古典型コンパクト対称空間の極大対蹠集合 I
田中 真紀子
(
東京理科大学理工学部) ∗ 1
田崎 博之(
筑波大学数理物質系) ∗2
2015
年秋、2016年春、秋の学会で、我々は古典型コンパクトLie
群の商群等の極大 対蹠部分群の分類結果を発表した。今回はその分類結果等を使って得られた古典型コ ンパクト対称空間およびその商空間の極大対蹠集合の分類結果について発表する。M
をコンパクトRiemann
対称空間とし、x∈ M
における点対称をs x
で表す。Mの 部分集合S
のすべての点x, y
に対してs x (y) = y
が成り立つとき、S
を対蹠集合という。包含関係に関して極大な対蹠集合を考察の対象にする。
結果を記述するためにいくつかの記号を定めておく。n次単位行列を
1 n
で表す。∆ n =
± 1 . ..
± 1
⊂ O(n), ∆ ± n = { d ∈ ∆ n | det(d) = ± 1 }
とすると、
∆ n
はO(n), U(n), Sp(n)
の共役を除いて一意的な極大対蹠部分群である。D[4] = {± 1 2 , ± I 1 , ± J 1 , ± K 1 } ⊂ O(2), I 1 =
[ − 1 0 0 1 ]
, J 1 = [
0 − 1 1 0
]
, K 1 = [
0 1 1 0 ]
によって二面体群
D[4]
を定める。自然数n
を2
の冪2 k
と奇数l
の積2 k · l
に分解し、0 ≤ s ≤ k
に対してs
個のD[4]
と∆ n/2
sのテンソル積をD(s, n) = D[4] ⊗ · · · ⊗ D[4] ⊗ ∆ n/2
s⊂ O(n)
で表し、その部分集合
P D(s, n), N D(s, n)
を次で定める。P D(s, n) = { d ∈ D(s, n) | d 2 = 1 n } , N D(s, n) = { d ∈ D(s, n) | d 2 = − 1 n } . K
はR , C , H
のうちのいずれかとし、O(n, K )
をK = R
の場合はO(n)
、K = C
の場合 はU (n)、 K = H
の場合はSp(n)
として定める。四元数の基本単位をi, j, k
で表す。CI(n) = { x ∈ Sp(n) | x 2 = − 1 n } ∼ = Sp(n)/U(n)
はコンパクト型Hermite
対称空間 である。i∆n ⊂ CI(n)
はSp(n)
の極大対蹠集合であり、CI(n)の合同を除いて唯一の極 大対蹠集合である。Sp(n) ∗ = Sp(n)/ {± 1 n }
とおく。Sp(n)
内の− 1 n
による積はCI(n)
を保つので、CI(n) ∗ = CI(n)/ {± 1 n }
を考えることができる。π n : Sp(n) → Sp(n) ∗
を 自然な射影とする。定理
1 CI(n) ∗
の極大対蹠集合は次のいずれかに合同: π n (N D(s, n) ∪ { i, j, k } P D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k)
ただし、(s, n) = (k− 1, 2 k )
の場合は除く。K n
内のm
次元K
部分空間からなるGrassmann
多様体をG m ( K n )
で表す。これらはO(n, K )
の単位元における点対称の不動点集合F (s e , O(n, K ))
の連結成分として実現で∗1
e-mail: tanaka [email protected]
∗2
e-mail: [email protected]
き、埋め込み
G m ( K n ) ∋ x 7→ 1 x − 1 x
⊥∈ O(n, K )
によって定まる。
ε 1
. ..
