距 離 デ ー タ を 用 い た 知 能 ロ ボ ッ ト の 視 覚 機 能 に 関 す る 研 究

博 士 論 文

距 離 デ ー タ を 用 い た 知 能 ロ ボ ッ ト の 視 覚 機 能 に 関 す る 研 究

荒 川 賢 一

2015

年

1 1 月

距 離 デ ー タ を 用 い た 知 能 ロ ボ ッ ト の 視 覚 機 能 に 関 す る 研 究

荒 川 賢 一

内 容 梗 概

人 間 の 作 業 を 代 行 し ， 実 世 界 で 自 律 的 な 行 動 を お こ な う 知 能 ロ ボ ッ ト の 実 現 に お い て は ， 環 境 を セ ン シ ン グ し ， そ の 状 況 に 応 じ て 行 動 を 決 定 す る 機 能 が 必 須 で あ る . 実 世 界 の 3次 元 構 造 を 直 接 的 に セ ン シ ン グ す る レ ン ジ セ ン サ は 非 常 に 有 効 で あ る . 本 論 文 で は ， レ ン ジ セ ン サ で 得 ら れ た 距 離 デ ー タ を 様 々 な シ ー

ン で の 知 能 ロ ボ ッ ト の 制 御 に 活 か す 技 術 の 実 現 に つ い て 考 察 す る . ま ず 第 1章 で は ， 知 能 ロ ボ ッ ト の 要 件 と し て の セ ン シ ン グ 機 能 に つ い て 述 べ ， 第 2章 で は ， 火 星 探 査 用 ロ ボ ッ ト の た め の 自 然 地 形 の 立 体 地 図 作 成 を 目 的 と し た フ ラ ク タ ル 幾 何 に 基 づ く 距 離 画 像 か ら の 高 さ デ ー タ の 補 間 法 ， お よ び 不 確 定 性 分 布 の 算 出 法 に つ い て 述 べ る . 第 3章 で は ， 板 状 部 材 を 構 成 し た ワ ー ク に 対 し て 施 す 塗 装 工 程 の ひ と つ で あ る シ ー リ ン グ を お こ な う ロ ボ ッ ト を 倣 い 制 御 す る た め の ， レ ン ジ セ ン サ か ら の デ ー タ か ら の 作 業 目 標 点 検 出 法 に つ い て 述 べ る . 第 4章 で は ， 第 3 章 で 述 べ る シ ー リ ン グ ロ ボ ッ ト な ど ， 倣 い 制 御 ロ ボ ッ ト の 手 先 搭 載 に 適 し て い る 極 細 の レ ン ジ セ ン サ の 構 成 法 に つ い て 述 べ る . 第 5章 で は ， 本 論 文 の ま と め と ， 情 報 シ ス テ ム と し て の ロ ボ ッ ト 研 究 の 今 後 の 方 向 性 に つ い て 述 べ る .

A Study on Visual Function of the Autonomous Robots  using Range Data 

Kenichi Arakawa 

Abstract 

In  the realization  process of the robots that  perform autonomous  actions川 thereal world， there are essential functions to sense the  th ree悶 dimensional (3閑 D) environment  and  to  determine  actions  according to  various  situations.  For the functions， range sensors  for directly sensing 3‑D structures  in  the real  world are effective. 

The target of this thesis is  to  clarify the implementation of control  techniques  for  the  autonomous  robots  by  using  the  range  data  acquired by range sensors in  various scenes. In  the chapter 1， the  author  surveys  the  sensing  functions  required  in  autonomous  robots， Chapter 2 describes a fractal  geometry based interpolation  method which  keeps the  original  roughness of  sensed  data， and  also  a computation  method of  the  uncertainty  distribution  of  the  interpolated  results.  These methods are applicable to  3‑D terrain  mapping for the Mars exploration robot Chapter 3 describes a fast  detection  method of seam feature tracked by the industrial  robots  for sealing  process.  Chapter 4 also describes a design method of  superfine  range  sensor  suitable  for  such  as  the  sealing  robots  described in  Chapter 3.  Finally in  Chapter 5， as the summary of this  thesis， we describe a future direction of the research to  realize the  autonomous robot as an information system for management. 

1 • ^{緒 言} 1 

1.1知 能 ロ ボ ッ ト と は 1 

1.2知 能 ロ ボ ッ ト 制 御 の た め の セ ン シ ン グ 3 

1.3本 論 文 の 構 成 4 

目次

2 • フ ラ ク タ ル 幾 何 を 適 用 し た 自 然 地 形 の モ デ リ ン グ 5 

2.1 ま え が き 5 

2.2 フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定 8 

2.2.1 フ ラ ク タ ル ブ ラ ウ ン 関 数 ア プ ロ ー チ 8  2.2.2 距 離 画 像 へ の 適 用 と 実 験 結 果 9  2.3粗 さ を 保 在 し た 地 形 地 図 の 作 成 13 

2.3.1 正 則 化 に よ る 表 面 再 構 成 14  2.3.2与 え ら れ た ボ ル ツ マ ン 分 布 に 従 う フ ラ ク タ ル 表 面 の

生 成 16 

2.3.3一 般 の フ ラ ク タ ル 次 元 を も っ 表 面 の 再 構 成 18 

2.3.4実 験 結 果 と そ の 考 察 21 

2.4不 確 定 性 の 推 定 26 

2.4.1 モ ン テ カ ル ロ 法 に よ る 不 確 定 性 分 布 の 算 出 26 

2.4.2実 験 結 果 と そ の 考 察 27 

2.5 あ と が き 31 

3 • ト ラ ッ キ ン グ ロ ボ ッ ト に よ る シ ー リ ン グ の た め の 高 速 な

作 業 目 標 点 検 出 32 

3.1 ま え が き

3.2 シ ム 形 状 の モ デ リ ン グ 3.3 シ ス テ ム 構 成

3.4作 業 目 標 点 検 出 ア ル ゴ リ ズ ム

3.4.1途 切 れ 位 置 の 決 定 と 途 切 れ 検 出

︒ 血

F a

円t 1 1 1 1 q d q a q d A

比Z A

せ

3.4.2途 切 れ か ら の 作 業 目 標 点 検 出 43 

3.4.3誤 検 出 目 標 点 の 除 去 44 

3.4.4次 観 測 の 視 野 範 囲 の 決 定 45 

3.5実 験 結 果 と そ の 考 察 47 

3.6あ と が き 51 

4 • 狭 あ い 部 で の 断 面 計 測 の た め の 極 細 レ ン ジ セ ン サ の 構 成 52 

4.1 ま え が き 52 

4.2小 型 化 の た め の 技 術 的 要 素 54 

4.3極 細 レ ン ジ セ ン サ の 一 実 現 形 態 56 

4.3.1 ハ ー ド ウ ェ ア 56 

4.3.2 キ ャ リ ブ レ ー シ ョ ン 58 

4.4実 験 結 果 と そ の 考 察 61 

4.4.1 精 度 評 価 61 

4.4.2今 後 の 課 題 64 

4.5あ と が き 65 

5 • 結 言

5.1知 能 ロ ボ ッ ト に 必 要 な 要 素

5.2情 報 シ ス テ ム と し て の 知 能 ロ ボ ッ ト 5.3 今 後 の 方 向 性

G u aり 門

i Q d

p h u ρ h

リ

ρh

リ

Hh

リ

謝 辞 71 

参 考 文 献 73 

研 究 業 績 78 

図 目 次

1  地 形 モ デ リ ン グ の 概 要 6 

2  Perceptronに よ る 地 形 の 高 さ の 観 測 パ タ ー ン 9  3  フ ラ ク タ ル 次 元 推 定 に お け る 許 容 域 の 設 定 10 

4  フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定 結 果 11 

5  フ ラ ク タ ル 次 元 推 定 に 用 い た 距 離 画 像 12 

6  補 間 処 理 の 入 力 デ ー タ 20 

7  Szeliskiの 提 案 手 法 に よ る 補 間 結 果 21  8  Szeliskiの 提 案 手 法 に よ る 補 間 結 果 の フ ラ ク タ ル 性 推

定 21

9  提 案 手 法 に よ る 補 間 結 果 22 

1 0  提 案 手 法 に よ る 補 間 結 果 の フ ラ ク タ ル 性 推 定 23  1 1  提 案 手 法 に よ る 距 離 画 像 か ら の 高 さ デ ー タ の 補 間 結

果 24

1 2  地 形 地 図 の フ ラ ク タ ル 性 推 定 25 

1 3  生 成 デ ー タ に 対 す る 不 確 定 性 地 図 の 推 定 結 果 28  1 4  距 離 画 像 か ら の 不 確 定 性 地 図 の 推 定 結 果 29  1 5  推 定 さ れ た 不 確 定 性 と 補 聞 に よ る 誤 差 の 関 係 29  1 6  誤 差 を 不 確 定 性 で 正 規 化 し た も の の 分 布 30 

