スピノル群の極大対蹠的部分群について

(1)

スピノル群の極大対蹠的部分群について

鈴木類

(首都大学東京理工学研究科数理情報科学専攻)

1 _序文

M がRiemann対称空間とは連結Riemann多様体M の任意の点p ∈M に対して、点対称spという対合的等長変換でpがsp の孤立不動点となるものが存在することをいう。Riemann対称空間M の部分集合Sが対蹠集合

(2)

であるとは、任意の2点p, q∈Sに対して、sp(q) =qが成立することをいう。対蹠集合の濃度の上限をM の2-numberという。2-numberは有限であり、2-numberを与える対蹠集合を大対蹠集合という。これらの概念はChen - Nagano[1]によって導入された。また、コンパクト連結Lie群はRiemann 対称空間になることが分かり、本修士論文ではコンパクト連結Lie群であるスピノル群Spin(n)の対蹠集合の性質を考察することにした。そこで田崎博之氏[10]による有向実グラスマン多様体の極大な対蹠的部分集合の分類や鈴

木絢人氏[11]によるSpin(n)の極大対蹠的部分集合と位数が4の倍数の部分

集合全体P(n)の極大対蹠的部分集合との対応等の研究を参考にし、P(n)の極大対蹠的部分集合の分類を詳しく考察した。結果として次が得られた。(記号の説明は14, 35, 40, 62ページを参照)

n P(n)の極大対蹠的部分集合

4,5 A(4,4)

6 A(4,6)

7 B(4,7)

8,9 A_15,1

10 A_15,1, A_15,2 11 A_15,1, A_15,2, A_15,3

これにより、n= 11までのSpin(n)の極大対蹠的部分群の合同類を全て得ることができ、P(n)の極大対蹠的部分集合とSpin(n)の極大対蹠的部分群が対応していることが分かった。さらにこの分類によりn= 11までSpin(n)の極大対蹠的部分群が全て同じ元の個数を持つことが分かった。また、n= 10,11 の場合に互いに合同にならない大対蹠集合が見つかった。

2 Riemann _対称空間

定義2.1 Mを連結Riemann多様体とする。M がRiemann対称空間であるとは任意のp∈M に対して、点対称なるspが存在することである。spが pにおける点対称とは、spがM の対合的等長変換であり、pがs_pの孤立不動点となることである。

例 2.1 Rⁿ はp∈Rⁿ に対してsp(x) = 2p−x(x∈M)と定義することで

Riemann対称空間になる。

例 2.2 n次元球面Sⁿはx∈Sⁿに対してs_x(y) =−y+ 2⟨x, y⟩x(y∈Sⁿ)と定義することでRiemann対称空間になる。ここで、⟨,⟩はRⁿ⁺¹の標準内積を表わしている。

命題2.1 Gをコンパクト連結Lie群とする。このとき、GはRiemann対称空間になる。

(3)

証明 e∈Gを単位元とする。se(x) =x⁻¹と定める。任意のp∈Gにおける点対称は、

sp(x) =Lp◦se◦L_p−1(x) =px⁻¹p と定める。よって

s²_p(x) =sp(px⁻¹p) =p(p⁻¹xp⁻¹)p=x となり、spは対合的である。また、

s_p(p) =pp⁻¹p=p そして、(dsp)p を計算すると、∀v∈TpGに対し、

(dsp)p(v) = (dLp)e◦dse◦(dL_p−1)p(v)

= −(dLp)e◦(dL_p−1)p(v)

= −v

となり、pはs_pの孤立不動点となるので、点対称となり、GはRiemann対

称空間になる。

3 極地と対蹠集合

定義3.1 M をRiemann対称空間とし、sx を点x∈ M における点対称とする。S ⊂M が対蹠集合であるとは、任意のx, y∈Sに対して,sx(y) =y が成り立つことである。M の対蹠集合の濃度の上限を 2-numberといい、

♯₂M と表す。2-numberを与える対蹠集合をM の大対蹠集合という。

2-numberが有限であることは後で示す。

例 3.1 n次元球面Sⁿの点xに対して、{x,−x}がSⁿの大対蹠集合になる。

定義3.2 MをコンパクトRiemann対称空間とする。点x∈M における点対称sxの固定点全体F(sx, M)を次のような連結成分の合併に分解する。

F(sx, M) =

∪r k=0

M_k⁺

この連結成分の一つ一つをMの極地という。極地が一点のみからなるときは極という。

例 3.2 n次元単位球面Sⁿの点xに対して不動点集合は、{x,−x}になることから、Sⁿのxに関する極地は{x}と{−x}であり、共に極である。

(4)

