コンパクト Lie 群の極大対蹠部分群

コンパクト Lie _{群の極大対蹠部分群}

田崎博之

筑波大学数理物質系

Chen-Nagano [1]

Riemann

コンパクト

Lie

Lie

Lie

Lie

G ₂

で得られた結果を報告する。昨年度の幾何学シンポジウムでは、ユニタリ群と特 殊ユニタリ群の商群の極大対蹠部分群に関する結果を発表したが

(これは [2]

1 対蹠集合

M

Riemann

x ∈ M

s _x

S

M

x, y

s _x (y) = y

2-number

2 M

Chen-Nagano[1]

R

包含関係に関して極大な対蹠集合は大対蹠集合になり、大対蹠集合同士は合同に なる。さらに、大対蹠集合はある

Weyl

R

Riemann

[1]

Riemann

2-number

R

2-number

R

Lie

R

コンパクト

Lie

Riemann

ト

Riemann

Lie

ができる。コンパクト

Lie

2

Abel

Z ₂

2

Z ₂

極大なものは極大対蹠部分群になる。したがって、コンパクト

Lie

極大対蹠部分群が特に重要になる。大対蹠部分群の階数を

2-rank

クト

Lie

G

2-rank

r 2 G

2 G = 2 ^r

^G

2 G

G

コンパクト

Lie

g

Aut(g)

Lie

A

\{ e }

逆に互いに可換な対合的な元の極大集合に単位元を加えると極大対蹠部分群にな る。したがって、極大対蹠部分群を求めることは、互いに可換な対合的な元の極 大集合を求めることと同じことである。

2 古典型コンパクト Lie 群の商群

古典型コンパクト

Lie

∆ _n =

 



 



 

± 1 . ..

± 1



 

 



  ⊂ O(n), ∆ ^± _n = { g ∈ ∆ _n | det g = ± 1 }

とすると、∆

n

∆ ⁺ _n

O(n), U(n), Sp(n)

SO(n), SU (n)

D[4] =

{[ ± 1 0

0 ± 1 ]

, [

0 ± 1

± 1 0 ]}

⊂ O(2). D ^± [4] = { g ∈ D[4] | det g = ± 1 }

によって二面体群

D[4]

D ^± [4]

± 1

Q[8] = {± 1, ± i, ± j, ± k }

自然数

n

2

2 ^k

l

2 ^k · l

≤ s ≤ k

D[4]

s

∆ _n/2

D(s, n) = D[4] ⊗ · · · ⊗ D[4] ⊗ ∆ _n/2

⊂ O(n)

定理

2.1 ([2]) µ

µ

U(n)

µ

1

2µ

(n)

U (n)/Z _µ

π _n

(n)/Z _µ

(1) n

µ

n ( { 1, θ } C(0, n)) = π _n ( { 1, θ } ∆ _n ).

(2) n

µ

n ( { 1, θ } C(s, n)) (0 ≤ s ≤ k).

(k − 1, 2 ^k )

定理

2.2 ([2]) µ

n

µ

SU (n)

µ

1

2µ

(n)/Z _µ

(1) n

µ

n (∆ ⁺ _n ).

(2) n

µ

(a) k = 1

n (∆ ⁺ _n ∪ θ∆ ⁻ _n ), π _n ((D ⁺ [4] ∪ θD ⁻ [4]) ⊗ ∆ _l ).

n = µ = 2

π ₂ (∆ ⁺ ₂ ∪ θ∆ ⁻ ₂ )

(b) k ≥ 2

= 2 ^k

· l ^′ , 1 ≤ k ^′ ≤ k

^′

l

(b1) k ^′ = k

n (∆ ⁺ _n ∪ θ∆ ⁻ _n ), π _n (C(s, n)) (1 ≤ s ≤ k).

(s, n) = (k − 1, 2 ^k )

(b2) 1 ≤ k ^′ < k

n ( { 1, θ } ∆ ⁺ _n ), π _n ( { 1, θ } C(s, n)) (1 ≤ s ≤ k).

ただし、(s, n) = (k

− 1, 2 ^k )

定理

2.3 ([2])

n

2

2 ^k

l

2 ^k · l

(I) O(n)/ {± 1 _n }

n (C(s, n)) (0 ≤ s ≤ k).

− 1, 2 ^k )

(II) n

{± 1 n }

(1) k = 1

π _n (∆ ⁺ _n ), π _n (D ⁺ [4] ⊗ ∆ _l ).

n = 2

π ₂ (∆ ⁺ ₂ )

(2) k ≥ 2

n (∆ ⁺ _n ), π n (C(s, n)) (1 ≤ s ≤ k).