1 7  典 型 的 な シ ム の 例 34 

1 8  典 型 的 な シ ム の 断 面 形 状 お よ び 周 辺 の 状 況 35  1 9  シ ム 断 面 の 典 型 的 な 4つ の パ タ ー ン 36  2 0  レ ン ジ セ ン サ を 伴 う シ ー リ ン グ シ ス テ ム の 構 成 37 

2 1  レ ー ザ レ ン ジ セ ン サ の 光 学 系 38 

2 2  典 型 的 な シ ム 断 面 の 観 測 デ ー タ 39  2 3  作 業 目 標 点 検 出 ア ル ゴ リ ズ ム の フ ロ ー 40  2 4  平 行 に 投 射 さ れ る レ ー ザ 光 に よ る シ ム 断 面 近 傍 の 観

測 41

2 5  部 材 断 面 を 観 測 し た 場 合 の シ ム 検 出 43 

2 6  実 ワ ー ク に 対 す る シ ー リ ン グ パ ス の 構 成 48  2 7  先 読 み 型 ト ラ ッ キ ン グ ロ ボ ッ ト シ ス テ ム の 例 ( シ ー リ

ン グ 用 ) 53 

2 8  一 角 測 量 に よ る 距 離 の 計 測 原 理 54 

2 9  提 案 す る レ ン ジ セ ン サ の 構 成 56 

3 0  光 偏 向 器 56 

3 1  極 細 レ ン ジ セ ン サ の 試 作 機 57 

3 2  内 挿 に よ り 得 ら れ た キ ャ リ プ レ ー シ ョ ン 結 果 60  3 3  LUT を 算 出 す る キ ャ リ プ レ ー シ ョ ン 法 の 流 れ 60 

3 4  石 膏 像 の 稜 エ ッ ジ の 観 測 結 果 61 

3 5  球 面 ( ピ ン ポ ン 玉 ) の 一 部 の 観 測 結 果 61  3 6  奥 行 き 方 向 0.5mm間 隔 の 平 面 の 観 測 結 果 62  3 7  走 査 方 向 の 精 度 測 定 の た め の 不 連 続 点 検 出 63 

表 目 次

1  提 案 手 法 に よ り 推 定 さ れ た フ ラ ク タ ル 次 元 13  2  生 成 デ ー タ に 対 し て 提 案 手 法 に よ り 決 定 さ れ た パ ラ メ

ータ 22 

3  実 測 デ ー タ に 対 し て 提 案 手 法 に よ り 決 定 さ れ た パ ラ メ

ータ 25 

4  3種 の シ ム 断 面 パ タ ー ン の シ ム 検 出 結 果 46  5  浮 き の な い 2枚 合 わ せ に 対 す る 静 的 観 測 実 験 の 結 果 47  6  実 ワ ー ク の 観 測 実 験 に お け る 視 野 制 御 の 効 果 49  7  実 ワ ー ク に 対 す る 観 測 実 験 の 結 果 50 

8  極 細 レ ン ジ セ ン サ 試 作 機 の 仕 様 58 

第 1 章 緒 言

本 章 で は 知 能 ロ ボ ッ ト と は 何 か ， お よ び ， 知 能 ロ ボ ッ ト 制 御 の た め の セ ン シ ン グ に つ い て 考 察 し た う え で ， 本 論 文 の 構 成 に つ い て 述 べ る .

1.1  知 能 ロ ボ ッ ト と は

近 年 ， 日 常 の 生 活 シ ー ン 中 に も ロ ボ ッ ト

( r o b o t )

が 見 い だ せ る よ う に な っ て き た . た と え ば ， ル ン バ な ど の 掃 除 機 ロ ボ ッ ト は 複 数 社 が 製 造 し ， 広 く 普 及 し 始 め て い る . ロ ボ ッ ト と い う 言 葉 は 1920年 に チ ェ コ ス ロ パ キ ア ( 当 時 ) の 小 説 家 カ レ ル ・ チ ャ ペ ッ ク が 発 表 し た 戯 曲

I R . U . R J

で 初 め て 用 い ら れ た が ， そ の 語 源 は チ ェ コ 語 で 「 賦 役J( 強 制 労 働 ) を 意 味 す る

robota

とい わ れ て い る . ロ ボ ッ ト と い う 言 葉 が 最 初 に 生 み 出 さ れ た 時 よ り ，

ロ ボ ッ ト の 意 味 は ， 人 間 の 代 わ り に 何 ら か の 作 業 を 自 律 的 に お こ な う 装 置 ， も し く は 機 械 で あ っ た . ち な み に ， ア イ ザ ッ ク ・ ア シ モ フ は 1950年 に 刊 行 さ れ た SF小 説 「 わ れ は ロ ボ ッ ト 」 の 中 で ， 以 下 の よ う な ロ ボ ッ ト 工 学 3原 則 を 記 し た .

‑ 第 一 条 ロ ボ ッ ト は 人 間 に 危 害 を 加 え で は な ら な い . ま た ， そ の 危 険 を 看 過 す る こ と に よ っ て ， 人 間 に 危 害 を 及 ぼ し て は な ら な い .

・ 第 二 条 ロ ボ ッ ト は 人 間 に あ た え ら れ た 命 令 に 服 従 し な け れ ば な ら な い . た だ し ， 与 え ら れ た 命 令 が ， 第 一 条 に 反 す る 場 合 は ， こ の 限 り で な い .

・ 第 三 条 ロ ボ ッ ト は ， 前 掲 第 一 条 お よ び 第 二 条 に 反 す る お そ れ の な い 限 り ， 自 己 を ま も ら な け れ ば な ら な い .

‑2058年 の 「 ロ ボ ッ ト 工 学 ハ ン ド ブ ッ ク 」 第 56版， Iわ れ は ロ ボ ッ ト 」 よ り

先 の 戯 曲 rR.U.RJの 中 に も ロ ボ ッ ト を 作 っ た 入 聞 を ロ ボ ッ ト が 破 滅 さ せ る と い う 展 開 が 記 さ れ て い る が ， そ の 脅 威 に 対 す る ロ ボ ッ ト の 安 全 性 に 関 す る 機 能 の 原 則 を 示 し た も の が 上 記 の 3原 則 で あ る . こ の 考 え は

SF

小 説 の 域 を 超 え ， ロ ボ ッ ト 工 学 の 考 え に 根 差 す も の と な っ て い る . た と え 知 能 ， も し く は 知 的 能 力 と し て 人 聞 を 超 え る ， い わ ゆ る シ ン ギ ュ ラ リ テ ィ ( 技 術 的 特 異 点 )[5‑6Jの 状 況 を 迎 え た と し て も ， ロ ボ ッ ト 工 学 3原 則 が 機 能 す れ ば ， ロ ボ ッ ト そ の も の が 脅 威 と な る こ と は な い .

さ て ， ロ ボ ッ ト が 人 間 を 代 替 し て お こ な う 作 業 と は い か な る も の で あ ろ う か . た と え ば 宇 宙 空 間 や 衛 星 表 面 で の 作 業 ， も し く は 災 害 復 旧 や 救 助 な ど の 作 業 は ， 人 間 に と っ て 過 酷 な 環 境 で の 作 業 で あ る と い う 意 味 で ， ま さ に ロ ボ ッ ト が お こ な う べ き も の で あ る . ま た ， 大 量 生 産 に お け る 組 立 て な ど の 繰 返 し 作 業 や ， 家 庭 に お け る 掃 除 な ど の 単 純 で は あ る が 手 間 の か か る 作 業 も ， ロ ボ ッ ト が 正 確 に 繰 返 し お こ な っ て く れ る こ と が 望 ま れ る . な お ， 産 業 用 ロ ボ ッ ト は 工 場 の ラ イ ン と い っ た 人 間 の 作 業 に お け る ベ ス ト な 環 境 で な い と こ ろ で 作 業 を 代 替 す る と い う 面 で ， 過 酷 な 環 境 下 で の 作 業 の 代 替 と い う 色 合 い も 持 つ . な お 最 近 の 研 究 ( 例 え ば [5‑1J[5‑2J) で は ， ヒ ュ ー マ ノ イ ド ( 人 間 型 ロ ボ ッ

ト ) や 動 物 の よ う な 愛 ら し い 身 体 牲 を も っ ロ ボ ッ ト が ， 老 人 や 幼 児 と の コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン を 円 滑 に し ， さ ま ざ ま な コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン 支 援 に 役 立 つ と い う こ と も わ か っ て き た .

