古典型コンパクト Lie 環の自己同型群の極大対蹠部分群

(1)

古典型コンパクト Lie _環

の自己同型群

の極大対蹠部分群

田崎博之

筑波大学数理物質系日本数学会

2016 _年 9 _月 17 _日

(2)

1.

_対蹠集合

M : Riemann

_対称空間

s

_x

: x

_{に関する点対称}

x ∈ M S ⊂ M :

_対蹠集合

⇔ ∀ x, y ∈ S s

_x

y = y

| S | :

_集合

S

_{の元の個数}

#

₂

M : M

_の

2-number

= sup {| S | | S

_{は対蹠集合}

}

S :

_{大対蹠集合}

⇔ # M = | S |

(3)

2. _{古典型コンパクト} Lie _群の商群

コンパクト Lie _群 : _両側不変 Riemann _計量

⇒ ^{コンパクト} Riemann _対称空間

単位元を含む極大対蹠集合 ⇒ ^{可換部分群}

∼= Z² × · · · × Z²

(4)

∆_n =

















±1

. . .

±1

















⊂ O(n),

∆⁺_n = {g ∈ ∆_n | det g = 1}

∆_n _と ∆⁺_n _{はそれぞれ} U(n), O(n), Sp(n) _と SU(n), SO(n) の共役を除いて一意的な極大対蹠部分群

(5)

D[4] =







±1 0 0 ±1



 ,



 0 ±1

±1 0







 ⊂ O(2)

Q[8] = {±1, ±i, ±j, ±k}

自然数 n _を n = 2^k · l (l : _奇数) _{と分解し、}

0 ≤ s ≤ k _に対して D(s, n)

= D[4] ⊗ · · · ⊗ D[4] ⊗ ∆_n/2^s

= {d₁ ⊗ · · · ⊗ d_s ⊗ d₀ | d_i ∈ D[4], d₀ ∈ ∆_n/2^s}

(6)

定理

(

_田中

-T.)

(I) τ : su(n) → su(n); X 7→ X ¯

Aut(su(n))

の極大対蹠部分群は次のいずれかに共役

{ e, τ } Ad(D (s, n)) (0 ≤ s ≤ k)

ただし、

(s, n) = (k − 1, 2

^k

)

_の場合を除く。

(7)

(II) Aut(o(n)) の極大対蹠部分群は次のいずれかに共役

Ad(D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k)

ただし、(s, n) = (k − 1, 2^k) _{の場合を除く。}

(III) Aut(sp(n)) の極大対蹠部分群は次のいずれかに共役

Ad(Q[8] · D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k)

ただし、(s, n) = (k − 1, 2^k) _{の場合を除く。}