命題3.1 コンパクトRiemann対称空間M とその極地M₀⁺, M₁⁺, . . . , M_r⁺に対し、

♯₂M ≤

∑r k=0

♯₂M_k⁺

が成り立つ。

証明点o ∈M に関する極地をM₀⁺, M₁⁺, . . . , M_r⁺とする。oを含むM の対蹠集合をSとするとS⊂F(so, M)が成り立つので、

S=

∪r k=0

(S∩M_k⁺)

となる。S∩M_k⁺はM_k⁺の対蹠集合になるので次が得られる。

♯S=

∑r k=0

(S∩M_k⁺)≤

∑r k=0

♯₂M_k⁺

sup♯S=♯₂M より、

♯₂M ≤

∑r k=0

♯₂M_k⁺

が成り立つ。

命題3.2 コンパクトRiemann対称空間の対蹠集合は有限集合になる。また、

2-numberも有限になる。

証明 SをコンパクトRiemann対称空間Mの対蹠集合とする。点x∈SとするとS⊂F(s_x, M)が成り立つ。xはF(s_x, M)の孤立点であるので、xは Sの孤立点になる。よって、Sは離散集合となるので、有限集合になる。

命題2.1より、M₀⁺, M₁⁺, . . . , M_r⁺をM の極地とすると

♯2M ≤

∑r k=0

♯2M_k⁺

が成り立つ。このM_k⁺が極の場合は♯2M_k⁺= 1であるので、極地をとる操作が終了する。M_k⁺が極でない場合、ok∈M_k⁺をとり、さらに極地

F(so_k, M_k⁺) =

rk

∪

j=0

(M_k⁺)⁺_j

を定める。すると同様に

♯2M_k⁺≤

r_k

∑

j=0

♯2(M_k⁺)⁺_j

が成り立つ。Riemann対称空間に対し、その極地は次元が小さくなるので、

このような極地をとる操作を有限回続けると極になる。よって、♯2M < ∞

であることがわかる。

(5)

命題3.3 SをコンパクトRiemann対称空間Mの大対蹠集合としたとき、S は極大な対蹠集合である。

証明 Aを S⊂A を満たすM の対蹠集合と仮定する。よって、♯S≤♯Aが成り立つ。また、Sは大対蹠集合であったので♯2M =♯S であることから、

♯S=♯Aである。したがって、仮定のS ⊂AよりA=S である。

系 3.1 ([11]) .

(A) X :=















±1 . ..

±1







対角成分の−1が偶数個









はSO(n)の大対蹠集合である。

(B) 任意のSO(n)の対蹠集合に対し、それを含むようなSO(n)の大対蹠集

合が存在する。

(C) SO(n)の単位元を含むような任意の大対蹠集合は(1)のX と共役で

ある。

補題3.1 ([1]) .

Gをコンパクト連結リー群とし、SをGの単位元eを含む対蹠集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意のx∈S に対し、x=x⁻¹ が成立。

(2) Sの任意の2つの元は可換。

証明 (1) Sは対蹠集合なので、任意のx∈Sに対してse(x) =xとなる。

また、コンパクトリー群の点対称の定義より、se(x) =ex⁻¹e=x⁻¹となる。したがってx=x⁻¹ が成立。

(2) Sは対蹠集合なので、任意の元x, y∈Sに対して、sx(y) =yが成り立つ。また、コンパクトリー群の点対称の定義より、sx(y) =xy⁻¹xが成り立つ。したがってy=xy⁻¹xとなり、x⁻¹y=y⁻¹xとなる。ここで (1)を用いると、xy=yx となる。

4 P

_k

(n) の極大対蹠的部分集合

ここで田崎博之氏の有向実グラスマン多様体の対蹠集合([10])について少し触れたい。

(6)

まず記号の定義をしておく。

Inck(n) :={α:{1,2,· · · , k} → {1,2,· · ·, n} |α(1)< α(2)<· · ·< α(k)} P_k(n) :={A⊂ {1,2,· · ·n} |♯A=k}

