コンパクト Lie 群の極大対蹠部分群

コンパクト Lie _群の

極大対蹠部分群

田崎博之

筑波大学数理物質系 幾何学シンポジウム

2016 _年 8 _月 28 _日

極大対蹠部分群の分類

古典型コンパクト Lie _群の商群

古典型コンパクト Lie _{環の自己同型群} ( _田中 -T.)

例外型コンパクト Lie _群 G

( _田中 - _保倉 -T.)

1. _対蹠集合

M : Riemann _対称空間

s

: x _{に関する点対称} x ∈ M S ⊂ M : _対蹠集合

⇔ ∀ x, y ∈ S s

y = y

| S | : _集合 S _{の元の個数}

#

M : M _の 2-number

= sup {| S | | S _{は対蹠集合} }

S : _{大対蹠集合} ⇔ # M = | S |

Riemann 対称対の線形イソトロピー作用の軌 道になる Riemann _対称空間: _対称 R _空間

等長変換全体の単位連結成分の元で写り合う : _合同

定理 1.1(_田中-T.) _対称 R _{空間において} (A) ∀ ^対蹠集合 ⊂ ∃ ^{大対蹠集合}

(B) _{大対蹠集合同士は合同}

大対蹠集合は対称 R 空間を線形イソトロピー作 用が定める対称対の Weyl _{群の軌道になる。}

2. _{古典型コンパクト} Lie _群の商群

コンパクト Lie _群 : _両側不変 Riemann _計量

⇒ ^{コンパクト} Riemann _対称空間

単位元を含む極大対蹠集合 ⇒ ^部分群

∼= Z² × · · · × Z²

多くの古典型コンパクト Lie _群 : _対称 R _空間 古典型コンパクト Lie _群の商群 : _{一般には対称} R _{空間ではない}

∆_n =

















±1

. . .

±1

















⊂ O(n),

∆⁺_n = {g ∈ ∆_n | det g = 1}

∆_{n と} ∆⁺_{n はそれぞれ} U(n), O(n), Sp(n) _と SU(n), SO(n) の共役を除いて一意的な極大 対蹠部分群

これらは大対蹠集合になり、定理 1.1 _の (A) _と (B) _{が成り立つ。}

D[4] =







±1 0 0 ±1



 ,



 0 ±1

±1 0







 ⊂ O(2)

Q[8] = {±1, ±i, ±j, ±k}

自然数 n _を n = 2^k · l (l : _奇数) _{と分解し、}

0 ≤ s ≤ k _に対して D(s, n)

= D[4] ⊗ · · · ⊗ D[4] ⊗ ∆_n/2^s

= {d₁ ⊗ · · · ⊗ d_s ⊗ d₀ | d_i ∈ D[4], d₀ ∈ ∆_n/2^s}

定理 2.1(_田中-T.) µ : _自然数、

Z^µ : U(n) _{の中心内の} µ _{次巡回群、}

θ : 1 _の原始 2µ _乗根、

π_n : U(n) → U(n)/Z^{µ 自然な射影}

U(n)/Z^µ の極大対蹠部分群は次のいずれかに 共役

(1) n _または µ _{が奇数の場合、}

π_n({1, θ}D(0, n)) = π_n({1, θ}∆_n) (2) n _かつ µ _{が偶数の場合、}

π_n({1, θ}D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k)

ただし、(s, n) = (k − 1, 2^k) _{の場合を除く。}

注意 ∆₂ ( D[4] _より

D[4] ⊗ · · · ⊗ D[4] ⊗ ∆₂

( D[4] ⊗ · · · ⊗ D[4] ⊗ D[4]

すなわち D(k − 1, 2^k) ( D(k, 2^k) _が成り立 ち、D(k − 1, 2^k) _{は極大ではない。}

定理 2.2(_田中-T.) µ : n _の約数、

Z^µ : SU(n) _{の中心内の} µ _{次巡回群、}

θ : 1 _の原始 2µ _乗根、

SU(n)/Z^µ の極大対蹠部分群の共役類は、

∆_n, D[4], D(s, n), θ _{を使って記述できる。}

詳しい結果は予稿集参照

定理 2.3(_田中-T.)

(I) O(n)/{±1_n} の極大対蹠部分群は次のいず れかに共役

π_n(D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k)

ただし、(s, n) = (k − 1, 2^k) _{の場合を除く。}

(II) n : _偶数、SO(n)/{±1_n} ^{の極大対蹠部}

分群は ∆_n, D[4], D(s, n) _{を使って記述できる。}

(III) Sp(n)/{±1_n} の極大対蹠部分群は次の いずれかに共役

π_n(Q[8] · D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k)

− ^k

3. _{コンパクト} Lie _{環の自己同型群} 定理 3.1( _田中 -T.)

(I) τ : su(n) → su(n); X 7→ X ¯

Aut(su(n)) の極大対蹠部分群は次のい ずれかに共役

{ e, τ } Ad(D (s, n)) (0 ≤ s ≤ k)

ただし、 (s, n) = (k − 1, 2

) _の場合を

除く。

(II) Aut(o(n)) の極大対蹠部分群は次のいず れかに共役

Ad(D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k)

ただし、(s, n) = (k − 1, 2^k) _{の場合を除く。}

(III) Aut(sp(n)) の極大対蹠部分群は次のい ずれかに共役

Ad(Q[8] · D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k)

ただし、(s, n) = (k − 1, 2^k) _{の場合を除く。}

4. _{例外型コンパクト} Lie _群 G₂

F (s_e, G₂) = {e} ∪ M₁⁺, M₁⁺ ∼= G₂/SO(4) o ∈ M₁⁺, F (s_o, M₁⁺) = {o} ∪ M_1,1⁺

M_1,1⁺ ∼= (S² × S²)/Z^{2 これの極大対蹠集合} A = {[e₁, ±f₁], [e₂, ±f₂], [e₃, ±f₃]}

A_1,1 : A _{に対応する} M_1,1⁺ _{の極大対蹠集合} 定理 4.1(_田中-_保倉-T.)

{o} ∪ A_1,1 : M₁⁺ _{の極大対蹠集合}

{e, o} ∪ A_1,1 : G_{2 の極大対蹠部分群} いずれも合同、共役を除いて一意的

G₂ = Aut(O) _{とみなせる。}

準同型 ψ : Sp(1) × Sp(1) → G_{2 を定めるこ} とができ、

SO(4) ∼= ψ(Sp(1) × Sp(1)) ⊂ G₂ 定理 4.2(_田中-_保倉-T.)

M₁⁺ _{の極大対蹠集合は}

{ψ(1, −1), ψ(i, ±i), ψ(j, ±j), ψ(k, ±k)} ^に 合同になる。G_{2 の極大対蹠部分群は}

{ψ(1, ±1), ψ(i, ±i), ψ(j, ±j), ψ(k, ±k)} ^に 共役になる。