(k − 1, 2 ^k )

= 4

π ₄ (∆ ⁺ ₄ )

(III) Sp(n)/ {± 1 _n }

π n (Q[8] · C(s, n)) (0 ≤ s ≤ k).

− 1, 2 ^k )

3 _{古典型コンパクト} Lie _{環の自己同型群}

古典型コンパクト

Lie

定理

3.1 ([3])

n

2

2 ^k

l

2 ^k · l

(I) Aut(su(n))

e

: su(n) → su(n) ; X 7→ X ¯

τ

{ e, τ } Ad(D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k).

ただし、(s, n) = (k

− 1, 2 ^k )

(II) Aut(o(n))

Ad(D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k).

ただし、(s, n) = (k

− 1, 2 ^k )

(III) Aut(sp(n))

Ad(Q[8] · D(s, n)) (0 ≤ s ≤ k).

ただし、(s, n) = (k

− 1, 2 ^k )

この定理はおおむね前節の結果から得られるが、Aut(su(n))の場合は

Aut(su(n)) = Ad(U (n)) ∪ τ Ad(U (n))

が成り立ち、前節の結果は

Ad(U (n))

Hermann

Lie

上記定理の

(I)

4 例外型コンパクト Lie 群 G ₂

例外型コンパクト

Lie

G ₂

Lie

G ₂

G 2

e

F (s e , G 2 )

F (s _e , G ₂ ) = { e } ∪ M ₁ ⁺ , M ₁ ⁺ ∼ = G ₂ /SO(4)

o ∈ M ₁ ⁺

F (s _o , M ₁ ⁺ ) = { o } ∪ M _1,1 ⁺ , M _1,1 ⁺ ∼ = S ² × S ² /Z ₂

が成り立つ。S

² × S ² /Z ₂

[e ₁ , ± f ₁ ], [e ₂ , ± f ₂ ], [e ₃ , ± f ₃ ] }

1 , e ₂ , e ₃ ∈ S ²

S ²

1 , f ₂ , f ₃ ∈ S ²

S ²

定理

4.1 ([4]) M ₁ ⁺

{ o, [e ₁ , ± f ₁ ], [e ₂ , ± f ₂ ], [e ₃ , ± f ₃ ] }

2

{ e, o, [e ₁ , ± f ₁ ], [e ₂ , ± f ₂ ], [e ₃ , ± f ₃ ] }

2 G ₂ = 3

G ₂

O

G ₂

H

O

O = H × H

(m, a)(n, b) = (mn − ba, an + bm) ((m, a), (n, b) ∈ O)

O

Aut(O) = { α ∈ GL R (O) | α(xy) = (αx)(αy); x, y ∈ O }

によって

Aut(O)

G ₂

Aut(O)

G ₂

∈ Sp(1) ² ⊂ O

ψ(p, q)(m, a) = (qmq, paq) ((m, a) ∈ O)

によって

ψ(p, q) ∈ GL _R (O)

ψ(p, q) ∈ G ₂

Sp(1) ²

G ₂

γ = ψ(1, − 1)

γ ∈ M ₁ ⁺

M ₁ ⁺ = { gγg ^{− 1} | g ∈ G 2 } ∼ = G 2 /ψ(Sp(1) ² ), ψ(Sp(1) ² ) = { g ∈ G ₂ | gγg ^{− 1} = γ } ∼ = SO(4)

4.1

o

γ

M _1,1 ⁺ = { ψ(p, q ) | p ² = q ² = − 1 } ∼ = S ² × S ² /Z ₂

となり、M

_1,1 ⁺

{ ψ(i, ± i), ψ(j, ± j ), ψ(k, ± k) }

定理

4.2 ([4]) M ₁ ⁺

{ ψ(1, − 1), ψ(i, ± i), ψ(j, ± j ), ψ(k, ± k) }

2

{ ψ(1, ± 1), ψ(i, ± i), ψ(j , ± j), ψ(k, ± k) }

参考文献

[1] B.-Y. Chen and T. Nagano, A Riemannian geometric invariant and its appli- cations to a problem of Borel and Serre, Trans. Amer. Math. Soc. 308 (1988), 273–297.

[2] M. S. Tanaka and H. Tasaki, Maximal antipodal subgroups of compact Lie groups, preprint.

[3] M. S. Tanaka and H. Tasaki, Maximal antipodal subgroups of the automor- phism groups of compact Lie algebras, preprint.

[4] M. S. Tanaka, H. Tasaki and O. Yasukura, Maximal antipodal subgroups of

the compact Lie group G ₂ of exceptional type, in preparation.