したがって、α∈Inck(n)と{α(1),· · ·α(k)} ∈Pk(n)を対応させることで、

Inck(n)とPk(n)を同一視することができる。

定義4.1 α, β∈Pk(n)が対蹠的であるとは、♯(β−α)の位数が偶数個であることである。

またPk(n)の部分集合Aが対蹠的であるとは、Aの任意の元α, β∈A が対蹠的であることである。

また、G˜_k(Rⁿ)はRⁿのk次元部分有向ベクトル空間が構成する有向実グラスマン多様体を表わしている。また、G˜k(Rⁿ)は外積∧k

Rⁿへの自然な埋め込みを持つので次が成り立つ。

補題4.1 G˜k(Rⁿ)の任意の対蹠集合Sに対して、Rⁿの正規直交基底v1, . . . , vn

が存在し、

S={±v_α(1)∧. . .∧v_α(k)|α∈Inc_k(n)}, を満たす。

Rⁿの正規直交基底v={v₁, . . . , v_n}とP_k(n)の部分集合Aに対して、

Av(A) ={±vα(1)∧. . .∧vα(k)|α∈A}. と定義する。

定理4.1 (1) v₁, . . . , v_n をRⁿの正規直交基底とし、AをP_k(n)の極大対

蹠的部分集合とする。このとき、Av(A)がG˜k(Rⁿ)が極大対蹠集合となる。

(2) ˜Gk(Rⁿ)の極大対蹠集合Sに対して、Rⁿの正規直交基底v1, . . . , vnが存在し、S=Av(A)を満たすようなPk(n)の極大対蹠的部分集合Aが存在する。

(3) Pk(n)の極大対蹠的部分集合の合同類全体と、G˜k(Rⁿ)が極大対蹠集合の合同類全体が全単射の関係となる。

証明 (2)から示す。補題4,2から存在が分かっているA⊂Pk(n)が極大な対蹠的部分集合であることを示す。Av(A)はG˜k(Rⁿ)の対蹠集合であったので Aは対蹠的部分集合である。B ⊂P_k(n)をA⊂Bを満たす対蹠的部分集合とする。A⊂B⊂Pk(n)ならばAv(A)⊂ Av(B)であり、Av(A)はG˜k(Rⁿ) の極大対蹠集合であったので、Av(A) =Av(B)である。よってA=Bとな

(7)

り、AはP_k(n)の極大な対蹠的部分集合となる。

次に(1)を示す。Av(A)はG˜k(Rⁿ)の対蹠集合である。SをAv(A)を含む G˜_k(Rⁿ)の極大対蹠集合とする。すると (2)よりRⁿ の正規直交基底v˜ =

˜

v1, . . . ,v˜nが存在し、S=Av˜(B)を満たすようなPk(n)の極大対蹠的部分集合Bが存在する。よってS=Av˜(B)⊂ Av(A) =Av˜( ˜A)となるA˜が存在する。A˜⊂B⊂Pk(n)ならばA˜=Bであればよいので、A˜がPk(n)の極大対蹠的部分集合であることを示す。ここで次を用意する。

補題4.2 A⊂Pk(n)が極大対蹠的であるという性質は合同変換で不変よって、Pk(n)の部分集合AとA˜が合同であることを示せればよい。つまり次の補題が成り立つことを示す。

補題4.3 v=v₁, . . . , v_n,v˜= ˜v₁, . . . ,v˜_nをRⁿの正規直交基底とし、A,A˜⊂ Pk(n)とする。このとき

Av(A)∼=Av˜( ˜A)⇔A∼= ˜A が成り立つ。

証明 (⇐):

仮定より、gv= ˜vを満たすg∈O(n)が存在する。よって Av˜( ˜A) = {±˜v_α(1)∧ · · ·v˜_α(k)|α∈A˜}

= {±gvα(1)∧ · · · ∧gvα(k)|α∈A˜}

= g{±vα(1)∧ · · · ∧vα(k)|α∈A˜}

= g{±v_α(1)∧ · · · ∧v_α(k)|σβ∈σ(A)}(β∈A)

= g{±v_σβ(1)∧ · · · ∧v_σβ(k)|β∈A}

= gσ{±v_β(1)∧ · · · ∧v_β(k)|β ∈A}

= gσ(Av(A))

となる。また基底の一つ一つの向きを変えられるのでgσ∈SO(n)と取れる。

よって

Av(A)∼=Av˜( ˜A) が成り立つ。

(⇒):

A={α1, . . . , αk},A˜={β1, . . . , βk}とする。仮定より、

Av(A) = {±v_α(1)∧ · · · ∧v_α(l)|α∈A}

= {±v_α₁₍₁₎∧v_α₁_(l), . . . ,±v_α_k₍₁₎∧v_α_k_(l)} Av˜( ˜A) = {±v˜β(1)∧ · · · ∧˜vβ(k)|β ∈A˜}

= {±v˜_β₁₍₁₎∧˜v_β₁_(l), . . . ,±˜v_β_k₍₁₎∧˜v_β_k_(l)}

(8)