知 能 を 持 つ ， も し く は 知 的 に 自 律 的 に 振 る 舞 う ロ ボ ッ ト を 知 能 ロ ボ ッ ト と 呼 ぶ . 昨 今 ， 知 能 ロ ボ ッ ト と い う と 人 間 と イ ン タ ラ ク シ ョ ン を お こ な う こ と に よ り 知 的 に 振 る 舞 う 人 間 型 の ロ ボ ッ ト を 思 い 浮 か べ る こ と が 多 い が ， 先 に 述 べ た 人 間 に は 過 酷 な 状 況 で 作 業 を 代 替 す る ロ ボ ッ ト や ， 単 純 作 業 を 正 確 に 繰 り 返 す 産 業 用 ロ ボ ッ ト に お い て も ， 環 境 や 対 象 な ど に 適 応 的 に 振 る 舞 う 知 能 ロ ボ ッ ト は 存 在 す る . 知 能 ロ ボ ッ ト は 状 況 や 環 境 に 合

わ せ て ， 適 切 な 行 動 を お こ な う た め に ， 外 部 の 環 境 情 報 を 取 り 込 み ， そ れ に 合 わ せ て 行 動 を 決 め る セ ン サ フ ィ ー ド パ ッ ク が 必 須 で あ る . フ ィ ー ド パ ッ ク の 周 期 は リ ア ル タ イ ム の 場 合 も あ る が ， 作 業 自 体 に 時 間 を か け ら れ る 場 合 に は そ の 許 容 時 間 内 で フ ィ ー ド パ ッ ク を 構 成 す る こ と も 可 能 で あ る . 昨 今 ， ロ ボ ッ ト と い う と サ イ バ ー ワ ー ル ド ， す な わ ち 仮 想 世 界 中 で 人 間 に 代 わ っ て コ ン ビ ュ ー タ 操 作 を 自 動 的 に 行 う プ ロ グ ラ ム で あ る ， い わ ゆ る ポ ッ ト も 合 む 場 合 が あ る . 本 論 文 で は ， 実 世 界 中 で 行 動 す る メ カ ニ カ ル な 構 造 を も つ も の に 限 定 し て ロ ボ ッ ト と 呼 ぶ . メ カ ニ カ ル な 構 造 を も つ も の は 高 速 な 制 御 を お こ な う と 慣 性 力 で オ ー バ ー シ ュ ー ト が 生 じ る な ど ， フ ィ ー ド パ ッ ク 制 御 の 周 期 に 機 能 的 な 限 界 を も っ . す な わ ち ， 実 世 界 中 で 重 い 金 属 な ど で で き た ア ー ム な ど は ， ど の よ う な モ ー タ の よ う な 駆 動 系 を も っ て し で も 思 い 通 り 高 速 に 制 御 す る こ と は で き な い . そ の 意 味 で も ， セ ン サ 観 測 系 を 含 む フ ィ ー ド パ ッ ク ル ー プ の 周 期 に は ， 適 正 な 幅 ( レ ン ジ ) が 存 在 す る こ と と な る .

1.2  知 能 ロ ボ ッ ト 制 御 の た め の セ ン シ ン グ

実 世 界 は 3次 元 空 間 で あ る の で ， 知 能 ロ ボ ッ ト が そ の 行 動 を 決 め る た め の 環 境 の セ ン シ ン グ は カ メ ラ の よ う な 2次 元 で の 観 測 で な く ， 距 離 も 合 ん だ 3次 元 の 観 測 が お こ な わ れ る こ と が 望 ま し い . 知 能 ロ ボ ッ ト の 一 例 で あ る 掃 除 機 ロ ボ ッ ト は 行 動 が 床 面 と い う 2次 元 に 拘 束 さ れ て お り ， 対 象 物 ま で の 距 離 を 適 宜 ， 観 測 し つ つ 行 動 の パ ス を 決 定 す る . す な わ ち ， ロ ボ ッ ト が そ の 行 動 の 拘 束 さ れ る 自 由 度 そ の も の の 環 境 の 空 間 情 報 を セ ン シ ン グ し な け れ ば ， 知 的 に 自 律 的 な 行 動 を お こ な う こ と は で き な L

、 .

本 論 文 で は ， レ ン ジ フ ァ イ ン ダ を は じ め と す る 距 離 セ ン サ に よ っ て 環 境 の 中 の 位 置 づ け を セ ン シ ン グ し な が ら 自 律 的 に 行 動 ・ 作 業 を す る 知 能 ロ ボ ッ ト と し て ， 火 星 探 査 を 目 的 と し た 6

本 脚 歩 行 ロ ボ ッ ト theAmblerと ， 塗 装 工 程 中 ， 成 形 さ れ た 板 状 部 材 を 複 数 枚 ， 溶 接 に よ り 組 み 付 け た 後 に ， 板 状 部 材 の 端 面 に 施 す シ ー リ ン グ を お こ な う リ ー リ ン グ 用 倣 い ロ ボ ッ ト を 想 定 し ， そ れ ら に か か わ る セ ン シ ン グ 技 術 に つ い て 述 べ て い る . そ れ ぞ れ の 研 究 は

1 5

年 以 上 前 に 完 了 し た も の で あ り ， す で に 実 用 化 が 遂 げ ら れ て い る . レ ン ジ フ ァ イ ン ダ そ の も の に つ い て も ， す で に 当 時 の も の よ り 性 能 が 良 い も の が 異 な っ た 方 式 を 含 め ， 登 場 し て き て い る . し か し な が ら 以 下 の 点 で 本 質 的 な 技 術 課 題 を 解 い て お り ， 考 案 し た 技 術 方 式 ， も し く は そ の 基 盤 と な る コ ア 技 術 に は 意 義 が あ る .

‑ 人 間 の 粗 さ の 尺 度 と 相 関 の あ る フ ラ ク タ ル 幾 何 に 基 づ く 補 間 は ， 情 報 理 論 の 元 に あ る シ ャ ノ ン の 第 二 定 理 に お け る ナ イ キ ス

ト 間 隔 の 概 念 を 超 え る 可 能 性 が あ る 。

‑ 高 速 な 倣 い ロ ボ ッ ト の 制 御 に 使 わ れ る セ ン シ ン グ ア ル ゴ リ ズ ム 考 案 や ， 倣 い ロ ボ ッ ト 用 セ ン サ の サ イ ズ に 関 す る 諸 元 を 満 た し た セ ン サ の 設 計 な ど ， 産 業 用 知 能 ロ ボ ッ ト に お け る 最 適 な セ ン シ ン グ 方 式 の 設 計 論 を 示 す 。

1.3  本 論 文 の 構 成

本 論 文 の 構 成 は 以 下 の 通 り で あ る . 第 2章 で は ， 火 星 探 査 用 ロ ボ ッ ト の た め の 自 然 地 形 の 立 体 地 図 作 成 を 目 的 と し た フ ラ ク タ ル 幾 何 に 基 づ く 距 離 画 像 か ら の 高 さ デ ー タ の 補 間 法 ， お よ び 不 確 定 性 分 布 の 算 出 法 に つ い て 述 べ る . 第 3章 で は ， 板 状 部 材 を 構 成 し た ワ ー ク に 対 し て 施 す 塗 装 工 程 の ひ と つ で あ る シ ー リ ン グ を お こ な う ロ ボ ッ ト を 倣 い 制 御 す る た め の レ ン ジ セ ン サ か ら の デ ー タ か ら の 作 業 目 標 点 検 出 法 に つ い て 述 べ る . 第 4章 で は ， 第 3章 で 述 べ る シ ー リ ン グ ロ ボ ッ ト な ど ， 倣 い 制 御 ロ ボ ッ ト の 手 先 搭 載 に 適 し て い る 極 細 の レ ン ジ セ ン サ の 構 成 法 に つ い て 述 べ る . 第 5章 で は ， 本 論 文 の ま と め と ， 今 後 の 課 題 等 に つ い て 述 べ る .

第 2 章

フ ラ ク タ ル 幾 何 を 適 用 し た 自 然 地 形 の モ デ リ ン グ

本 章 で は ， 火 星 探 査 ロ ボ ッ ト の 足 取 り を 決 定 す る 地 形 の マ ッ ピ ン グ に 有 効 な ， フ ラ ク タ ル 幾 何 を 適 用 し た 自 然 地 形 の モ デ リ ン グ 技 術 の 研 究 に つ い て 述 べ る .

2.1  ま え が き

自 立 移 動 を 目 的 と す る ロ ボ ッ ト は ， 逐 一 環 境 を 理 解 し つ つ 行 動 を 決 定 し な け れ ば な ら な い . 自 然 環 境 で の 移 動 を 目 的 に 想 定 し た 場 合 ， 非 接 触 セ ン サ か ら の 観 測 デ ー タ に 基 づ く 地 形 の モ デ リ ン グ 技 術 は 不 可 欠 で あ る . こ こ で ， 地 形 の モ デ リ ン グ と は ， 非 接 触 セ ン サ に よ り 得 ら れ た 距 離 デ ー タ か ら 任 意 解 像 度 の 3次 元 地 形 地 図 を 作 成 し ， ま た ， 地 形 の 粗 さ な ど の 特 徴 を 観 測 す る

こ と を い う .

