif−］1κ＿1一トακ＿1 （2．6）
動的に上記の収束の条件をも満足するものである。その ＿
＿ ． ． 』ノκIF−1＝Hκ」5」《IF−］十βκ （2．7）
際・カルマンフィルタの先継酬1丁列と観酬献分 で麟さオLる．ここ℃島1。，酬デー列，1，。、，．。山 散行列は・材ブザー‥1二おいてはともにぷなるオ の下諏。の推馳魚伯：｛、1，。，，…輌｝の下での ブザーバーゲイン漣の際の舳度を』飢たものとし 。。の刊1血，廊一1軌，，、…，。、．1｝の下で傭の子
て証定剛称行列酬から任意に選蹴る・ 測他である．
さて・第1および第2の耐ブザーパーゲインとも， 緬において1土識定値魚と剛。．畦のノ、レム オプザー く一問ンの紬麟鮒した行列はともに正 碑へll呈束するようなオプザー，，一ゲインのi茜足すべき 定鯛締ljの内から齪〜1ることになる聴観漸 酬・，および具体的なゲイン決融、ついて考察する．
列力轍暇でなくとも逆行ξ肋舗：笛しかも計算 以下酬を砒てノルムはつぎのようi、麟される．
機の悪条件状態に決して陥いらない。これによりTseら
（DベクトルXに対しては の最適オプザーパーゲインにおける数植計算上の問題が
解決さ繊さらにもL第2励、、マンフィル卵ゲ 酬一価「 （…）
インにおいて．雑音共分散行列に対応する行列が零行列 ②行列Aに対してはjvゼノルム
；驚繊二㌫ぽ適オプザ 11A卜｛瓢；1）蕊驚1き）蒜
2．問題の設定 ただし」m。．仁）は行列の最大固有値を鍵モわし，τは転 つぎの線形差分方程式によって記述される線形時変形 置を示す。これらのノルムにおいては
確定系 IL41ヲll≦ll川1・llβ1［ （2・11）
力学系 エκ，，＝1㌦エκ＋ακ （2・1） が満足される。また，行列Pに対し P＞0はPが正定匝 弼↓測系 yκ ＝∬κ諏＋βκ （2・2） 対綜行列であることを示すものとしよう。
について考察する・ただし・川1ヨ・元継ぺ外ル・ 3．収束条件
猴：m次元観測ペクトル，αパH次元既知ベクトル，βκ
：〃1次元既知ベクトル，Fκ：刀xlr次元の状態遷移行列で 本節においては、推定値呈κ1κが真匝工κに収束するた あり，その階教はrallk・臼＝，〜で逆行 ll．F討が存在する， めの条件について検討する。
〃κ：？｝，xH次元の硯測行列であり，その階数はrank正∫κ 時刻κにおける推定誤差を己κと表わせぱ・伽の選移
方程式は、（2．1）．（22）、（2．5）一（2．・）式から なるようなオプザー・＜一ゲインκ・（κ＝12・3・…）を ⊇烏禰＝且．，．．， （・」）選』：ことができたなら｛ま・三1のときω・臓
ただし 1園1≦Mll…−1・ll≦11f具1・ ll・・ll→°（∫一゜°）・
（3、11）
〆1κ＝日一κF正「κ）」F已一1 （3．2〕
すかわちll 9κllは零へ漸近収束する，
となる・よ・て両辺のノルムをとれ1エ・囲一伽） @：上のことカ、ら，条㍍ある噸をi謝るオプザ 武かち 一パーゲイ．をいかにして・賜かが、以後礁題とな
ll￠κll＝1レ壮eκ一111 る。なせならば，条件1）か2）を満足するような範囲で，
≦1園川・副＝・−ll・司い鋤 すべての固剛を指定して，そ油らオプザー・・一ゲイ
となる。一方（3．1）式においてκ＝田∫＋1｝、Jζ＝ ンを求めようとすれば，その計算が箆めて類わしいから L（ ＋1）一］、…，π＝、L（∫）＋1を逐次代入すれば である。例えば条件1｝においてさえ、子1L4κのすべての
，＿一ん闇面ト1、−1・一且＿輪，（訓 固有1脚f＝L2・ 汕を指定してゲインを了1こめよっ と思えぱ，（3．2）式より／1κがκ片に対し線形であること・