となり、これらは合同であるから、あるg∈SO(n)が存在し、

σ(Av(A)) = gAv˜( ˜A)

= {±g˜vβ(1)∧ · · · ∧g˜vβ(k)|β∈A˜} を満たす。よって基底を{g˜v1, . . . , g˜vn}と取りなおすことで、

Av(A) =Av˜( ˜A) として議論してよい。

ここで{±v_α₁₍₁₎∧v_α₁_(l), . . . ,±v_α_k₍₁₎∧v_α_k_(l)}がそれぞれ張る部分空間を V₁^±,· · · , V_k^±とする。同様に{±˜v_β₁₍₁₎∧v˜_β₁_(l), . . . ,±˜v_β_k₍₁₎∧˜v_β_k_(l)} が張る部分空間をそれぞれV˜₁^±,· · ·,V˜_k^±とする。このとき、

Rⁿ = (V1∧ · · · ∧Vk)⊕(V1∧V₂^⊥∧V3∧ · · · ∧Vk)⊕ · · · ⊕(V₁^⊥∧ · · · ∧V_k^⊥)

Rⁿ = ( ˜V1∧ · · · ∧V˜k)⊕( ˜V1∧V˜₂^⊥∧V˜3∧ · · · ∧V˜k)⊕ · · · ⊕( ˜V₁^⊥∧ · · · ∧V˜_k^⊥) と分解でき、一致していることが分かる。そして各部分空間の中で直交変換を施して、二つの基底を重ね合わせることができる。この直交変換により、

Av(A)及びAv˜( Ã)の元は固定されていることから、あとは基底の順序の違いが残っているのでA∼= Ãである。(σ∈Sym(n)が存在し、σ(A) = Ãを満

たす。)

よって補題4.3が成り立つので、定理4.1の(2)が成立する。(3)は(1),(2)

から分かる。

Pk(n)における極大対蹠的部分集合の全ての合同類を分類していきたい。

補題4.4 ([10]) . Pk(n)の部分集合Aに対し、

A⊂Pk(n)が対蹠的⇐⇒A^c ={α^c |α∈A} ⊂pn−k(n)が対蹠的である。

が成立する。さらに

AがPk(n)の極大対蹠的部分集合⇐⇒A^cがPn−k(n)の極大対蹠的部分集合が成立する。

証明 (⇒)仮定から任意のα, β∈Aに対し、♯(α∩β)が偶数となる。また任意のα, β∈Pk(n)に対して、β−α=α^c−β^c が成り立つので、♯(β−α) =

♯(α^c−β^c)となり♯(α^c∩β^c)は偶数になる。

(⇐)仮定より任意のα, β∈Aに対し、♯(α^c∩β^c)は偶数になる。β−α=α^c−β^c が成り立つので♯(α∩β)が偶数となる。

(9)

定義4.2 P_k(n)の2つの部分集合X, Y ∈P_k(n)が合同であるとは、XをY に写すようなSym(n)の元が存在することである。

ここでP_k(n)の極大対蹠的部分集合を求める手順を決めたい。

(1) まずPk(n)の最小元A1を取る。

(2) 次にA_i に対して、A_i+1 を次の手続きで定める。

(3) 固定部分群S(Ai) :={g∈Sym(n)|g(Ai) =Ai} とする。

(4) A(Ai) ={α∈Pk(n)−Ai|Ai∪ {α}が対蹠的である}とする。

(5) A(A_i) = ∪

1≤a≤j

O_a とS(A_i)の軌道の和に分解する。

(6) 1≤a≤jを選び、Oaの最小元αaとするとAiに付け加えてAi+1,α :=

A_i∪ {α_a} が得られる。

(7) これを Ai がPk(n)の極大対蹠的部分集合になるまで繰り返す。すなわち、A(Ai) =ϕとなるまで繰り返す。

補題4.5 ([10]) . 上の手続きによりPk(n)の合同類が全て得られる。

証明 A : Pk(n)の極大対蹠的部分集合とする。まず、A1 ⊂ g(A)となる

g∈Sym(n)が存在する。ここで、Aとg(A)は合同であるから、極大対蹠的

部分集合の合同類を決定するためには、A1⊂Aと仮定しても一般性を失わない。次にαaをA(A1)のS(A1)の軌道Oaの最小元とする。よってαa ∈g(A) を満たすg∈S(A1)が存在する。またこのg∈S(A1)に対してもA1⊂Aより、A1=g(A1)⊂g(A)が成り立つのでA2,α=A1∪ {αa} ⊂Aである。この手続きをA_i=A(i=♯A)となるまで繰り返すことができるので、Pk(n)の