カ ー ネ ギ ー メ ロ ン 大 学 で 開 発 さ れ た 6本 脚 の 自 立 歩 行 ロ ボ ッ ト Amb1er[2‑1]は ， 搭 載 さ れ た 走 査 型 レ ー ザ レ ン ジ フ ァ イ ン ダ Perceptron[2‑2]に よ り 得 た 距 離 デ ー タ か ら ， 足 元 か ら 10m程 度

前 方 ま で ， 高 さ 方 向 で 5m程 度 ま で の 範 囲 を カ バ ー す る 局 所 的 な 3次 元 の 地 形 地 図 を 作 成 し ， 岩 石 ， 砂 な ど で 構 成 さ れ る 地 表

を 探 索 す る た め の 足 ど り も し く は 歩 行 ル ー ト の プ ラ ン ニ ン グ な ど に 利 用 し て い る . ま た ， 局 所 的 な 地 形 地 図 を 統 合 し て ， 数 百 mの 範 囲 に 及 ぶ 広 範 囲 な 地 形 地 図 を 作 成 す る の も ミ ッ シ ョ ン の 一 部 と な っ て い る . し か し な が ら ， Perceptronを は じ め と す る レ ン ジ フ ァ イ ン ダ で 観 測 さ れ る 距 離 デ ー タ は ， セ ン サ を 原 点 と す る 円 筒 座 標 系 で 観 測 さ れ る た め ， 地 形 の 高 さ デ ー タ と し て 扱 う 場 合 ， 規 則 性 の あ る 配 置 に は な ら な い . そ こ で ， 任 意 解 像 度 の 地 形 地 図 を 作 成 す る た め に は ， 補 間 処 理 が 必 要 と な る . 従 来 提 案 さ れ て い る 補 間 法 ， 例 え ば 10cus法 [2‑3]な ど を 用 い る と ， 不 自 然 に な め ら か な 結 果 し か 得 ら れ な い . ま た ， 補 聞 に よ り 作

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図 1 地 形 モ デ リ ン グ の 概 要

Uncertain旬 Map 

成 さ れ た 地 形 地 図 の 各 点 の 高 さ 情 報 に 関 す る 不 確 定 性 が も し 推 定 で き れ ば ， 足 ど り 等 の プ ラ ン ニ ン グ 結 果 の 信 頼 度 計 算 や ， 広 範 囲 の 地 形 地 図 を 得 る た め の 局 所 地 形 地 図 の 統 合 演 算 な ど に 応 用 可 能 で あ る .Amblerの 各 脚 先 端 に は 力 セ ン サ が 装 備 さ れ て お り ， そ れ に よ り 脚 の 接 地 を 検 出 し て い る . 接 地 の た め 脚 を 下 方 に 動 作 す る と き ， 力 セ ン サ で 状 態 を 検 出 し な が ら 移 動 す る た め に は ， 移 動 速 度 を か な り 遅 く し な く て は な ら な い . 高 さ 情 報 の 不 確 定 性 が 得 ら れ て お り ， 不 確 定 範 囲 の 上 限 か ら の み 力 セ ン サ に よ る セ ン シ ン グ を 開 始 す る こ と が で き れ ば ， 脚 移 動 に 必 要 な 時 間 は 大 幅 に 短 縮 さ れ る .

こ こ で は ， 自 然 形 状 に 適 す る フ ラ ク タ ル 幾 何 の 考 え を 上 記 処 理 に 必 要 な 情 報 を 得 る 地 形 の モ デ リ ン グ に 適 用 す る こ と を 提 案 す る . 地 形 の モ デ リ ン グ は ， 以 下 の 三 つ の プ ロ セ ス か ら 構 成

さ れ る . (図 1) 

・ 地 形 の 粗 さ の 推 定

‑ 粗 さ を 保 存 し た 任 意 解 像 度 の 地 形 地 図 の 作 成

‑ 地 形 地 図 の 不 確 定 性 の 推 定 ( 不 確 定 性 地 図 の 作 成 )

フ ラ ク タ ル 幾 何 学 は 1970年 代 に Mandelbrotに よ り 提 案 さ れ [2‑4] ， そ の 主 な 概 念 は ス ケ ー ル を 超 え た 形 状 の 自 己 相 似 性 に あ る ( こ こ で ， 統 計 的 な 意 味 の 自 己 相 似 性 も 併 せ て 考 慮 し て い る ). 

こ の 自 己 相 似 性 は 多 く の 自 然 形 状 に 見 い だ さ れ る も の で あ る こ の 概 念 に 基 づ く 特 徴 量 で こ と は 以 前 か ら よ く 知 ら れ て い た @

あ る フ ラ ク タ ル 次 元 D は 以 下 の よ う に 定 義 さ れ る . あ る 自 己 相 似 パ タ ー ン を 観 測 ス ケ ー ル γで 観 測 し た 時 の 観 測 量 Nを 用 い て

( 1 )  単 位 の な フ ラ ク タ ル 次 元 D は 次 式 の よ う に 求 め ら れ る .

D= 一 logNj l o g y  

次 元 と い う 言 葉 が 示 す 通 り ， 1 

= 

NyD 

こ の フ ラ ク タ ル 次 元 は ，

o r  

し た が っ て 大 き さ な ど の ス ケ ー ル に は 依 存 し な い . い量であり，

さ ま ざ ま 生 成 過 程 に 依 存 す る も の の ，

な 自 然 形 状 で 観 測 可 能 で あ る . 人 間 の 知 覚 す る こ の フ ラ ク タ ル 次 元 は ，

フ ラ ク タ ま た 心 理 実 験 に よ り ，

の 尺 度 と 強 い (roughnes s) 

J 

ル次元は， 「組さ

相 闘 が あ る こ と が 知 ら れ て い る [2‑5J.

自 然 地 形 の 自 己 相 似 牲 に 着 目 し ， の 考 え を 適 用 し た モ デ リ ン グ に つ い て 述 べ る .

フ ラ ク タ ル 幾 何 本章では，

具 体 的 に は ， 図 新 た な 手 法 を 提 案 す る . 次 節 1に 示 し た 各 プ ロ セ ス に つ い て ，

ま ず 直 交 座 標 系 中 に 不 規 則 に 配 置 さ れ る 地 形 の 粗 さ デ ー では，

元 地 形 の 粗 さ の 尺 度 と し て フ ラ ク タ ル 次 元 を 推 定 す る

口H

R

正併 せ て 実 験 結 果 も 示 す .

化 に よ り 再 構 成 さ れ る 表 面 形 状 が あ る 種 の フ ラ ク タ ル 形 状 に な る こ と に 着 目 し ， 地 形 デ ー タ の 正 則 化 に よ る 補 間 処 理 に つ い よ り 写 実 的 に 表 現 さ

2.3節では，

タから，

手 法 に つ い て 述 べ ，

こ の 手 法 を 用 い る こ と に よ り ， れ る 自 然 地 形 の 地 図 の 作 成 が 可 能 と な る .

2.3節 で 述 べ る 手 法 に よ り 得 ら れ た 地 形 地 図 の 不 確 実 性 の 推 定 さ ら に 2.4節では，

て 述 べ る .

正 則 化 に 基 づ く 表 面 再 構 成 で 用 い ら れ る 表 そ の 影 響 の 度 合 い か ら 法 に つ い て 述 べ る .

面 の 弾 性 モ デ ル に 物 理 的 な 振 動 を 施 し ， 不 確 実 性 の 推 定 を 行 う .

地 図 の 各 点 の 高 さ デ ー タ に 対 応 す る 不 確 実 性 の 分 布 が 得 ら れ 補 間 さ れ た 地 形 こ の 手 法 を 用 い れ ば ，

こ の 手 法 を 用 プ ラ ン ニ ン グ な ど の 用 途 に 有 用 で あ る .

るため，

地 形 地 図 と そ の 不 確 実 性 地 図 を 距 離 デ ー タ か ら 計 算 し ， いて，

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り そ の 結 果 の 定 量 的 評 価 を 行 う .

2.2  フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定

2.2.1 フ ラ ク タ ル ブ ラ ウ ン 関 数 ア プ ロ ー チ

フ ラ ク タ ル ブ ラ ウ ン 関 数 は ， フ ラ ク シ ョ ナ ル ブ ラ ウ ン 運 動 な ど が 形 成 す る 統 計 的 自 己 ア フ ィ ン 性 を 一 般 的 に 表 現 す る 数 学 モ デ ル で あ る . こ こ で ， 自 己 ア フ ィ ン 性 と は ， パ タ ー ン の あ る 一 軸 へ の 投 影 の み 自 己 相 似 性 を 示 す こ と を 言 う . す な わ ち ， 自 己 ア フ ィ ン 性 が 各 軸 で 同 様 に 示 さ れ る 場 合 が 自 己 相 似 性 に あ た る . 地 形 の パ タ ー ン は 高 さ 方 向 の み 自 己 相 似 性 を 示 す と い う 意 味 で ， 自 己 ア フ ィ ン 性 を も っ と 表 現 す る 方 が 妥 当 で あ る . あ る ラ ン ダ ム な 関 数f(t)が 任 意 の I:1tに 対 し て 以 下 の よ う に 表 さ れ る と き ， そ の 関 数 は フ ラ ク タ ル ブ ラ ウ ン 関 数 と い う .