となるので，そのノルムは @ およびその酬プ∫融が
11・−ll≦llん・ 川A−−1……丑一1卜ll・川」1（3・5） レ1ξ且一〃1＝・U＝1，21・ゴ・） （・．12）
一・λ…ωlm・1…莇・頑・口・ 且一） であることから、κ担要素に対して卑に一・元連立の ・ll・副 （抽 ，駄多茸i式肪程式を解かなくて1よならない．さらに．
となる。従って次の収束のための必要条件が得られる。 κκ〔 」X川次元行列）の未知要素は，r・川個であるので・−
1） 〔狭義の漸近収束条件〕 般には解は一意的に定まらないことにな1），特に♪1が大 （3．3）式よリ，もし きい場合には，その数匝計算が極めて煩わしいものとな
嗣醐．）≦，，引、 る・そこで我々はつぎに・一馳こかつ逐糊に・しか
ただし6，、一。（κ一・・〕 （・、7） も翻｛・ゲインの値が謂闇しる2種のオプザーパーゲ な砺〉。（ コ1 ﾈ＝1，2，…）欄在するように，オプザ イ・について糖する・
一パーゲイン∫（κ〔κ・＝L2，3…）を選ぷことができる 4．簡易オブザーパーゲイン決定法4〕
ならば・そ醐ンに肌て @ 才プ⇔、一ゲイ。として
1：灌雛ll‖罐1対；ご』『つ鯛 品＝蘭瓢＋C；郎＝ユ・2・3・∴．1）
すなわち11・・llは時刻の瓢ととも1・零へ馴こ減少する・の形を孟蹴る．ただしc．はオプザーパーゲイ・の自 2） 〔一般の漸近収束条件〕 由度を集約したものとして．正定値対称行列の内から・
（3．6）式よ ，もし無酬の区lin〔LL（1）〕，〔L（1）＋1・ 舗iの条1 ・1）あるいは2）がi，宝il1されるものを選出するも Lω凸〔川＋1山 ＋1〕レ・・（ただしL（°）＝°川こ ので，そのゲイン決定が齢て翻な・F法である。この
おいて・ 際〔3口），（3．2）式よ1〕
（iほ数ρ1＋1＞°伺， ■ ）に対し @ 。．一σ一κ、欄村．．1。．．1）一石＿．1（姻
杣．亘・、一・國および ・、1。．舐1−＝…』 ｝（…）
㈹臆唖の麟恒゜°聞して である．従。て閨〕，（4．3）式舳
ll司1≦』イ1｜軌国〕il Bκ＝∫＿∫π（疏〃汀÷cκ）一ワfκ （4．・D
（LM≧∫（≧L（「＋1）□＝−1 °1 謔P。）＿，逆卵式｛］11・…i・・L・一）によ・｝
・λ輪個㍍・1…A脇1ユL（・川…んm・1） ただし
≦鼻1（∴＝⑪1L…） 〔3・9） Bκ＝∫＿κ．1」κ，
8斤1＝∫＋正fκCゴ」五 （4．5） 〔L（∫）十ユ，L（「十1）〕，…において完全可観測性の条件
となる．c已0に選ぷので珊c温1誹負定他対称 すなわち
称行列となり
λml （8ゴ）≧1すなわちλm、．（丑κ）≦1 （4．6）
が得られる。よってBκが対称行列であることに注目す
f1」ま1 （2．9）， （4．2） 式より
∬fL r＋n＝
HL口，＋1
」冨山 ，＋ゴφ（」し（∫）十2，L（∫）十1）
1ゴ「
k｛ ）4コ・φ〔L（∫）．ト3， L（匡）一ト1〕 （5．5）H叩川・φ｛五u十1），L（ゴ）十1｝
1・・ll≦ll担・llll・・旧／i≦il・・1・−111・ （4・7） なる（L（∫＋D−L（ ））＿、行 のH＿1、対し すなわち（4」）式のゲインは，推定誤差ノルム1｜θκllが． rankH印．1，＝，1 ｛5．6）
予洞誤差ノルムllβκぽ一111よりも決して大きくならないよ
うな性質も兼ね添えていること肺かる。その際．Cκ が齪される・
〔仮定一2〕
＞0であるので，いかなる封κに対しても（4．1）式の逆
行列の計算が行な江数他言＋蛙の嘔姓じない． （鋤式の鮎こおいて・正の醐＞°幽し次の量
特に鳳（4の式より は有界である・