合同類を全て得ることができる。

系 4.1 ([10]) . A(A_j)の部分集合BがBの任意の元とB以外の他の元とも対蹠的である場合、Ajに付け加えることができ、Aj+♯B=Aj∪Bとできる。

命題4.1 ([10]) . {{1}}は P1(n)の極大対蹠的部分集合になり、P1(n)の全ての極大対蹠的部分集合はこれと合同である。

命題4.2 ([10]) . l を自然数とし、A(2,2l)をつぎのようにおく。

A(2,2l) ={{1,2},{3,4}, . . . ,{2l−1,2l}}

こう定義すると A(2,2[n/2]) はP₂(n)の極大対蹠的部分集合になり、P2(n) の全ての極大対蹠的部分集合はこれと合同である。

(10)

証明異なる2 つの元α, β∈P₂(n)が対蹠的であるとは、α∩β =ϕとなることから、まずA1={{1,2}}をとり、A(A1) =P2({3, . . . , n})となる。これはS(A₁)の軌道になっているので、A(A₁)の最小限{3,4} をとり、A₁ に付け加えられる。よってA2={{1,2},{3,4}}が得られる。この手続きを

{{1,2},{3,4}, . . . ,{2[n/2]−1,2[n/2]}}

となるまで行えるので、これがP2(n)の極大対蹠的部分集合になる。またどのP2(n)の極大対蹠的部分集合もこれと合同になる。

次にP₃(n)の極大対蹠的部分集合をみていく。異なる2つの元α, β∈P₃(n) が対蹠的であるとは、♯(α∩β) = 1 である。ここで次の3 つの集合を定義する。

A(3,2l+ 1) ={{1,2,3},{1,4,5}, . . . ,{1,2l,2l+ 1}}

B(3,6) ={{1,2,3},{1,4,5},{2,4,6},{3,5,6}}

B(3,7) ={{1,2,3},{1,4,5},{2,4,6},{3,5,6},{1,6,7},{2,5,7},{3,4,7}}

これらはそれぞれP3(2l+ 1) ,P3(6) ,P3(7)の対蹠的部分集合になっており、

次の包含関係を満たしていることが分かる。

A(3,5)⊂B(3,6)⊂B(3,7) A(3,5)⊂A(3,7)⊂B(3,7)

これより、次の定理の主張でA(3,2l+ 1)がP₃(2l+ 1)とP₃(2l+ 2)の中で対蹠的であることをいうが、A(3,5)⊂P3(6)と A(3,7)⊂P3(7), P3(8)は極大性を満たさないので例外であることが分かる。

定理4.2 ([10]) . l= [(n−1)/2]とする。このときP3(n)の極大対蹠的部分集合は次のようになる。

n

3,4 A(3,3)

5 A(3,5)

6 B(3,6)

7,8 B(3,7) 8< n A(3,2l+ 1), B(3,7)

また、P3(n)のどの極大対蹠的部分集合もこれらと合同になる。

注意ここで記号の定義をしておく。任意の部分集合A, B⊂XでA∩B =ϕ を満たすものに対して、

P_k(A)×P_l(B) :={α∪β|α∈P_k(A), β∈P_l(B)} ⊂P_k+l(X) と定義する。２つ以上のXの部分集合に対しても同様にPk₁(A1)×· · ·×Pk_l(Al) と定義する。

(11)

証明手順に従って示す。まずA₁={{1,2,3}}を取る。よって A(A1) =P1({1,2,3})×P2({4, . . . , n})

となる。ここでn≤4の場合はA(A₁) =ϕとなるのでA₁=A(3,3)がP₃(n) の極大対蹠的部分集合になる。

次にn≥5の場合を考える。S(A1) = Sym({1,2,3})×Sym({4, . . . , n})となるのでA(A1)はS(A1)の軌道になる。よってA(A1)の最小元{1,4,5}を取り、A1に付け加えてA₂={{1,2,3},{1,4,5}}=A(3,5)が得られる。

A(A2) = {α∈A(A1)− {1,4,5} |αと{1,4,5}が対蹠的}

= P₁({2,3})×P₁({4,5})×P₁({6, . . . , n})

∪ P₁({1})×P₂({6, . . . , n})

