。∞1.00
十 寸 寸 一 一
4田 5回 附 log"ムtll
図 10 提 案 手 法 に よ る 補 間 結 果 の フ ラ ク タ ル 性 判 定
次 に 2.3.3で 述 べ た 提 案 手 法 を 用 い て ， パ ラ メ ー タ Tpoを設定し，
間 引 い た 高 さ デ ー タ を 補 間 し て み た . フ ラ ク タ ル 次 元 D=2.4の と き の 生 成 地 形 デ ー タ に お い て 式 (23)を 使 い ， 定 数kを求めると，
k = 4.7 X 10‑7で あ っ た . こ の 値 を 用 い て 求 め た ら 。 の 値 を 表 2に 示 す.
ま た
，
D= 2. 3， 2.5お よ び 2.7に お い て ， そ の Tpoを 用 い て 提 案 手 法 に よ り 補 間 し た 結 果 を 図 9に 示 す . 原 デ ー タ お よ び 補 間 の 入 力 と し た デ ー タ は 図 6に 示 し た も の と 同 じ で あ る . 図 7と比 較 す れ ば 明 ら か な よ う に ， 図 9の 補 間 結 果 は フ ラ ク タ ル 次 元 に 従 っ て 粗 く 見 え ， 生 成 デ ー タ ( す な わ ち ， 真 値 ) か ら 受 け る 印 象 に 非 常 に 近 い も の に な っ て い る .2.2に 示 し た フ ラ ク タ ル 次 元 の 推 定 法 を 補 間 結 果 に 適 用 し た 結 果 を 図 10に 示 す . 図 8(b)と 比 較 す る と ， 高 周 波 数 成 分 に お い て も 線 形 性 ( す な わ ち ， 自 己 相 似 性 ) が 保 た れ て お り ， ま た フ ラ ク タ ル 次 元 に 従 っ て 傾 き
(b )#4， D~2 ，24
図 11 提 案 手 法 に よ る 距 離 画 像 か ら の 高 さ デ ー タ の 補 間 結 果
が 小 さ く な っ て い る こ と が わ か る . フ ラ ク タ ル 次 元 は 知 覚 さ れ る 粗 さ に 度 合 に 適 応 す る 尺 度 で あ る の で ， 粗 さ を 保 存 し た 補 聞 が 実 現 さ れ て い る こ と が 定 量 的 に 示 さ れ た . ま た ， フ ラ ク タ ル 次 元 推 定 法 の グ ラ フ で 縦 軸 切 片 の 値 は ， 式(2)のg(x)を 平 均 0の ガ ウ ス 分 布 と し た と き の 標 準 偏 差 に 相 当 す る . こ れ は ， パ タ ー
ン の 高 さ 方 向 の 振 幅 の 大 き さ を 決 定 す る 地 形 情 報 の 再 構 成 に は 重 要 な パ ラ メ ー タ の 一 つ で あ る . 補 間 結 果 の 縦 軸 切 片 の 値 を 生 成 デ ー タ か ら の フ ラ ク タ ル 次 元 推 定 の グ ラ フ ( 図 8(a) ) の 縦 軸 切 片 の 値 と 比 較 す る と ， 7パ タ ー ン の 差 の 平 均 で 2‑0，207= 0.866 倍 ， 差 が 最 大 で あ る D=2.2の 場 合 で も
r
O.550= 0.683倍 程 度 で あ り ， 振 幅 の 大 き さ も ほ ぼ 復 元 さ れ て い る .さ ら に ， レ ン ジ フ ァ イ ン ダ Perceptronに よ り 観 測 さ れ た 地 形 デ ー タ を 提 案 手 法 で 補 間 し て み た . 図 5か ら そ れ ぞ れ 岩 石 ， 砂 か ら な る 地 形 の 観 測 デ ー タ と し て ， 2， 4お よ び 6を 選 択 し た . そ の フ ラ ク タ ル 次 元 は そ れ ぞ れ 表 1に お け る わ 4お よ び 6の エ ン ト リ に 対 応 す る . ま ず ， 図 5#4の デ ー タ で 式 (23)に 示 し た 方 法 を 用 い kを 求 め る と
，
k = 4.0 X 10‑2で あ っ た . そ の kか ら 求 め表 3 実 測 デ ー タ に 対 し て 提 案 手 法 に よ り 決 定 さ れ た パ ラ メ ー タ Tpo
Pattern# 11 D牟
: l l ; j j
111...800ら
X X X 111000‑‑‑4 7 7 11 11 11|ID~-DI
411...50 6 x x x 111000‑‑‑2 2 1寸一一一一宏容認「一一一日
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ー~~~._--。閣 logil.M1!