ll。．1…≦ll＿11≦］1且lll｜輌1｜≦…≦☆1囲11圃 sp・（m堅ll脳口 ° 』111
κ 司 ：Lω＜κ≦L（f＋1）｝全」匠〈oo （5．7）
となるので，本手法はn ll1㍗・11→o（κ→。。）の系に対
国 以下本カルマンフィルタ形ゲインを用いれば3節2）
して特喘効であること力励る・しカ しそれ以外の系 の蝋条件を瀧しつつ誰定匝f。、滅値。。に収束 酎して幽こ3働条件抽るいは2）を齪させ得る することを証明する。
という保証がない・そこで端で広L 領靭系闘して 5．1齪酷の大，」端
鮪効なカルマンフィルタ形オプザーノこ一ゲインについ @重みつき縫誤差ノ、レム。融。。縮義し，（3」｝，
て齢する・ （32はを代入蜘ま，
5．カルマンフィルタ形オブザーパーゲイン 盛pξ已κ＝盛．1躍一，｛∫＿」ζκ、仔κ）T
オプザ＿パ＿ゲインとして 昔P即一κ・珊恥・口
＝戚＿1F『−1ローκκ」甘κ）τ κ・＝Q・田（H・Q・田＋c・）−1 、Q元1凡．1θ。．、
（κ＝1，2，3… ） （5．1）
ただし 従って（5・］），（52拭より
Q。＝凡・．1P■躍．1 （κ≧1） （5．2） 已識1ε・＝彦芹一1F正．1〔Q三L醒（払Q・醒
の形を設定する。ただし島およびG（κ一L2，…）は （5・8）
とも財ブザーパ＿問ンの舳髄集4勺したものとし となる・c・＞oであるので右辺第2項は非負値とな て正定値対称行列の内から任意に選ばれる。従ってすべ 戚Pξ］βκ≦麟一1PF」1臨一1（κ＝1，2，3…）（5・9）
てのκに対して ． が得られる。一方（5．8）式において特にκ＝L（ゴ＋1）
Pκ一1＞0，Qκ＞0 （、rr＝1，2，3，…） （5．4） とおけば
である。この際｛2、ユ），（2．2）式の系に対してつぎの性 e記硝1『肺川β垣・1｝＝已脳 −1P雄・1日εa 川一1 質が満足されると仮定しようロ ーロ5∫刊｝−1．FL石＋n一白仔日住1）
〔仮定コ〕 （1五中nQ垣↓n∫「6「白n＋C垣川） 1
系は無限個の区間〔1，L（1）〕，〔L（1）＋1，L（2）〕，…， HL｛ →°兄｛∫−1）一：e垣＋1〕−1 （5・10）
となるので（5．8）式において∫（＝L巨＋1）−1，κ＝ ＝φτ｛L（f），L（∫＋1））．P垣｝）φ（L（f），L（f＋1））
L（f＋1）−2，…， κ＝L（∫）＋1とおいた関係式を，逐 ＋Lu自一 φ丁（L（ゴ）＋1・・L（∫＋1）〕
ゴロレくゴハ
次（5口0）式の右辺第一項に代入すれば ・｛HJ↓］誓5（ゴ十1，」L（f十］）｝『
話r．1）、砺｝ll）召L（，、1｝＝ロ1〔nP颪｝｝eL（∫｝ ・Cズ・｛1ぜ」・1φ（∫＋1・L（∫）＋1）｝
−L｛ 量ト1、王珊み㈹．、Q緬孟1＋c、．1）−1 φ（L（∫）＋1，L（田））
戸却1 ＝：φ「（L（i｝，Le十1｝）P辰｝）φ（以「）． L杜十1））
・」』「」＋1∫弓・召」 （5．ユ1）
十φず（」Lσ）十1，L（∫十1））H『〔 。、1ソ1L〔 −n となる・ここでつぎのベクトルと行列 ．」f川川φ｛L（の＋1，L（∫＋1）） 〔5．18）
奇舎φ（、L（∫｝＋1，∫）θ」， ただし 己｝全（」防Qゴ正「♪十G）−1 ！1川．u＝
（ノ＝」し｛∫）十1，五（「｝十2．一㍉ム（∫→・1〕）｛5．12）
を導入すれば（5．11）式は
e五〆杜｝P互｝＋1）εL（ ÷1ハ＝已1ωP品）已Lω
C詰〕＋1 0 c茄〕＋コ
O cτ｝r＋口
（5．ユ9）
櫛州綱砿，β刷，H蜘｝劃1，州（5」3） となる・従・て（5・亘8）式において∫＝f−1ゴづ一2・
ただし 弓一〇を代入し珊係鵡（5・18拭の右辺肝項に
eL巨÷1）−L〔 ）＝
SL（再1）＝
已L〔1〕