となるのでn= 5の場合はA(A2) =ϕとなるのでA2=A(3,5)がP3(5)の極大対蹠的部分集合になる。

次にn≥6の場合を考える。S(A2)は1を固定し、{{2,3},{4,5}}の置換を表わしているので、P1({2,3})×P₁({4,5})×P₁({6, . . . , n})とP₁({1})× P2({6, . . . , n})に推移的に作用していることが分かる。つまりこれらはS(A2) の2つの軌道になっている。n= 6の場合、2つ目の軌道が空集合になるので A(A2) =P1({2,3})×P1({4,5})×P1({6})となる。A(A2)の最小元{2,4,6} を取り、A2に付け加えてA3,1={{1,2,3},{1,4,5},{2,4,6}}が得られる。

A(A_3,1) = {α∈A(A₂)− {{2,4,6}} |αと{2,4,6}が対蹠的}

= {{3,5,6}}

となるのでA3,1に付け加えて

{{1,2,3},{1,4,5},{2,4,6},{3,5,6}}=B(3,6) が得られ、これがP₃(6)の極大対蹠的部分集合になる。

次にn≥7の場合を考える。先ほどのS(A2)の2つの軌道 P₁({2,3})×P₁({4,5})×P₁({6, . . . , n})

P1({1})×P2({6, . . . , n}) を場合分けして見ていく。

(12)

(1) P₁({2,3})×P₁({4,5})×P₁({6, . . . , n})の最小元{2,4,6}を取りA₂に加え、

A_3,1={{1,2,3},{1,4,5},{2,4,6}}

が得られる。

A(A3,1) = {α∈A(A2)− {{2,4,6}} |αと{{2,4,6}}が対蹠的}

= {{3,5,6}}

∪ P1({2})×P1({5})×P1({7, . . . , n})

∪ P1({3})×P1({4})×P1({7, . . . , n})

∪ P1({1})×P1({6})×P1({7, . . . , n})

= {{3,5,6}}

∪ {{2,5},{3,4},{1,6}} ×P₁({7, . . . , n})

ここで{{3,5,6}}はA(A3,1)の他のどの元とも対蹠的なのでA3,1に付け加えられる。よって

A4,1={{1,2,3},{1,4,5},{2,4,6},{3,5,6}}=B(3,6) が得られる。そして

A(A_4,1) ={{2,5},{3,4},{1,6}} ×P₁({7, . . . , n})

である。S(A4,1)は{{2,5},{3,4},{1,6}} の置換を表わしているので A(A4,1)に推移的に作用している。つまりこれがS(A4,1)の軌道になっていることが分かる。A(A4,1)の最小元{1,6,7}を取りA_4,1に加え、

A5,1={{1,2,3},{1,4,5},{2,4,6},{3,5,6},{1,6,7}}

が得られる。そして

A(A5,1) ={{2,5,7},{3,4,7}}

である。この2つの元は対蹠的なのでA5,1に付け加えられる。よって {{1,2,3},{1,4,5},{2,4,6},{3,5,6},{1,6,7},{2,5,7},{3,4,7}}

=B(3,7)

が得られ、これはn≥7の場合のP₃(n)の極大対蹠的部分集合になる。

(2) P1({1})×P2({6, . . . , n})の最小元{1,6,7}を取りA2に加え、

A_3,2={{1,2,3},{1,4,5},{1,6,7}}

(13)

が得られる。

A(A_3,2) = P₁({2,3})×P₁({4,5})×P₁({6,7})

∪ P₁({1})×P₂({8, . . . , n})

S(A_3,2)は1を固定し、{{2,3},{4,5},{6,7}}の置換を表わしているのでP1({2,3})×P1({4,5})×P1({6,7})とP1({1})×P2({8, . . . , n})に推移的に作用していることが分かる。つまりこれらはS(A_3,2)の2つの軌道になっている。

n≤8の場合は2つ目の軌道は空集合になり、A(A3,2) =P1({2,3})× P₁({4,5})×P₁({6,7})となる。最小元{2,4,6}を取りA_3,2に加え、

A_4,2={{1,2,3},{1,4,5},{1,6,7},{2,4,6}}

A(A4,2) ={{2,5,7},{3,4,7},{3,5,6}}

であり、これらは互いに対蹠的なのでA4,2に付け加えられB(3,7)を得る。(1)と同様にこれも極大対蹠的部分集合になり、これでn≤8の場合の全てのP₃(n)の極大対蹠的部分集合の合同類を得られた。

n≥9の場合を考える。S(A3,2)の2つの軌道 P1({2,3})×P1({4,5})×P1({6,7})

P1({1})×P2({8, . . . , n})

を場合分けして見ていく必要がある。1つ目の最小元{2,4,6}を取ると先ほどと同様にB(3,7)に行き着く。したがってP₁({1})×P₂({8, . . . , n}) の最小元{1,8,9}を取り、A3,2に付け加え

