の極大対蹠集合

有向実 Grassmann _多様体

の極大対蹠集合

田崎博之

筑波大学数理物質系

_年

_月

_日

広島幾何学研究集会

1

_対蹠集合

定義

_長野

M :

_{コンパクト}

_対称空間

_{における点対称}

S ⊂ M :

_対蹠集合

⇔ ∀x, y ∈ S s_x(y) = y

S :

_{大対蹠集合}

_最大値

上記最大値

対称

_{空間の場合}

2-number : Chen-

_{長野、竹内}

大対蹠集合の形

_田中

対称

_{空間ではない場合}

_長野

対蹠集合の全体

_{わかりつつある}

例外

_階数

_{以上の有向実}

多様体、

2

対蹠集合のこれまでの研究 対称

_{空間の場合}

_竹内

#₂M = dim H_∗(M ; Z2) S´anchez,

_田中

•

対蹠集合は大対蹠集合に含まれる

•

_{大対蹠集合同士は合同} 多くのコンパクト対称空間

2-number : Chen-

_長野

対称

_{空間ではない場合}

大対蹠集合ではない極大対蹠集合 コンパクト

_群

両側不変計量により対称空間

単位元を含む極大対蹠集合

_部分群 基本可換

_部分群

の積

古典型コンパクト

_群

:

極大対蹠部分群の共役類は一つ

古典型コンパクト

_群の商群

_分類

_田中

代数群の基本可換

_{部分群の共役類の} 分類

_{代数的手法}

多くのコンパクト対称空間

_{極地として}

_{に埋め込める}

_{の極大対蹠部分群}

⇒ G/K

_{の極大対蹠集合}

田中

G₂, G₂/SO(4)

_{の極大対蹠集合} 具体的記述

_田中

_保倉

上記の手法で扱いにくい対象

•

_{スピノル群}

•

_有向実

_多様体 お互い関係している

二番目

_{本日の講演のテーマ}

K¨ahler

多様体内の反正則対合的等長変 換の不動点集合の連結成分

_実形

コンパクト型

_対称空間 二つの実形の交叉

離散的

_対蹠集合

_田中

Floer

ホモロジーを具体的に計算

:

_入江

_酒井

交叉の

_{群による記述}

_井川

_田中

複素旗多様体

コンパクト型

_{対称空間の一般化}

_{コンパクト}

_{群の随伴軌道}

k

次点対称による対蹠集合の定義

コンパクト型

_{対称空間の成果}

⇒

_{複素旗多様体に拡張}

井川

_入江

_奥田

_酒井

3

_有向実

_多様体

: Rⁿ

内の

_{次元有向部分空間全体}

_不変

_{計量により}

G˜_k(Rⁿ) : Riemann

_対称空間

正の向きの正規直交基底の外積を対応

Rⁿ

X :

_集合

X k

= {α ⊂ X | |α| = k} [n] = {1, . . . , n}

α, β ∈ ^[n]_k

に対して

α\β = {i ∈ α | i /∈ β}

α, β :

_対蹠的

_偶数

:

_対蹠集合

⇔ α, β :

_対蹠的

[n]

1

の対蹠集合

_一点のみ

[n]

2

の対蹠集合

[n]

3

の対蹠集合

2l+1

1

2 3

4 5

6

2l-1

2l

1

3

5

6

2 4

1

3

5

6

4 7

2

三番目：

_平面

_{二元体上の射影平面}

定理

G˜_k(Rⁿ)

_{の極大対蹠集合の分類}

↔ ^[n]_k

の極大対蹠的集合の分類

の正規直交基底

の極大対蹠的集合

⇒ {±he_α(1), . . . , e_α(k)i_R | α ∈ A}

: ˜G_k(Rⁿ)

_{の極大対蹠集合}

逆の対応も定まる

MAS :

_{極大対蹠的部分集合}

定理

_のとき、

[n]

k

の

_{の分類完成}

_の場合

2l+1

1

2 3

4 5

6

2l-1

2l

1

3

5

6

2 4

1

3

5

6

4 7

2

[n]

k

(k ≤ 4)

_の

_{の分類に現れる}

↓

_一般化

k > 4

_のときの

の

分類または性質を調べる

A(2, 2l)