図 12 地 形 地 図 の フ ラ ク タ ル 性 判 定
たTpoを 表 3に 示 す . ま た ， そ の Tpoを 用 い て 補 聞 を 施 し た 結 果 が そ れ ぞ れ 図
I I ( a ) " " " ' ( c )
で あ る . そ の 補 間 結 果 の フ ラ ク タ ル 次 元 を 2.2に 示 し た 方 法 で 求 め ， 原 デ ー タ か ら 求 め た フ ラ ク タ ル 次 元 と の 差 を 求 め た も の を 表 3に 同 じ く 示 す .補 間 結 果 の 自 己 相 似 性 を 示 す た め に ， フ ラ ク タ ル 次 元 推 定 法 で 用 い た 高 さ 変 化 の 期 待 値 の 分 布 を プ ロ ッ ト し た も の が 図 12 で あ る . こ れ は ， 図 10ほ ど で は な い が 線 形 性 を ほ ぼ 示 し て お
り ， 自 己 相 似 性 を 示 す 地 形 パ タ ー ン が 再 構 成 さ れ て い る こ と が わ か る . な お ， こ の 線 形 性 を 悪 化 さ せ た 原 因 と し て は ， 観 測 さ れ た 地 形 高 さ デ ー タ 自 体 が す べ て の ス ケ ー ル に お い て 一 定 の
フ ラ ク タ ル 次 元 を も っ と い う 過 程 を 満 た し て い な い た め と 考 え ら れ る .
2.4 不 確 定 性 の 推 定
距 離 セ ン サ で 実 世 界 を 観 測 し た と き ， あ る 性 質 を も っ セ ン サ の 観 測 誤 差 が 必 ず 重 畳 す る . 例 え ば レ ー ザ レ ン ジ フ ァ イ ン ダ Perceptronに 関 し て は ， 計 測 さ れ た 距 離 の 2乗 に 比 例 す る 標 準 偏 差 を も っ 正 規 雑 音 が 重 畳 す る こ と が 知 ら れ て い る [2‑3J.しか し ， 観 測 し た 距 離 デ ー タ が 密 な 地 形 地 図 を そ の ま ま 表 し て い る わ け で は な い の ， 前 節 で 述 べ た よ う な 手 法 で 補 聞 を お こ な い 地 形 地 図 を 作 成 す る こ と と な る . こ の と き ， 地 形 地 図 の 各 地 点 の 高 さ に 関 す る 不 確 定 性 は ど の よ う な 分 布 を 表 す で あ ろ う か . こ の 節 で は ， 観 測 さ れ た 地 形 の 高 さ デ ー タ に 関 す る 不 確 定 性 ( 一 般 に 確 率 分 布 の 標 準 偏 差 に あ た る ) が 既 知 の 時 に ， 補 間 と い う 処 理 に よ っ て 伝 搬 し た 不 確 定 性 を 推 定 す る 方 法 に つ い て 述 べ る.
2.4.1 モ ン テ カ ル ロ 法 に よ る 不 確 定 性 分 布 の 算 出
Szeliskiは 事 後 確 率 最 大 化 に よ り 再 構 成 さ れ た 表 面 に つ い て ， そ の 伝 搬 し た 不 確 定 性 を モ ン テ カ ル ロ 法 を 用 い て 算 出 す る 方 法 を 提 案 し た . 事 後 確 率 最 大 化 は 式 (1 0)に 示 さ れ る エ ネ ル ギ ー の 最 小 化 と 同 値 で あ る . こ の エ ネ ル ギ ー の 示 す ボ ル ツ マ ン 分 布 の 確 率 を 考 え る と ， そ れ は 平 均 ぜ ， 共 分 散 行 列A‑1の 多 変 数 正 規 分 布 と な る . し た が っ て ， 再 構 成 さ れ た 表 面 の 高 さ 可 の 不 確 定 性 で あ る 標 準 偏 差 は ， 行 列A‑1の 対 角 要 素 の 正 の 平 方 根 で あ る .
し か し ， 地 形 地 図 がη×ηで、あるとすると行列 Aの 大 き さ は ポ ×η2 で あ る の で ， 直 接 に そ の 逆 行 列 を 求 め る こ と は 難 し い .