A4,3={{1,2,3},{1,4,5},{1,6,7},{1,8,9}}

A(A4,3) =P1(1)×P2({10, . . . , n})

となる。S(A4,3)は1を固定し、{ {2,3} ,{4,5} ,{6,7} , {8,9} } の置換を表わしているのでA(A_4,3)に推移的に作用している。この手続きをl= [(n−1)/2]としたとき、A(3,2l+ 1)まで繰り返すことが出来る。

よって全てのP3(n)の極大対蹠的部分集合の合同類が得られた。

(14)

5 P

₄

(n) の極大対蹠的部分集合

次にP₄(n)の極大対蹠的部分集合についてみていく。ここで3つの対蹠的部分集合を定義しておく。

A(4,2l) ={α∪β ∈P4(2l)|α, β∈ {{1,2},{3,4}, . . . ,{2l−1,2l}}}

B(4,7) =B^c(3,7) ={α^c |α∈B(3,7)} B(4,8) =B(4,7)×B(3,7)× {{8}}

これらが対蹠的部分集合であることは定理6,1と補題6.1からすぐ分かる。また次に述べる定理でA(4,2l)がP4(2l), P4(2l+ 1)において極大対蹠的部分集合であることをいうが、A(4,6) ⊂P4(7)とA(4,8)⊂P4(8), P4(9)の場合は例外である。なぜなら

B(4,7)⊃ {α∪β ∈P4(7)|α, β∈ {{2,3},{4,5},{6,7}}}

であり、この部分集合はP₄(7)においてA(4,6)と合同なので極大性が満たされないためである。また

B(4,8)⊃ {α∪β∈P4(7)|α, β∈ {{2,3},{4,5},{6,7},{1,8}}}

であり、この部分集合もP₄(8)においてA(4,8)と合同なので極大性がみたされないことが分かり、P4(9)においても同様である。

注意定理を述べる前にいくつか定義しておく。

• 部分集合A⊂Pk(n)がPk(n−1)のどの部分集合とも合同でないとき、

AはPk(n)でfullであるという。

• 整数mに対して、A+m:={{α(1) +m, . . . , α(k) +m} |α∈A} また、今後極大対蹠的部分集合のことをM ASと記すことがある。

定理5.1 ([10]) . P4(n)の極大対蹠的部分集合は次のようになる。

n

4,5 A(4,4)

6 A(4,6)

7 B(4,7)

8,9 B(4,8) 10< n A(4,10), B(4,8)

n >10の場合は、A(4,2[n/2]), B(4,7)∪[a f ull M AS in P4(n−7) + 7] と B(4,8)∪[a M AS in P₄(n−8) + 8]が極大対蹠的部分集合になる。また、P₄(n) のどの極大対蹠的部分集合もこれらと合同になる。

(15)

証明 n≤10の場合を手順に従って示す。まずA₁ ={{1,2,3,4}}を取る。

よって

A(A₁) = P₂({1,2,3,4})×P₂({5, . . . , n})

∪ P₄({5, . . . , n})

となる。n≤5の場合はA(A1) =ϕとなるので、A1=A(4,4)がP4(n)の極大対蹠的部分集合になる。

n≥6の場合を考える。S(A1) = Sym({1,2,3,4})×Sym({5, . . . , n})となるのでP₂({1,2,3,4})×P₂({5, . . . , n})とP₄({5, . . . , n})はS(A₁)の軌道になっている。よって2通りの場合分けが必要になる。

(1) P2({1,2,3,4})×P2({5, . . . , n})の最小元{1,2,5,6}を取り、A1に付け加え、A2,1={{1,2,3,4},{1,2,5,6}}が得られる。そして

A(A2,1) = {α∈A(A1)− {{1,2,5,6}} |αと{1,2,5,6}が対蹠的}

= {{3,4,5,6}}

∪ {{1,2},{3,4}} ×P2({7, . . . , n})

∪ P1({1,2})×P1({3,4})×P1({5,6})×P1({7, . . . , n})

∪ P₂({5,6})×P₂({7, . . . , n})

∪ P₄({7, . . . , n})

= {{3,4,5,6}}

∪ P₁({1,2})×P₁({3,4})×P₁({5,6})×P₁({7, . . . , n})

∪ {{1,2},{3,4},{5,6}} ×P2({7, . . . , n})

∪ P4({7, . . . , n})

となる。A(A2,1)において{3,4,5,6}と他の元は対蹠的なのでA2,1に付け加えられ、

A3,1={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6}}=A(4,6) が得られる。また、

A(A3,1) = P1({1,2})×P1({3,4})×P1({5,6})×P1({7, . . . , n})