‑Ej x 

/' E¥  

g 

1 一 一

11

J 

X < 

イ 一

Hめ

‑t

A ι 一

A ω

+ 一

uH u

r l‑

f1﹄L

P A  

( 2 )  

こ こ で ， 0くH<l で あ り

，

g(x)は 累 積 密 度 関 数 で あ る . Pentland[2‑5]はg(x)が ガ ウ ス 分 布 関 数 の 場 合 の フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定 法 を 提 案 し た . ま た ， 横 矢 [2‑6]は そ の 時 の ガ ウ ス 分 布 の 平 均 を

o

と 仮 定 し て ， 等 間 隔 に 分 布 す る 地 形 の 高 さ デ ー タ か ら 地 形 の フ ラ ク タ ル 次 元 を 推 定 す る 方 法 を 示 し た . こ こ で も 同 仮 定 の 下 で フ ラ ク タ ル 次 元 推 定 を 考 え る . な お ， 粗 さ に 関 し て は ， フ ラ ク タ ル 次 元 だ け で な く ， ガ ウ ス 分 布 の 分 散 も パ ラ メ ー タ に な り う る . 実 際 ， 分 散 を 変 化 さ せ る と ， 主 観 的 に 粗 さ を 構 成 す る 凸 凹 の 振 幅 が 変 わ っ た よ う に 感 じ る が ， 組 さ そ の も の は 変 化 し た よ う に は 感 じ ら れ な い . 対 象 と す る 地 形 の 振 幅 の 範 囲 は 限 定 さ れ て い る の で ， 本 章 で は フ ラ ク タ ル 次 元 の み を 粗 さ の 制 御 パ ラ メ ー タ と し て 推 定 す る .

こ こ で は ， 横 矢 の 方 法 [2^回 6]に つ い て 簡 単 に 説 明 す る . 式 (2) に お い て は

，

^Hは 自 己 ア フ ィ ン パ ラ メ ー タ と 呼 ば れ る . こ の パ ラ メ ー タ は フ ラ ク タ ル 次 元 と 以 下 の 関 係 を も っ .

D=N+l‑H 

(3) 

こ こ で

，

Nは tの 定 義 域 の 次 元 で あ り ， 地 形 の 場 合 は N=2

，

^す

Sens̲or{Perceptron: Scanning rangefinder) 

Z  (Vertical 

axis)  穂、

Sensed...， 

distance  ，.....，.、

... 守

Elevation; 

Y  (Horizo，ntal axis)  図 2 Perceptronに よ る 地 形 の 高 さ の 観 測 パ タ ー ン

な わ ち

，

D=3 ‑Hの 関 係 を も っ . ま た ， 式(2)は 以 下 の よ う に 変 形 で き る .

E (

L1 月ん￨凶州M川t判州

1 1 ) I I

L1

t l l 

一H = E(L1 月ん恥￨凶μ阿A幻叫t削中￨

ここで， E(・)は期待値を示し，また.6filMIIは

I I

.6tllだ け 離 れ た 二 つ の 地 点 の 高 さ の 差 を 表 す . す な わ ち 式 (4)よ り (loglltll，logE(.6fiIMII))の プ ロ ッ ト は 傾 き Hの 直 線 上 に 並 ぶ . そ こ で ， 横 矢 は さ ま ざ ま な 間 隔

I I

.6tllの 地 形 の 高 さ の ぺ ア に つ い て ， そ の 差 の 平 均 を 計 算 し て ， 両 対 数 グ ラ フ に プ ロ ッ ト し ， そ れ に 直 線 当 て は め を 行 っ て ， そ の 傾 き Hを 計 算 し た . そ の Hか ら 式 (3) を 用 い て ， 地 形 の フ ラ ク タ ル 次 元 Dを 推 定 し た .

2.2.2 距 離 画 像 へ の 適 用 と 実 験 結 果

横 矢 の 方 法 で は 地 形 の 高 さ デ ー タ が 等 間 隔 に を 仮 定 し て い る . し か し ， 我 々 の 用 い た 走 査 型 レ ー ザ レ ン ジ フ ァ イ ン ダ Perceptron[2‑3]は ， レ ー ザ 光 を 水 平 軸 お よ び 鉛 直 軸 を 中 心 に 回 転 す る こ つ の 鏡 で 2次 元 に 投 射 し ， 各 光 線 方 向 の 対 象 物 ま で の 距 離 を 測 定 す る . 各 光 線 は 等 し い 角 度 に 投 射 さ れ る の で ， 得 ら れ る 距 離 デ ー タ は セ ン サ を 原 点 と す る 円 筒 座 標 系 で 分 布 す る .

Z  ^It‑.Z 

Z' 

Y  X 

図 3 フ ラ ク タ ル 次 元 推 定 に お け る 許 容 域 の 設 定

そ の 鉛直方 向 の 観 測 の 様子 を 図 2に 示 す . こ の よ う に 観 測 さ れ た 距 離 デ ー タ を 地 形 の 直 交 座 標 系 に 展 開 す る と ， 高 さ デ ー タ は 一 様 の 間 隔 に は 分 布 し な い . こ こ で は ， そ の よ う に 分 布 す る 距 離 デ ー タ に 対 す る 横 矢 の 方 法 の 拡 張 を 考 え る .

フ ラ ク タ ル ブ ラ ウ ン 関 数 に よ る フ ラ ク タ ル 次 元 推 定 で は ， あ る 一 定 の 距 離 感 覚 に 存 在 す る 高 さ デ ー タ の ぺ ア が 複 数 存 在 し ， そ の 高 さ の 差 の 平 均 を 期 待 値 と み な せ る 状 況 で な け れ ば な ら な い . し か し ， 我 々 の 対 象 と し た 距 離 デ ー タ か ら は ， 十 分 多 く の高 さ デ ー タ ペ ア の サ ン プ ル を 計算す る こ と は 期待で き な い . そ こ で ， 図 3に 示 す よ う に ， あ る 間 隔

I I

L1

t l l

に 微 小 な 幅8(>0)の 許 容 域 を 設 定 し ， 非 等 間 隔 に 配 置 さ れ る 高 さ デ ー タ に 適 用 可 能 に

し た . す な わ ち ， あ る 高 さ デ ー タ か ら の 距 離 が (d‑{j  ^I  d+ {j  ) 

の 範 囲 に あ る 高 さ デ ー タ は ， 距 離 dに あ る と み な す . こ の許 容 量 を 操 作 す る こ と で サ ン プ ル 数 を 確 保 し ， 統 計 的 に 安 定 し た 期 待 値 を 求 め る [2・7].

(ajR凱 群image(input)  (b )Refiectance inmge 

1・3.5 ‑3，1)  4!.5  .2.0 ・1.5 .1，()  .1).5  0.0  ^{1).5  1.君}

(

立)F主邑ctalplots with the長ttedpolyline  ^10事11ムtl!

図 4 フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定 結 果

図 4 に 実 験 結 果 の 一 例 を 示 す . 図 4(a)， (b)は そ れ ぞ れ Perceptronに よ り 観 測 さ れ た 距 離 画 像 と 輝 度 画 像 ( 反 射 レ ー ザ の 強 さ の 分 布 ) で あ る . 距 離 画 像 で 黒 く 示 さ れ た 領 域 は ， 外 乱 光 の 影 響 な ど で 雑 音 と み な せ る 距 離 デ ー タ や 反 射 率 の 低 い 物 体 な ど か ら の 反 射 に よ り 信 頼 で き な い と み な せ る 距 離 デ ー タ に つ い て ， マ ス キ ン グ を し た も の で あ る . こ の 距 離 画 像 中 で 白 い 枠 内 の 部 分 ( 主 に 岩 石 か ら な る 地 形 部 分 に あ た る ) を 直 交 座 標 系 に 展 開 し . 許 容 幅 6を O.2mmに 設 定 し て 求 め た E(L1fiIMII)を 両 対 数 グ ラ フ に プ ロ ッ ト し た も の を 図 4(c)に 示 す . そ の プ ロ ッ

ト し た 点 群 に Kurozumi[2‑8]の 折 れ 線 近 似 法 に よ り 直 線 群 を 当

#1  #2 

#3  #4 

#5  #6 

#7  #8 

図 5 フ ラ ク タ ル 推 定 に 用 い た 距 離 画 像

て は め た も の を 同 時 に 示 し て い る . こ の 直 線 群 の 中 で ， 関 与 す る 点 数 が 多 い も の に 最 小 2乗 近 似 で 直 線 を 当 て は め ， そ の 傾 き を H と し て ， 式 (3)に よ り フ ラ ク タ ル 次 元 D を 求 め る と

，

D= 

2.512で あ っ た .