君Lω＋1
βL（†1ト1
ε口＋1 0 ごLω．←2
0 〜…正u÷n
逐次代入すれば
P丘｝己ll＝φ丁｛0，五｛ 十1））」Pご1φ｛0，L（∫十1））
オ
＋Σφτ（L（ノ）＋11L（∫＋1））石ぱ」硝ノ1 Lu却 ゴ ロ
・π口」←1｝φ（、L（」）十ユ，五（f十1）） （5．20｝
を得る。C」〉⑪であるので（5．19），｛5．6）式よ1〕（5．18）
（5．14） 式右辺第2項は正定値対称行列である。しかもC」すな わち五垣．1］は正定値対称行列の範囲で我々が全く勝手に 選定してよいものである。
となる。C」＞0であるので｛5．12），（5．ユ4），（5．6）式 5．3． P昂，1〕が有界でない場合のθL〔r−1）の収束 からH品川SL（∫÷1湿Ll∫÷D＞0となり （5．20）式においてCκを十分小さな行列に選べば，
、1，臼P』軸。＜。5，，P莇、、。ハ （5、15） （5・19）（520）式力㌔ら
を得る．すなわち・≦，、＜1なる正数。、（∫ニ1，2， λ・・（P砲 ）→°°（「→°°｝ （5・21）
…）に対し とすることができる（さもなくば5．4節参照）。従って ゴ ユ
θCr÷1・1〕亘｝＋11εL・・−1・≦ 王1・ ρゴθ『」巳一1εo （5・16） ノlmln〔P亘書斗1，）＝：念 （5・22）
を得る・ とおけば（521）鵡
5．2．重み閲数P田＋：｝の性質
（5．2），（5．3）式よ・］ P・・1・1・≧吉∫（lip・一一・）（・23）
昂＝編舳臼三1＋醒硫1H・ （5・17） と等価になるので（5．］5）式から
である。（5．17）式でκ＝L（汁1）を代入した式に、π 厨P計e。〉但恥＋up昂．DeL〔相▲
＝L（ゴ＋1）−11κ＝L（∫＋2）−21 ・κ＝L（∫）＋1 @ ≧⊥，L、．1）。、，、．1， （、2、）
とおいた関係式を逐次代入すれば η「°1 ． すなわち
酷1〕＝灘llll璽1漂1｛llli輌＋1）） 11・一拒く吊・1識1倒一・（ト・・）（・・25）
」一川1 となる。
・H」τ1α二 1H」串1φ（元十1，L（「十1））
5．4．琳1、が有界磯合輌、，川の鯨 である・なお麟・・s・・団π・口・は1珪値大寸称行列であ Cκ＞0の選択が不十分で（5．21）あるいは（5．23）式が るので
満足されなくなった場合，すなわち 旺，品÷nsL（伺）πL｛r−D＝砺葺川）む田・n 〜5．34）
ふ・・（・砺LID＜砕＜oo （飾＞0） なる正則行列U川．りが存在する。よってここで
（L…麻1・＜・・∫） ． （526） 、＿全σ口、己1＿。） （5．35）
のように琳1・縮界の酬こつし1て撚する・なおさ と麟すれば（5．33）式耐子の項は
らにここでは砿h，φ（κ，の，∫『κ，」7己・uが有界としよう。
〔仮定．3〕 ε 『一・・躍 ・1・S・・ ・1・ 一ε…一『1百一ll2
正の定数。．輪。、，。，，に対し （5・36）
となる。一方分母の項は（5．12）（5，14）式より
SUP llF｝ユ寵1＝α∫＜oo．
ご
Sup llφ（κ，の11＝αφ〈oo｛κ〉，『≧o）
げ
sup ll∫」司1＝： αh＜ ロロ，
び
5u川IJ荘｝−1｝ll＝倒くoo．
晶r］P疏θL川＝｛FL（〆）伽の『1弓話P砲1㌃r；（F1（∫）融〆｝）
（5・27） ＝彦」王 ）F丘『］P砲、F昴向f，
ただし
さてここでP 元い靖る㈱｛こ馴係柾の麟 況＿全
γが存：在することを証明する。
〔D P詰†1｝の下界性
ロ （5、20）式は正定匝対称行列であるのでBeUman（PP．115）
より
＝ 日∫Tゴ÷1，＿Lu）1〜L｛ト1〕ε「L r†1卜L（F） （5．37）