∪ {{1,2},{3,4},{5,6}} ×P2({7, . . . , n})

∪ P4({7, . . . , n})

となる。S(A3,1)は{{1,2},{3,4},{5,6}}の置換を表わしているので、

それぞれに推移的に作用していることが分かる。つまりこれらはS(A3,1) の軌道になっている。n= 6の場合、A(A3,1) = ϕとなるのでA3,1が P₄(6)の極大対蹠的部分集合である。

(16)

(1.1) P₁({1,2})×P₁({3,4})×P₁({5,6})×P₁({7, . . . , n})の最小元{1,3,5,7} を取り、A3,1に加え

A_4,1={{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,3,5,7}}

A(A4,1) = {α∈A(A3,1)− {{1,3,5,7}} |αと{1,3,5,7}が対蹠的}

= {{1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7}}

∪ {{1,3,6},{1,4,5},{2,3,5},{2,4,6}} ×P1({8, . . . n})

∪ {{1,2,7},{3,4,7},{5,6,7}} ×P1({8, . . . n})

∪ P4({8, . . . , n})

となる。A(A4,1)において{{1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7}}と他の元は対蹠的なのでA_4,1に付け加えられ、

A7,1 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,3,5,7}, {1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7}}

が得られる。

ここで

A^c_7,1 = {α^c|α∈A7,1}

= {{5,6,7},{3,4,7},{1,2,7},{2,4,6}, {2,3,5},{1,4,5},{1,3,6}}

はB(3,7)と合同になることが分かる。よってA7,1とB(4,7) =B^c(3,7) が合同である。そして

A(A7,1) = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,3,5,7}, {1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7}} ×P1({8, . . . , n})

∪ P₄({8, . . . , n})

= A^c_7,1×P₁({8, . . . , n})

∪ P₄({8, . . . , n})

となる。またB(3,7)はファノ平面を表わしており、それの射影変換群はそれそれの元に推移的に作用するのでS(A7,1)はA^c_7,1×P1({8, . . . , n}) に推移的に作用することが分かる。P4({8, . . . , n})にも推移的に作用しているのでA^c_7,1×P1({8, . . . , n}) ,P4({8, . . . , n})がS(A7,1)の2つの軌道になっている。n = 7の場合はA(A_7,1) = ϕとなるのでA_7,1が P4(7)の極大対蹠的部分集合になる。よってn≥8の場合を考える。

(17)

(1.1.1) A^c_7,1×P₁({8, . . . , n})の最小元{1,2,7,8}を取りA_7,1に加え A_8,1 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,3,5,7},

{1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7},{1,2,7,8}}

A(A8,1) = {{5,6,7},{3,4,7},{2,4,6},{2,3,5}, {1,4,5},{1,3,6}} × {{8}}

∪ P4({9, . . . , n}) となる。

{{5,6,7},{3,4,7},{2,4,6},{2,3,5},{1,4,5},{1,3,6}} × {{8}}は A(A_8,1)において他の元と対蹠的なのでA_8,1に付け加えられ、

A14 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,3,5,7}, {1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7},{1,2,7,8}}

∪ {{5,6,7},{3,4,7},{2,4,6},{2,3,5}, {1,4,5},{1,3,6}} × {{8}}

= A7,1∪A^c_7,1× {{8}}

が得られ、これはB(4,8)と合同である。よってA(A₁₄) =A(B(4,8)) = P4({9, . . . , n})となり、n = 8,9,10,11の場合はA(A14) = ϕであるので A₁₄ がP₄(n)の極大対蹠的部分集合になる。n > 11の場合は P4({9, . . . , n})の極大対蹠的部分集合Bに対して、A14∪BがP4(n)の極大対蹠的部分集合になる。

(1.1.2) P4({8, . . . , n})の最小元{8,9,10,11}を取り、A7,1に加え A_8,2 = {{1,2,3,4},{1,2,5,6},{3,4,5,6},{1,3,5,7},

{1,4,6,7},{2,3,6,7},{2,4,5,7},{8,9,10,11}}

A(A8,2) = A^c_7,1×P1({12, . . . , n})

∪ P2({8,9,10,11})×P2({12, . . . , n})

∪ P4({12, . . . , n}) となる。

またS(A8,2) =S(A^c_7,1)×Sym({8,9,10,11})×Sym({12, . . . , n})より A^c_7,1×P1({12, . . . , n})

P2({8,9,10,11})×P2({12, . . . , n}) P₄({12, . . . , n})

スピノル群の極大対蹠的部分群について