さ ら に 多 く の 距 離 画 像 か ら フ ラ ク タ ル 次 元 を 推 定 し た . 対 象 と し た 距 離 画 像 を 図 5に 示 す . フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定 に 用 い た デ ー タ は ， 図 4の 実 験 と 同 様 に ， 白 枠 の 内 部 の み で あ る . あ ら か じ め 被 験 者 に 距 離 画 像 の 示 す 地 形 が 粗 い と 思 わ れ る 順 に デ

提 案 手 法 に よ り 推 定 さ れ た フ ラ ク タ ル 次 元 表 1

F r a c t a l  d i m e n s i o n  

(error)  2.661  (0.025) 

2.512 (0β16)  2

. 4

86 (0.014)  2.239 (0.025)  2.196 (0.010)  2.118 (0.021)  2.102 (0.014)  2β10 (0.022) 

P a t t e r n #  

1 2 3 4 5 6 7 a 8  

そ の 距 離 画 像 の デ ー タ 番 ー タ 番 号 を 付 与 す る よ う に 依 頼 し た .

ア

ー タ 番 号 順 に 推 定 さ れ た フ ラ ク タ ル 次 元 が 減 少 す る . 従 っ て ， 推 定 さ れ た フ ラ ク タ ル 次 元 が 人 間 の 知 覚 す る 地 形 の 粗 さ と 強 号 順 に 推 定 さ れ た フ ラ ク タ ル 次 元 を 示 し た の が 表 1で あ る .

砂 の パ タ ー ン の 微 妙 な 粗 さ フ ラ ク タ ル 次 元 は 適 切 な 順 序 付 け を 施 し て い 相 関 を も つ こ と が 明 ら か で あ る .

の 違 い に 対 し て も ，

フ ラ ク タ ル 次 元 を 地 形 の 粗 さ の 尺 度 と す る こ と は 妥 な お ， 表 1中 で errorと し て 示 さ れ て い る の は ， 当 て は め た 直 線 の 最 小 2乗 近 似 誤 差 で あ り ，

実際，

いるので，

当 で あ る .

こ の 値 が 小 さ い こ と 表 1で は こ の 値 が デ ー タ の フ ラ ク タ ル 性 の 尺 度 と な る .

は か な り 小 さ い の で ， 観 測 し た 地 形 は フ ラ ク タ ル で あ る こ と が 判 断 で き る .

粗 さ を 保 存 し た 地 形 地 図 の 作 成 2.3 

不 規 則 に 配 置 さ れ た 地 形 の 高 さ デ ー タ か ら 任 意 の ここでは，

そ の フ ラ ク タ ル 次 元 に よ り 表 現 さ れ た 粗 さ を 保 解 像 度 の 3次 元 地 形 地 図 を 作 成 す る 方 法 に つ い て 述 べ る . 根 本 と な る 技 術 は ，

存 す る 補 間 法 で あ る .

コ ン ビ ュ ー フ ラ ク タ ル 性 を 示 す 形 状 の 生 成 手 法 に つ い て は ，

タ グ ラ フ ィ ッ ク ス の 分 野 で 多 く 提 案 さ れ て い る [2‑9J.し か し こ れ ら の 方 法 は 一 般 に ， 観 測 デ ー タ に よ る 拘 束 を 考 慮 す る こ と ( 厳 密 に 言 え ば ， 観 測 デ ー タ 点 を ほ ぼ 通 る よ う な 形 状 を 再 構 成 す る こ と ) が で き な い . 横 矢[2‑6Jは ， 観 測 さ れ た 地 形 の 高 さ デ ー タ か ら 高 い 解 像 度 の 地 形 パ タ ー ン を 生 成 す る 方 法 を 提 案 し た . こ れ は ， フ ラ ク タ ル ブ ラ ウ ン 関 数 の 性 質 を 示 す 形 状 を 生 成 す る ラ ン ダ ム 中 点 変 位 法 を 拡 張 し た も の で あ り ， デ ー タ 点 が 規 則 的 に 格 子 状 に 並 ん で い な け れ ば な ら な い と い う 拘 束 条 件 を 満 足 し な け れ ば な ら な い .Szeliski[2‑12Jは 正 則 化 に よ る 表 面 再 構 成 問 題 を ベ イ ズ 推 定 に よ り 解 き ， そ の と き に 構 成 さ れ る 表 面 形 状 が フ ラ ク タ ル 性 を も つ こ と を 示 し た . こ こ で は ， Szeliski  の 方 法 を ラ ン ダ ム フ ラ ク タ ル の 生 成 法 を 用 い て 拡 張 子 ， 不 規 則 な デ ー タ 点 の 配 置 か ら も 粗 さ を 保 存 し た 任 意 解 像 度 の 地 形 地 図 を 構 成 で き る 方 法 を 提 案 す る . こ の 方 法 で は ， 高 周 波 成 分 ま で フ ラ ク タ ル 性 を 復 元 す る こ と が 可 能 で あ る .

2.3.1 正 則 化 に よ る 表 面 再 構 成

初 期 視 覚 問 題 に お け る 逆 問 題 は ， 一 般 に 不 良 設 定 問 題 で あ る . 正 則 化 は ， 不 良 設 定 問 題 を 滑 ら か さ の 拘 束 条 件 な ど で 解 の 存 在 可 能 空 間 を 制 限 し て 解 く 数 学 的 手 法 で あ る [2‑10J. 例 え ば ， あ る 曲 面

u

に 対 し 標 本 化 を 施 し ， デ ー タ 点 dが 観 測 さ れ た と す る . この dか ら 曲 面 uを 求 め る 表 面 再 構 成 問 題 は 典 型 的 な 不 良 設 定 問 題 で あ る が ， エ ネ ル ギ ‑E(u)を 以 下 の よ う に 設 定 し ， そ れ を 最 小 化 す る よ う に し て 解 uを 得 る こ と が で き る .

E(u) = (1‑λ^)Ed(u) d) +λ^Ep(u)  (5)  こ こ で ん

( u

，d)は 正 則 化 に お い て は ペ ナ ル テ ィ 汎 関 数 と 呼 ば れ ， デ ー タ 適 合 性 の 度 合 を 表 し ， 以 下 の よ う に 計 算 さ れ る .

Ed(M)=jziCi[1i(xd)‑di12  ^(6 ) 

こ こ で，U(Xi，

y J

は 疎 な デ ー タ 点 的 か ら 再 構 成 さ れ る 2次 元 の 表

面 形 状 を 表 し

，

Ciは そ の デ ー タ の 信 頼 度 ( 例 え ば ， 計 測 に お け る 分 散 の 逆 数 ) を 表 す .

Ep(u)は 正 則 化 に お い て は 安 定 化 汎 関 数 と 呼 ば れ ， 解 で あ る 曲 面Uの 滑 ら か さ に 関 す る 拘 束 を 表 す . 一 般 に weak membraneや thin plateと い っ た そ れ ぞ れ 1次微分， 2次 微 分 の 連 続 性 を 考 慮 し た 弾 性 体 の モ デ ル が 適 用 さ れ て い る . さ ら に ， こ の 二 つ の 安 定 化 汎 関 数 の モ デ ル を 結 合 し た も の も 提 案 さ れ て い る [2‑11J.

Ep(u) 

=  _~ f f [ W l   (U~ +  _U~) + 

W2 

(U~X 十 2uiy 十 U~y)]dxdy

⁽⁷⁾ 

す な わ ち ， 上 式 で{W1JW2} 

= 

{l，O}タ {O，l}と し た も の が そ れ ぞ れ weak membraneお よ び thinplateの 安 定 化 汎 関 数 で あ る .

式(6)で ， デ ー タ 点 的 が 存 在 す る 場 合 の み 対 応 す る 対 角 要 素 に 信 頼 度 Ci

> 

⁰が 入 り ， そ の 他 の 要 素 は0の 正 方 行 列 ん を 考 え る と ， ペ ナ ル テ ィ 汎 関 数 は 9

Ed(upd)=i(u‑d)TAd(u‑d)  ^(8 ) 

と 表 せ る . ま た ， 偏 微 分 を 差 分 の 形 で 表 し 正 方 行 列 Apとすれば，

安 定 化 汎 関 数 も 以 下 の よ う な 2次 形 式 で 表 せ る .

u 

p A T U 1一2

u 

︑lj

一 一

f'

E  P  t︑ (  凸ud ) 

こ こ でA =λAp

+ 

(1‑λ)Ad

， 

b^コ (1‑λ)Addと す る と ， 最 小 化 す べ き エ ネ ル ギ 一 式 (5) は 以 下 の よ う にuに 関 す る 2次 形 式 で 表 現 で き る.