ε n
∈ ∆ n
|{ i | ε i = 1 }| = m
|{ j | ε j = − 1 }| = n − m
⊂ G m ( K n )
は
G m ( K n )
の極大対蹠集合であり、G m ( K n )
の合同を除いて唯一の極大対蹠集合である。以下では、
n = 2m
の場合を考える。この場合、γ : G m ( K 2m ) → G m ( K 2m ), γ (x) = x ⊥
と いう対合的等長変換が存在し、G m ( K 2m ) ∗ = G m ( K 2m )/ { id, γ }
を定めることができる。G m ( K 2m ) ∗ ⊂ O(2m, K ) ∗ = O(2m, K )/ {± 1 2m }
となる。π 2m : O(2m, K ) → O(2m, K ) ∗
を自然な射影とする。定理
2 2m
を2m = 2 k · l
と2
の冪2 k
と奇数l
の積に分解する。(I) G m ( R 2m ) ∗
の極大対蹠集合は次のいずれかに合同:
Φ s = π 2m ( { d 1 ⊗ · · · ⊗ d s ⊗ d 0 ∈ P D(s, 2m) | ∃ d i (0 ≤ i ≤ s) Trd i = 0 } )
だたし、0 ≤ s ≤ k
であり、(s, 2m) = (k − 1, 2 k )
の場合は除く。(II) G m ( C 2m ) ∗
の極大対蹠集合は次のいずれかに合同: Φ s ∪ π 2m ( √
− 1N D(s, 2m))
ただし、0 ≤ s ≤ k
であり、(s, 2m) = (k − 1, 2 k )
の場合は除く。(III) G m ( H 2m ) ∗
の極大対蹠集合は次のいずれかに合同: Φ s ∪ π 2m ( { i, j, k } N D(s, 2m))
ただし、0≤ s ≤ k
であり、(s,2m) = (k − 1, 2 k )
の場合は除く。{ g ∈ SO(2n) | g 2 = − 1 2n }
は二つの等長的な連結成分を持つ。diag { J 1 , . . . , J 1 }
を含 む連結成分をDIII (n) ∼ = SO(2n)/U (n)
と定める。Γ n = { diag { ϵ 1 J 1 , . . . , ϵ n J 1 } | ϵ i = ± 1, ϵ 1 · · · ϵ n = 1 }
は
DIII (n)の極大対蹠集合であり、 DIII(n)
の合同を除いて唯一の極大対蹠集合である。n
が奇数の場合、− 1 2n
による積でDIII(n)
ともう一つの連結成分は写り合う。n
が偶数 の場合、− 1 2n
による積はDIII (n)
を保ち、DIII(n) ∗ = DIII (n)/ {± 1 2n }
を考えること ができる。DIII(n)∗ ⊂ SO(2n) ∗ = SO(2n)/ {± 1 2n }
となる。π2n : SO(2n) → SO(2n) ∗
を自然な射影とする。DIII (2) ∗ ∼ = R P 2
とDIII(4) ∗ ∼ = G 2 ( R 8 )
についてはすでにわかっ ているので、n
が6
以上の偶数の場合を考える。定理
3 (1) DIII(6) ∗
の極大対蹠集合は次のいずれかに合同: { π 12 (J 1 ⊗ d) | d ∈ ∆ − 6 } , { π 12 (J 1 ⊗ d 1 ⊗ d 0 ) | d 1 ∈ { I 1 , K 1 } , d 0 ∈ ∆ 3 } ∪ { π 12 (1 2 ⊗ J 1 ⊗ d 0 ) | d 0 ∈ ∆ 3 } (2) DIII (8) ∗
の極大対蹠集合は次のいずれかに合同:
{ π 16 (J 1 ⊗ d) | d ∈ ∆ + 8 } , π 16 (N D(2, 16)), π 16 (N D(4, 16))
(3) n = 4m + 2 (m ≥ 2)
のとき、DIII (n) ∗
の極大対蹠集合は次のいずれかに合同: { π 2n (J 1 ⊗ d) | d ∈ ∆ − n } ,
{ π 2n (J 1 ⊗ d 1 ⊗ d 0 ) | d 1 ∈ { I 1 , K 1 } , d 0 ∈ ∆ 2m+1 }∪{ π 2n (1 2 ⊗ J 1 ⊗ d 0 ) | d 0 ∈ ∆ 2m+1 } (4) n = 4m (m ≥ 3)
のとき、DIII(n) ∗
の極大対蹠集合は次のいずれかに合同:
{ π 2n (J 1 ⊗ d) | d ∈ ∆ + n } , π 2n (N D(s, 2n)) (2 ≤ s ≤ k)
ただし、(s,2n) = (k − 1, 2 k )
の場合は除く。他の古典型コンパクト対称空間およびその商空間