こ こ で ， 不 確 定 性 の 意 味 を 再 び 考 え 直 す と ， 弾 性 膜 で 表 面 を 形 成 し た と き に ， 制 御 点 ( 表 面 の 再 構 成 の 場 合 は 観 測 さ れ た 高 さ の デ ー タ 点 ) に 加 え ら れ た 振 動 の 影 響 を 各 点 が 受 け る 度 合 い
で あ る と み な す こ と が で き る . 2.3で 示 し た 表 面 再 構 成 の 方 法 は ， 非 零 の ら を 設 定 し た 場 合 ， 正 規 分 布 に 従 う 振 幅 の 振 動 を 重 畳 し つ つ 繰 返 し に よ り エ ネ ル ギ ー が 最 小 で あ る 表 面 を 生 成 す る 過 程 と し て 実 現 さ れ て い る . そ の 過 程 で 各 点 の 高 さ Uiを 時 系 列 で 観 測 し て お き ， そ の 高 さ の 変 化 の 標 準 偏 差 を 振 動 に よ る 影 響 の 度 合 い と し て 計 算 す る . こ れ を モ ン テ カ ル ロ 法 に よ る 不 確 定 性 の 推 定 法 と い う . 実 際 に は ち に よ り 振 動 の 振 幅 に あ た る 標 準 偏 差 を 制 御 し て い る の で ， ち が 大 き い と き に は 推 定 さ れ る 不 確 定 性 は 全 体 的 に 大 き く な る . し か し ， 不 確 定 性 の 応 用 を 考 え
る と ， 多 く の 場 合 ， 地 形 地 図 中 で の 相 対 的 な 大 き さ を 参 照 す る だ け で あ る の で ， こ の 推 定 方 法 で 問 題 は な い と 考 え ら れ る .
2.3で 示 し た フ ラ ク タ ル 補 聞 の 方 法 で は ， 自 己 相 似 性 を 示 す 表 面 を 再 構 成 す る よ う な 非 零 の ち を 使 っ て い る . そ こ で ， こ の 補 間 法 に お い て 不 確 定 性 を 求 め る に は ， 以 下 の よ う な 方 法 を 使
う . エ ネ ル ギ ー 最 小 化 過 程 の あ る 時 点 fで ， 各 地 点 の 高 さ をUitと す る と
，
Lt Uit' お よ びLtU[tを そ れ ぞ れ の カ ウ ン タ に 累 算 し て おく . エ ネ ル ギ ー が 最 小 化 し た ( 正 確 に は 安 定 状 態 に な っ た ) 時 点 で カ ウ ン タ の 値 か ら 次 式 の よ う に 求 め た 標 準 偏 差σ叫を推定 す べ き 不 確 定 性 と す る . こ こ で tconvは 収 束 時 点 ( ま で の サ ン プ ル 数 ) と す る [2‑14J.
" ̲.2 "
d E t =
竺盟主主 ̲(L.t~叫こ.!.Eiしconv cconv
2.4.2 実 験 結 果 と そ の 定 量 的 評 価
図 6に 示 し た フ ラ ク タ ル 次 元 が D=2.Sの と き の 生 成 地 形 デ ー タ か ら 99%の デ ー タ を 規 則 的 に 間 引 い た も の ( す な わ ち 10x 10 点 の 格 子 か ら 1点 の み 残 し た も の ) に つ い て フ ラ ク タ ル 補 聞 を 施 す と 同 時 に ， モ ン テ カ ル ロ 法 に よ り 推 定 し た 不 確 定 性 の 分 布 ( 不 確 定 性 地 図 ) を 求 め た . 推 定 さ れ た 不 確 定 性 の 定 性 的 な 性
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図 13 生 成 デ ー タ に 対 す る 不 確 定 性 地 図 の 推 定 結 果
質 を 確 認 す る た め に ， そ の あ る 断 面 を 図 13に 示 す ( 不 確 定 性 の み 80倍 し で あ る ). 明 ら か に ， デ ー タ 点 か ら 離 れ る に つ れ て ， 不 確 定 性 が 増 し て い る こ と が わ か る .