E(u)=iuTAu‑uTb+c 

=i(u^{ー ザ})TA(uー ザ)+k ( 1 0)  こ こ で ， ぜ こA‑¹bは エ ネ ル ギ ー を 最 小 化 し て 得 ら れ る 最 適 な 曲 面 の 解 で あ る .

ある曲面形状U~こ関する事前確率を p(U) ， ある表面 U を観測し

た 時 に デ ー タ dが 得 ら れ る 条 件 付 き 確 率 をp(dlu)

，

ま た デ ー タ dを 観 測 す る 確 率 を p(d)と す る と ， デ ー タ dを 観 測 し た と き に 曲 面 形 状 がUで あ る 事 後 確 率 は ベ イ ズ 則 よ り 以 下 の よ う に 求 め ら れ る .

p(dlu)p(u) 

p ( u l d )   = 

_p(d)  (11)  曲 面 形 状 の あ る 点 の 値 お よ び そ の 点 を 与 え た と き の 観 測 値 が ボ ル ツ マ ン 分 布 で あ る こ と を 仮 定 す る と ， 確 率p(u)お よ びp(dlu) は，式 (5) に 示 し た 正 則 化 の エ ネ ル ギ ー の 各 項 か ら ボ ル ツ マ ン 分 布を使い，

Ev(u) 

仰 )

= 

Z~ 叫(ーす)

州

u)

= 之 町

^(‑E

^刈

^d))

と 表 さ れ る . こ こ で

，

Zp =

レ

xp(一千)， Zゐd =以 ^d〆e位州X

(12) 

あり

，

Tpは ボ ル ツ マ ン 分 布 に お け る 「 温 度 」 で あ る [2‑13J.p(u)は あ る 観 測 デ ー タ に お い て は 一 定 値 で あ る こ と を 考 え る と ， ベ イ ズ 則 (11)は ， こ の 二 つ の 確 率 か ら 以 下 の よ う に な り ，

p(dlu)p(u) 

p ( u l d )   = 

_p(d) 

Eη(u) 

c( eXPL-~一一 βd(U，d)] 

"p 

( 13) 

す な わ ち ， 事 後 確 率p(uld)は エ ネ ル ギ ーE(u)か ら ボ ル ツ マ ン 分 布 で 求 め ら れ る 確 率exp(‑E(u))に 比 例 し ， し た が っ て ， 式 (5)におけ る エ ネ ル ギ ー 最 小 化 は ， ベ イ ズ 則 に お け る 事 後 確 率 最 大 化 と 等 価 で あ る [2‑12J.

2.3.2 与 え ら れ た ボ ル ツ マ ン 分 布 に 従 う フ ラ ク タ ル 表 面 の 生 成 Szeliski[2‑12Jは ， 安 定 化 汎 関 数 (7)をUの フ ー リ エ 変 換 と パ ー シ パ ル の 等 式 に よ り ， 周 波 数

f

の 関 数 と し て 書 き 換 え た . そ し て ，

そ れ を も と にuが 式

( 7 )

を エ ネ ル ギ 一 関 数 に も つ ボ ル ツ マ ン 分 布 に 従 う と す れ ば ， そ の パ ワ ー ス ペ ク ト ル は ，

Su(f) 

=

^{一一一」 ( 14)} 

に 従 う こ と を 導 い た . 安 定 化 汎 関 数 と し て weakmembraneや thin plateを 考 え る 場 合 は ， そ れ ぞ れ 式 (14)で{w1，W2} = {1，O}^タ {O，l}

と し た と き で あ る の で ， そ の 場 合 の 表 面 の パ ワ ー ス ペ ク ト ル Sw巴αk̲membrane ， Stlzin̲Plαteは 周 波 数

f

に 関 し て 次 式 を 満 足 す る .

Sweαk membγαm

げ ) α 1 2 π 1 1 ‑

²

S tlz in̲plαte(f)

α 1 2 π 1 1 ‑

⁴  (15)  一 方 ， 統 計 的 自 己 ア フ ィ ン 性 を も っ 形 状 v (R^N上 の フ ラ ク タ ル ブ ラ ウ ン 関 数 ) の パ ワ ー ス ペ ク ト ル は ，

S v ( ! ) α 1 2 π t 1 ‑

2H‑N 

( 1 6 )  

を 満 た す こ と が 知 ら れ て い る [2‑9J. こ こ で

，

Hは 式(2)で も 用 い た 自 己 ア フ ィ ン パ ラ メ ー タ で あ る . 式 (15)と式 (16)を比較す る こ と に よ り ， weak membraneお よ び thinplateと い う 安 定 化 汎 関 数 を 用 い た と き に は そ れ ぞ れ H= 1，0に 対 応 す る こ と が わ か

る . 特 に 後 者 の 場 合

，

D=N+1‑H=3で あ り ， こ れ は thinplate  を 安 定 化 汎 関 数 と し て 用 い た 場 合 に 形 成 さ れ る 曲 面 が フ ラ ク タ ル 形 状 で あ る こ と を 示 す .

Szeliski[2^四 12]はさらに，式 (7)で 示 さ れ る 安 定 化 汎 関 数 と 多 重 解 像 度 表 現 で の 正 則 化 を 使 い ， 非 整 数 の フ ラ ク タ ル 次 元 を も っ 表 面 を 生 成 す る よ う に 拡 張 し た . 式(14)において Wl二

1 2 π

^ん

1

^2w2

と お く と Su(f)は ん の 近 傍 でSu(f)α

，

^‑3と 近 似 で き る こ と を 実 験 的 に 示 し た . こ れ は フ ラ ク タ ル 次 元 Dニ 2.5に 相 当 す る 曲 面 で あ る . ま た ， 解 像 度 が 各 階 層 間 で 順 に 半 分 に な る 多 重 解 像 度 ピ ラ ミ ツ

ド 表 現 で ， 以 下 の 式 (17)の 関 係 を も つ よ う に 安 定 化 汎 関 数 の 重 み を 設 定 す れ ば ， そ の エ ネ ル ギ ー 最 小 化 ( も し く は 事 後 確 率 最 大 化 ) に よ り 得 ら れ た 各 階 層 の 表 面 の 和 と し て 計 算 さ れ る 最 終

的 に 再 構 成 さ れ た 表 面 形 状 の パ ワ ー ス ペ ク ト ル は ， あ る 周 波 数 域 で

1 1 1 ‑

³ に 比 例 す る こ と が 実 験 的 に 確 か め ら れ た .

wJP=22m‑3w

ム (

^1 7) 

こ こ で ， 非 負 の 整 数 lは 各 階 層 の イ ン デ ッ ク ス を 表 し ， 最 も 解 像 度 の 高 い 階 層 で l= 0で あ り ， 低 解 像 度 に な る に つ れ て lの 値 は 1 ず つ 増 す も の と す る . ま た ， m = 1ま た は 2で あ る .

2.3.3 一 般 の フ ラ ク タ ル 次 元 を も っ 表 面 の 再 構 成

上 記 の 手 法 を 拡 張 し ， 一 般 の フ ラ ク タ ル 次 元 D に お い て 成 り 立 つ よ う に す る . 式 ( 14)でら(ん)=叫ん12D‑8 (こ こ で

，

kは あ る 正 の 定 数 ) が 成 り 立 っ と す れ ば ， そ の 表 面 は 式 ( 16)の 関 係 よ り フ ラ ク タ ル 次 元 Dの フ ラ ク タ ル 形 状 で あ る の で ， そ れ か ら 安 定 化 汎 関 数 の 重 み 聞 の 関 係 を 求 め る と ，

，

，6‑2D 

w1 

=ι‑τ‑12π ん 1

^2w2

κ 1271t~

︑ ︑ ︐ ノ

GO 

t ‑ ‑

〆f t¥

と な る ( こ の 式 で D=2.5と し て も Szeliskiの 重 み と 異 な る こ と に 注 意 ). こ の 関 係 を 満 た す 重 み を 最 大 解 像 度 の 階 層 l= 0で の 重 み

w f

^，

w ;

と し ， 以 下 の 式 で 各 階 層 の 重 み を 定 め て 表 面 の 再 構 成 を お こ な え ば ， フ ラ ク タ ル 次 元 Dの フ ラ ク タ ル 表 面 が 得 ら れ る .

W

} ; t

^l 

= 

^22m+2D‑8

^{w .}

ム ( 19)

こ の 手 法 で 得 ら れ る フ ラ ク タ ル 表 面 は ， そ の 自 己 相 似 性 ( 自 己 ア フ ィ ン 性 ) を 示 す 周 波 数 域 が 限 ら れ て お り ， 一 般 に 低 周 波 数 域 に お い て は よ く 自 己 相 似 性 を 示 す . す な わ ち ， 式 ( 16)と 一 致 す る . し か し ， 高 周 波 数 域 で は 一 致 し な い . そ の た め ， 再 構 成

さ れ た 表 面 は 不 自 然 に 滑 ら か な 表 面 に な る .