= {{1, 2}, . . . , {2l − 1, 2l}} ⊂

[2l]

2

A(2k, 2l)

=

α₁ ∪ · · · ∪ α_k

α_i ∈ A(2, 2l) α_i 6= α_j

⊂

[2l]

2k A(2k + 1, 2l + 1)

= {α ∪ {2l + 1} | α ∈ A(2k, 2l)} ⊂

[2l + 1]

2k + 1

A(2, 6)

e e e

e e e

1 3 5

2 4 6

e e e

e e e

1 3 5

2 4 6

e e e

e e e

1 3 5

2 4 6

A(3, 7) = {α ∪ {7} | α ∈ A(2, 6)}

e e e

e e e

e

@@

@@

1 3 5

2 4 6

7

e e e

e e e

e

1 3 5

2 4 6

7

e e e

e e e

e

1 3 5

2 4 6

7

A(4, 6)

e e e

e e e

1 3 5

2 4 6

e e e

e e e

1 3 5

2 4 6

e e e

e e e

1 3 5

2 4 6

A(5, 7) = {α ∪ {7} | α ∈ A(4, 6)}

e e e

e e e

e

@@

@@

1 3 5

2 4 6

7

e e e

e e e

e

@@

@@

1 3 5

2 4 6

7

e e e

e e e

e

1 3 5

2 4 6

7

定理

A(2k, 2l), A(2k + 1, 2l + 1) : AS l ≥ 3k + 1

_のとき

A(2k, 2l) : MAS in ^[2l]_2k

, ^[2l+1]_2k A(2k + 1, 2l + 1)

: MAS in ^[2l+1]_2k+1

, ^[2l+2]_2k+1

l ≥ 1

_のとき

A(2, 2l) : MAS in ^[2l]₂

, ^[2l+1]₂

A(3, 3) : MAS in ^[3]₃

, ^[4]₃ A(3, 5) : MAS in ^[5]₃

not in MAS in ^[6]₃ A(3, 7) : not in MAS in ^[7]₃ l ≥ 4 = 3 + 1

_のとき

A(3, 2l + 1) : MAS in ^[2l+1]

, ^[2l+2]

A(4, 4) : MAS in ^[4]₄

, ^[5]₄ A(4, 6) : MAS in ^[6]₄

not MAS in ^[7]₄ A(4, 8) : not in MAS in ^[8]₄ l ≥ 5

_のとき

A(4, 2l) : MAS in ^[2l]₄

, ^[2l+1]₄

a(k, n) = max n

|A|

A : AS in ^[n]_k o a(1, n) = 1 a(2, n) =

n 2

a(2k, n) ≥

A

2k, 2

n 2

=

⌊n/2⌋

k

, a(2k + 1, n) ≥

A

2k + 1, 2

n − 1 2

+ 1

=

⌊(n − 1)/2⌋

k

.

k ≤ 4

_の場合の

_{の分類結果より}

n 4 5 6 7, . . . , 16 17

_以上

n 5 6 7 8, . . . , 11 12

_以上

⌊ⁿ₂⌋ 2

A(3, 15)

e e e

e e e

1 3 5

2 4 6

PPPPPP

PPPP HHHH

HHH

@@

@@

e e e

e e e

7 9 11

8 10 12

e

e

e

13 14 A(3, 17) 15

e e e

e e e

1 3 5

2 4 6

PPPPPP

PPPP HHHH

HHH

@@

@@

e e e

e e e

e

7 9 11

8 10 12

17

e e

e e

13 15 14 16

定理

n ≥ 87 ⇒ a(5, n) =

n−1 2

2

[n]

5

の大対蹠集合

5, 2

n − 1 2

+ 1

と合同 次が成り立つことが期待される

_に対して

_{が十分大きい}

[n]

k

の大対蹠集合は

_または

_に合同

定理

_徳重

k :

_自然数、

_が

に対して十分大きいとき、

[n]

k

の大対蹠集合

_に合同

ただし、

_{が奇数のとき}

_は

_{以下の最大奇数}

であり、

_{が偶数のとき}

_は

_{以下の最大偶数}

である。

k

_に対して

_{があまり大きくない}

を考える

α(i) ∈ {2i − 1, 2i},

_偶数の

_は偶数個

とおくと

.

