の極大対蹠集合

有向実 Grassmann _多様体

の極大対蹠集合

北九州ワークショップ

「幾何学と組合せ論」

田崎博之

筑波大学数理物質系

定義

_長野

M :

_{コンパクト}

_対称空間

_{における点対称}

x, y ∈ M :

_対蹠的

_対蹠集合

⇔ ∀x, y ∈ S x, y :

_対蹠的

_{大対蹠集合}

_最大値

X :

_集合

X k

= {α ⊂ X | |α| = k} [n] = {1, . . . , n}

α, β ∈ ^[n]_k

に対して

α\β = {i ∈ α | i /∈ β}

α, β :

_対蹠的

_偶数

:

_対蹠的

G˜_k(Rⁿ)

: Rⁿ

内の

_{次元有向部分空間全体}

_不変

_{計量により}

G˜_k(Rⁿ) : Riemann

_対称空間 定理

G˜_k(Rⁿ)

_{の極大対蹠集合の分類}

↔ ^[n]_k

の極大対蹠的部分集合の分類

e₁, . . . , e_n : Rⁿ

の正規直交基底

の極大対蹠的部分集合

⇒ {±he_α(1), . . . , e_α(k)i_R | α ∈ A}

: ˜G_k(Rⁿ)

_{の極大対蹠集合}

逆の対応も定まる

MAS :

_{極大対蹠的部分集合}

定理

_のとき、

[n]

k

の

_{の分類完成}

_の場合

1

2 4 6 2l

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5 7

[n]

k

(k ≤ 4)

_の

_{の分類に現れる}

↓

_一般化

k > 4

_のときの

の

分類または性質を調べる

A(2, 2l) = {{1, 2}, {3, 4}, . . . , {2l − 1, 2l}}

⊂ ^[2l]₂ A(2k, 2l)

= {α₁ ∪ · · · ∪ α_k | α_i ∈ A(2, 2l), α_i 6= α_j}

⊂ ^[2l]_2k

A(2k + 1, 2l + 1)

= {α ∪ {2l + 1} | α ∈ A(2k, 2l)}

⊂ ^[2l+1]

定理

A(2k, 2l), A(2k + 1, 2l + 1) : AS l ≥ 3k + 1

_のとき

A(2k, 2l) : MAS in ^[2l]_2k

, ^[2l+1]_2k A(2k + 1, 2l + 1)

: MAS in ^[2l+1]

, ^[2l+2]

a(k, n) = max n

|A|

A : AS in ^[n]_k o a(1, n) = 1 a(2, n) =

n 2

a(2k, n) ≥

A

2k, 2

n 2

=

⌊n/2⌋

k

, a(2k + 1, n) ≥

A

2k + 1, 2

n − 1 2

+ 1

=

⌊(n − 1)/2⌋

.

k ≤ 4 _{の場合の分類結果より}

a(1, n) = 1, a(2, n) = ⌊n/2⌋

n 4 5 6 7, . . . , 16 17 _以上 a(3, n) 1 2 4 7 ⌊ⁿ⁻¹₂ ⌋

n 5 6 7 8, . . . , 11 12 _以上 a(4, n) 1 3 7 14

⌊ⁿ₂⌋

定理 4(T.2015)

n ≥ 61 ⇒ a(5, n) =

n−1 2

2

A ⊂ ^[n]₅

: _対蹠的、|A| =

n−1 2

2

⇒ A : A

5, 2

n − 1 2

+ 1

と合同 次が成り立つことが期待される

k _に対して n _{が十分大きい} ⇒

[n]

の大対蹠集合は A(2k^′, 2n^′) _または

定理 5(Frankl-_徳重 2016) k : _偶数、n : _{十分大きい、}

l : n _{以下の最大偶数} [n]

k

の大対蹠集合 : A(l, k) _に合同 k : _奇数、n : _{十分大きい、}

l : n _{以下の最大奇数} [n]

k _に対して n _{があまり大きくない} ^[n]_k

を考える Ev_2m = {{α(1), . . . , α(m)} |

α(i) ∈ {2i − 1, 2i}, _偶数の α(i) _は偶数個 } とおくと Ev_2m ⊂ ^[2m]_m

. 定理 6(T.2014)

(1) 2m ≡ 2, 4, 6(mod8) _のとき、

Ev_2m : ^[2m]_m

の MAS (2) Ev_8m : ^[8m]

の MAS _ではない

前ページの定理の

_の

_を参考に 対蹠集合を定める準備

X, Y :

_集合

, B ⊂ ^Y_l

に対して

A × B = {α ∪ β | α ∈ A, β ∈ B}

⊂

X ∪ Y

Ev₈⁺_m = Ev8m ∪ A(4m, 8m), Ev₈⁺_m+2 = Ev8m+2∪

A(4m − 2, 8m + 2) × {{8m + 3, 8m + 4, 8m + 5}}, Ev₈⁺_m+4 = Ev8m+4∪

A(4m, 8m + 4) × {{8m + 5, 8m + 6}},

Ev₈⁺_m+6 = Ev8m+6 ∪ A(4m + 2, 8m + 6) × {{8m + 7}}.

定理 7(T.) _以下は ^[n]_k

の MAS _である。

HHHH

HHH

k

n 8m 8m + 1 8m + 2 8m + 3

4m Ev₈⁺m Ev₈⁺m Ev₈⁺m Ev₈⁺m

4m + 1 Ev8m+2 Ev8m+2

HHHH

HHH

k

n 8m + 4 8m + 5 8m + 6 8m + 7

4m + 1 Ev8m+2 Ev₈⁺m+2

+

Ev_{6 と} Ev₆⁺

1

3

5

6

4 2

1

3

5

6

4 7

2

d d d

d d d

1 3 5

2 4 6

d d d

d d d

@@

@

1 3 5

2 4 6

d d d

d d d

@@

@

1 3 5

2 4 6

d d d

d d d

1 3 5

2 4 6

d d d

d d d

d

@@

@

1 3 5

2 4 6

7

d d d

d d d

d

1 3 5

2 4 6

7

d d d

d d d

d

1 3 5

2 4 6

7