そ こ で 高 周 波 数 成 分 に お け る 粗 さ を 制 御 す る た め に ， 温 度 ち を 適 切 に 設 定 す る こ と を 考 え る . Szeliski[2‑12]に よ れ ば，Tpは 局 所 的 な エ ネ ル ギ 一 分 布 の 拡 散 を 制 御 す る パ ラ メ ー タ と 定 式 化 し て い る . す な わ ち ， 式 (10)と(12)より，

αu(町‑ui)^Z

p(udu)^区 exp(‑2Tp) (20) 

が 求 め ら れ ， こ れ は 正 規 分 布_N(ud)と 等 価 で あ る . し た が っ て ， あ る 非 負 の ち を 設 定 し た 場 合 ， 事 後 確 率 最 大 化 の 過 程 は ， 正 則 化 過 程 と し て の Gauss‑Seidelの 弛 緩 法 な ど の 繰 返 し 演 算 に よ る エ ネ ル ギ ー 最 小 化 を 逐 次 ， N(O， _αT ~p)の乱数を付加しつつおこな

ii 

う 過 程 と し て 実 現 で き る . こ こ で ， 解 像 度 の 関 数 と し て 標 準 偏 差 が 制 御 さ れ る 正 規 乱 数 を 繰 返 し 加 算 し て い く と 統 計 的 フ ラ ク タ ル 形 状 で あ る フ ラ ク シ ョ ナ ル ブ ラ ウ ン 運 動 の 軌 跡 バ タ ー ン が 得 ら れ る [2‑9 

J

こ と を 考 え る と ， パ ラ メ ー タ ら を 制 御 す る こ と に よ り 高 周 波 数 成 分 に お い て も 自 己 相 似 性 を 示 す 表 面 を 再 構 成 で き る . 逐 次 ラ ン ダ ム 加 算 法 で は ， 異 な る 解 像 度 の 階 層lに 対 し て ， 分 散 が 次 式 で 示 さ れ る 正 規 乱 数 を 解 像 度 の 小 さ い 階 層 か ら1)慎 に 繰 り 返 し て 加 算 し て い き ， 自 然 な フ ラ ク シ ョ ナ ル ブ ラ ウ ン 運 動 の 軌 跡 を 生 成 で き る .

σ2 

̲σ5

(1‑2^ZH‑Z

2=σ5

^{(1‑24‑ZD)} 

2‑ZH1  2(ZD‑6)1  (21 ) 

こ の 考 え を 多 重 解 像 度 表 現 に よ る 表 面 再 構 成 に 適 用 し ， フ ラ ク タ ル 形 状 で あ る 原 表 面 を 再 構 成 す る . す な わ ち ， 各 階 層 lの パ ラ メ ー タ Tp1を フ ラ ク タ ル 次 元 Dの 関 数 と し て 以 下 の よ う に 定 め る .

Tpo(D) 

=  k

σ5(1 ‑24‑2D) 

Tpl(D) = Tplー1(D)2^6‑2D ₍₂₂₎  ここで， σ。 は 単 位 距 離 当 た り の 地 形 の 高 さ 分 布 の 標 準 偏 差 で あ り，これは Pentland[2‑5Jに よ り 提 案 さ れ た フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定 法 で 求 め る こ と が で き る . ま た

，

kは フ ラ ク タ ル 形 状 の 生 成 過 程 に 依 存 す る 定 数 で あ る . こ の 定 数 は 未 知 数 で あ る が ， 以 下 の 方 法 を 用 い て ， 再 構 成 し た 地 形 の フ ラ ク タ ル 次 元Dホが推定し

図 6 補 間 処 理 の 入 力 デ ー タ

た 値 Dに 最 も 近 く な る よ う な らo(D)を 求 め て ， 式 (22)か ら 計 算 す る こ と が で き る .

D 

= 

Est(d) 

ち

o(D)= {Tpol min恥 (Est

( 叫

d，D，

ら 0 ) )‑

D)2}  ⁽²³⁾  こ こ で

，

Est(・)は 2.2節 で 示 し た フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定 法 に よ り 推 定 さ れ た フ ラ ク タ ル 次 元 を ， ま た Int(・)はこの節で示した フ ラ ク タ ル 表 面 の 再 構 成 パ タ ー ン を 示 す .

図 7 Szeliskiの 提 案 手 法 に よ る 補 間 結 果

log E( L>fll"tli) 

岬 logllL>t1l

図 8

2.3.4 実 験 結 果 と そ の 考 察

まず， Szeliskiの 手 法 で 生 成 し た 地 形 デ ー タ を 補 間 し た 結 果 を 示 す . 図 6は ， フ ラ ク タ ル 次 元 Dを 2.3，2.5お よ び 2.7と設 定 し て ラ ン ダ ム 中 点 変 位 法 [2^四 9]で 生 成 し た ( 模 擬 ) 地 形 デ ー タ ， 99%の デ ー タ を 間 引 い た 補 間 処 理 の 入 力 デ ー タ を 示 す . ま た ， 図 7に Szeliskiの 提 案 手 法 に よ る 補 間 結 果 を 示 す . こ こ で ， 重

表 2 生 成 デ ー タ に 対 し て 提 案 手 法 に よ り 決 定 さ れ た パ ラ メ ー タ Tpo

D  D^本 Tp  ID~

‑ L 1 1 

2.2  2.236  4.4 

x 

10‑⁶  6.0 

x 

10‑²  2.3  2.308  1.5 X 10‑⁵  4.4 

x 

10‑²  2^圃4 2.390  4.5 

x 

10‑⁵  2.6 

x 

10‑²  2.5  2.476  1.4 X 10‑⁴  1.8 ^X 10‑²  2^調6 2.561  4.1 ^X 10‑⁴  1.7 X 10‑²  2.7  2.643  1.3 X 10‑³  3.5 ^X 10‑²  2.8  2.716  3.8 ^X 10‑³  5.6 X 10‑² 

図 9 提 案 手 法 に よ る 補 間 結 果

み^W S

臼ze叫1i s ki王dの 方 法 に よ れ ば 高 周 波 数 成 分 に お い て 粗 さ を 保 存 し な い の で ， 全 体 と し て 清 ら か な 印 象 を 受 け る . こ の 結 果 を 定 量 的 に 評 価 す る た め に ， 2^関2で 示 し た フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定 法 を 用 い て ， そ の 傾 向 を 観 察 す る と 図 8(b)に 示 す よ う に ， 近 傍 の 高 さ の 差 の 平 均 ( す な わ ち 高 周 波 数 成 分 ) に お い て は プ ロ ッ ト し た 曲 線 の 傾 き が 本 来 の 曲 線 ( 図 8(a)) よ り も 大 き く な っ て お り ， フ ラ ク タ ル 次 元 が 2に 近 く 滑 ら か で あ る こ と が わ か る .

logE(ムfllAtll)

l∞、

050 

。

∞

，戸句，

百芝玄一‑

E完 了 ‑ B二王.r^一

~i3-- 拘

Eみ;;‑‑

引〆〆 h~1 ~~:r- -J-~~，~羽川­

i 廿オ戸官→‑

‑0.50 

一一ート一一一一

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長 ^LL

。∞1.00

十 寸 寸 一 一

4田 5回 附 log"ムtll

図 10 提 案 手 法 に よ る 補 間 結 果 の フ ラ ク タ ル 性 判 定

次 に 2.3.3で 述 べ た 提 案 手 法 を 用 い て ， パ ラ メ ー タ Tpoを設定し，

間 引 い た 高 さ デ ー タ を 補 間 し て み た . フ ラ ク タ ル 次 元 D=2.4の と き の 生 成 地 形 デ ー タ に お い て 式 (23)を 使 い ， 定 数kを求めると，

k = 4.7 X 10‑⁷で あ っ た . こ の 値 を 用 い て 求 め た ら 。 の 値 を 表 2に 示 す.

ま た

，

D= 2. 3， 2.5お よ び 2.7に お い て ， そ の Tpoを 用 い て 提 案 手 法 に よ り 補 間 し た 結 果 を 図 9に 示 す . 原 デ ー タ お よ び 補 間 の 入 力 と し た デ ー タ は 図 6に 示 し た も の と 同 じ で あ る . 図 7と比 較 す れ ば 明 ら か な よ う に ， 図 9の 補 間 結 果 は フ ラ ク タ ル 次 元 に 従 っ て 粗 く 見 え ， 生 成 デ ー タ ( す な わ ち ， 真 値 ) か ら 受 け る 印 象 に 非 常 に 近 い も の に な っ て い る .2.2に 示 し た フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定 法 を 補 間 結 果 に 適 用 し た 結 果 を 図 10に 示 す . 図 8(b)

と 比 較 す る と ， 高 周 波 数 成 分 に お い て も 線 形 性 ( す な わ ち ， 自 己 相 似 性 ) が 保 た れ て お り ， ま た フ ラ ク タ ル 次 元 に 従 っ て 傾 き