_次は

d d d

d d d

1 3 5 2 4 6

d d d

d d d

@@@

1 3 5 2 4 6

d d d

d d d

@@@

1 3 5 2 4 6

d d d

d d d

1 3 5 2 4 6

1

3 6

定理

(1) 2m ≡ 2, 4, 6(mod8)

_のとき、

Ev_2m : ^[2m]_m

の

の

_ではない

の

前ページの定理の

_の

_を参考に 対蹠集合を定める準備

X, Y :

_集合

, B ⊂ ^Y_l

に対して

A × B = {α ∪ β | α ∈ A, β ∈ B}

⊂

X ∪ Y k + l

Ev₈⁺_m = Ev8m ∪ A(4m, 8m), Ev₈⁺_m+2 = Ev8m+2∪

A(4m − 2, 8m + 2) × {{8m + 3, 8m + 4, 8m + 5}}, Ev₈⁺_m+4 = Ev8m+4∪

A(4m, 8m + 4) × {{8m + 5, 8m + 6}},

Ev₈⁺_m+6 = Ev8m+6 ∪ A(4m + 2, 8m + 6) × {{8m + 7}}.

Ev₆

_と

1

3

5

6

2 4

1

3

5

6

4 7

2

これらは

と

内の

_{の分類に現}

れる。

Ev6 と Ev₆⁺

d d d

d d d

1 3 5

2 4 6

d d d

d d d

@@

@

1 3 5

2 4 6

d d d

d d d

@@

@

1 3 5

2 4 6

d d d

d d d

1 3 5

2 4 6

d d d

d d d

d

@@

@

1 3 5

2 4 6

7

d d d

d d d

d

1 3 5

2 4 6

7

d d d

d d d

d

1 3 5

2 4 6

7

定理

_以下は

の

_である。

HHHH

HHH

k

n 8m 8m + 1 8m + 2 8m + 3 4m Ev₈⁺m Ev₈⁺m Ev₈⁺m Ev₈⁺m

4m + 1 Ev8m+2 Ev8m+2

HHHH

HHH

k

n 8m + 4 8m + 5 8m + 6 8m + 7 4m + 1 Ev8m+2 Ev₈⁺m+2

4m + 2 Ev8m+4 Ev8m+4 Ev₈⁺m+4

4m + 3 Ev8m+6 Ev₈⁺m+6

Ev8 と Ev₈⁺

c c

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

c c

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

c c

@@

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

c c

@@

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

c c

@@

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

c c

@@ @

@

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

c c

@@

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

c c

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

c c

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

c c

1 2

c c

3

4

c c

5 6

c c

7 8

c c

1 2

c c

3

4

c c

5 6

c c

7 8

c c

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

c c

1 2

c c

3

4

c c

5 6

c c

7 8

c c

1 2

c c

3 4

c c

5 6

c c

7 8

Ev_∗

_と

_の組合せ

⇒ Ev_∗⁺

を含む対蹠集合の系列の構成

[n]

4m

, Ev_8m+2⁺ ⊂ Ev_8m+2^+l ⊂

[n]

4m + 1

, Ev_8m+4⁺ ⊂ Ev_8m+4^+(l1,l2) ⊂

[n]

4m + 2

, Ev_8m+6⁺ ⊂ Ev_8m+6^+l ⊂

[n]

4m + 3

.

真に含む対蹠集合は存在しない

[n]

1

, Ev₆⁺ ⊂

[7]

3

.

4

スピノル群の極大対蹠部分群 スピノル群

_{回転群の普遍被覆群}

_{の普遍被覆群}

_代数

Spin(n) ⊂ Cl(Rⁿ)

F (n) =

⌊n/4⌋

[

k=0

[n]

4k

α, β ∈ F (n)

_に対して

α, β :

_対蹠的

_偶数

_対蹠集合

⇔ α, β :

_対蹠的

Spin(n)

の極大対蹠部分群の分類

↔ F (n)

の極大対蹠的集合の分類

対蹠部分群

_基本可換

_部分群

(1) ↔

_{代数的位相幾何学}

_符号理論