レ ー ザ レ ン ジ フ ァ イ ン ダ Perceptronに よ り 観 測 さ れ た 砂 の 地 形 デ ー タ の 一 部 ( 図
1 4 ( a ) )
を 補 間 し ， 同 時 に 求 め た 不 確 定 性 地 図 の 一 部 を 示 し た も の が 図1 4 ( b )
で あ る .( a )
の デ ー タ 点 の 分 布 と 比 較 す る と ， デ ー タ 点 が 密 な と こ ろ は 推 定 さ れ た 不 確 定 性 が 小 さ い こ と が わ か り ， 不 確 定 性 の 直 観 的 性 質 に 矛 盾 し な い .次 に 推 定 さ れ た 不 確 定 性 の 定 量 的 な 性 質 を 調 べ る . 図 13の 結 果 は 生 成 デ ー タ に 対 し て 施 さ れ た も の で あ る の で ， 地 形 地 図 の 解 ( す な わ ち ， 間 引 く 前 の 密 な 地 形 デ ー タ ) が わ か っ て い る . そ こ で ， 各 地 点 の 推 定 さ れ た 不 確 定 性 町
( = σ u J
と 地 形 地 図 の 誤 差叫 ‑ Urの 分 布 を 図 15の よ う に プ ロ ッ ト す る こ と が で き る . こ こで， u i
は エ ネ ル ギ ー 最 小 化 に よ り 得 ら れ た 地 形 の 高 さ で あ り ，図 14 距 離 画 像 か ら の 不 確 定 性 地 図 の 推 定 結 果
町 田 由 叫y
図 15 推 定 さ れ た 不 確 定 性 と 補 間 に よ る 誤 差 の 関 係
五lは 正 し い 地 形 の 高 さ で あ る . 図 15に は 傾 き が 0.8お よ び‑0.8 の 原 点 を 通 る 直 線 を 重 畳 し て 示 し で あ る が ， ほ と ん ど の プ ロ ツ
さ 回ples"103 1.50 1.40 1.3自 1.20 1.1自
四「一一一 l
ωo 一一寸
0.80 ‑一十一一一一→
乱70
立 総
0.50 0.40
o30 0.20 0.10
‑6ぬ∞ 4ぬ∞ ♀∞00 ‑0.∞ Zぬ00 4∞.∞
ムー
ヤ
図 16 誤 差 を 不 確 定 性 で 正 規 化 し た も の の 分 布
ト し た 点 は 2本 の 直 線 の 範 囲 内 に あ る こ と が わ か る . ま た ， 横 軸 か ら 離 れ る に つ れ て ， そ の 密 度 が 小 さ く な っ て い っ て い る .
こ の 観 察 に よ り ， (uj‑iEI)/vtは 正 規 分 布N(O，k2)に 従 う こ と が 推 測 で き る . 図 16に そ の 分 布 を 実 線 で 示 す . こ の 分 布 の 平 均 は 8.5
x
10一 九 標 準 偏 差 は 0.263で あ り ， 平 均 の 絶 対 値 は 標 準 偏 差 に 比 べ て 非 常 に 小 さ い の で 零 と み な す こ と が で き る . そ こ で ， 図 16に 破 線 で 示 し た 正 規 分 布N(O，0.2632)と の 相 関 を が 検 定 に より 仮 説 検 定 す る と ， 5%の 有 意 水 準 で 二 つ の 分 布 の 同 一 性 の 仮 説 を 棄 却 で き な い . す な わ ち ， あ る 程 度 の 危 険 性 は 伴 う も の の (u
‑ !，
U1) /Viは 正 規 分 布N(O，k2)に 従 う と 言 え る . 各 地 点 で の 推 定 さ れ た 不 確 定 性Viは ， 確 率 的 に 定 ま る 値 で は な い の で 次 の 式 が 成り 立 つ .
u i ‑
~~N ( O
，( k v a
2)( 2 4 )
す な わ ち ， 地 形 地 図 に 対 応 す る 不 確 定 性 地 図 が 推 定 さ れ て い る こ と が わ か る .
2.5 あ と が き
本 章 で は ， 屋 外 を 移 動 す る 自 律 ロ ボ ッ ト の 経 路 決 定 な ど に 有 効 な 手 法 と し て ， 地 形 デ ー タ の モ デ リ ン グ に 関 す る シ ス テ ム 的 ア プ ロ ー チ を 提 案 し た . こ の ア プ ロ ー チ で は ， 以 下 の よ う な 情 報 を 得 る こ と が で き る .
@ 非 等 間 隔 に 標 本 化 さ れ た 地 形 の 高 さ デ ー タ か ら ， 地 形 の 粗 さ を 推 定 で き る .
@ 非 等 間 隔 に 標 本 化 さ れ た 地 形 の 高 さ デ ー タ を 元 の 地 形 の 粗 さ を 保 っ て 補 間 し ， 写 実 的 な 地 形 地 図 を 作 成 で き る .
@ 得 ら れ た 地 形 地 図 に 対 応 す る 不 確 定 性 地 図 を 作 成 で き る . 今 後 の 課 題 と し て は ，
・ 補 聞 に お い て 不 連 続 線 を 考 慮 し て い な い の で ， エ ッ ジ の 存 在 す る 岩 石 な ど の 個 々 の 物 体 の 正 確 な 形 状 を 復 元 で き な い .
@ 補 間 に お い て 全 ス ケ ー ル で 一 定 の フ ラ ク タ ル 次 元 を も っ 地 形 形 状 を 仮 定 し て お り ， ス ケ ー ル ご と に フ ラ ク タ ル 次 元 が 変 化 す る よ う な ， よ り 一 般 的 な 地 形 形 状 を 復 元 で き な い . な ど が 挙 げ ら れ る .