古典型コンパクト対称空間の極大対蹠集合

(1)

古典型コンパクト対称空間の極大対蹠集合

—

田中真紀子さんとの共同研究

—

ワークショップ

「幾何学と組合せ論

2019

_」田崎博之

筑波大学数理物質系

2019

_年

3

_月

9

_日

(2)

定義

(Chen-

_長野

)

M :

_{コンパクト}

Riemann

_対称空間

s _x : x ∈ M

_{における点対称}

x, y ∈ M :

_対蹠的

⇔ s _x (y ) = y S ⊂ M :

_対蹠集合

⇔ ∀ x, y ∈ S x, y :

_対蹠的

S :

_{大対蹠集合}

⇔ | S | :

_最大値

# ₂ M :

_{大対蹠集合の濃度}

2-number

(3)

例

(1) M = S ⁿ ( ⊂ R ⁿ⁺¹ ) :

_球面

x ∈ S ⁿ , { x, − x }

^{は大対蹠集合}

,

# ₂ S ⁿ = 2

(2) M = R P ⁿ :

_{実射影空間}

e ₁ , . . . , e _n+1

_：

R ⁿ⁺¹

^{の正規直交基底}

{⟨ e ₁ ⟩ R , . . . , ⟨ e _n+1 ⟩ R }

^{：大対蹠集合}

,

# ₂ R P ⁿ = n + 1

(4)

(3) M :

_{コンパクト}

Lie

_群両側不変計量が存在

s _x (y ) = xy ⁻ ¹ x

_により

M

_{は対称空間}

e ∈ A :

_{極大対蹠集合}

⇒ A :

_部分群

A : Z ²

^{の積に同型}

極大対蹠集合

:

_{極大対蹠部分群に帰着} このような部分群

: Borel-Serre

Chen-

長野はこれを対称空間に拡張

(5)

(4)

_{古典型コンパクト}

Lie

_群の場合

∆ _n = { diag( ± 1, . . . , ± 1) ∈ O(n) } O (n), U (n), Sp(n)

_{の大対蹠部分群}

,

# ₂ O(n) = # ₂ U (n) = # ₂ Sp(n)

= 2 ⁿ

∆ ⁺ _n = { d ∈ ∆ _n | det d = 1 }

SO(n), SU (n)

_{の大対蹠部分群}

,

# ₂ SO(n) = # ₂ SU (n) = 2 ⁿ ⁻ ¹

上記は対角化等により得られる。

(6)

基本的なコンパクト対称空間

(

_対称

R

_空間

)

_の対蹠集合

:

_{よくわかっている}

それ以外のコンパクト対称空間の対蹠集合を理解したい

有向実

Grassmann

_多様体

: 2017

_年の講演

古典型コンパクト対称空間とその商空間

:

_今回基本的な空間の極大対蹠集合

(MAS)

_の分類結果とその証明の方針を述べる。

(7)

二面体群

D[4] :=

 





 ± 1 0 0 ± 1



 ,



 0 ± 1

± 1 0





 

 n

_{を分解する}

: n = 2

^k

· l, l

_は奇数

0 ≤ s ≤ k

_なる

s

_に対して

D(s, n) := D[4] ⊗ · · · ⊗ D[4]

| {z }

s

⊗ ∆

_n/2^s

= { d

₁

⊗ · · · ⊗ d

_s

⊗ d

₀

| d

₁

, . . . , d

_s

∈ D[4], d

₀

∈ ∆

_n/2^s

}

(8)

定理

1

_（田中

-T. 2017

_）

Z

^µ

:= { α1

_n

| α

^µ

= 1

_n

} ⊂ U (n) θ

_：

1

_の原始

2µ

_乗根

π

_n

: U (n) → U (n)/ Z

^µ^{：自然な射影}

U (n)/ Z

^µ ^の

MAS

_{は次の何れかに共役}

（

1

_）

n

_または

µ

_{が奇数の場合}

π

_n

(∆

_n

∪ θ∆

_n

)

（

2

_）

n

_および

µ

_{が偶数の場合}

π

_n

(D(s, n) ∪ θD (s, n)) (0 ≤ s ≤ k)

ただし、

(s, n) = (k − 1, 2

^k

)

_{の場合は除く}

(9)

D(k − 1, 2

^k

) = D [4] ⊗ · · · ⊗ D[4]

| {z }

k−1

⊗ ∆

₂

( D[4] ⊗ · · · ⊗ D[4]

| {z }

k−1

⊗ D [4] = D (k, 2

^k

)

_という包含関係があるため、先の定理において

(s, n) = (k − 1, 2

^k

)

_{は除かれる。}

(10)

証明の概要

A : π

_n

(U (n))

_{の極大対蹠部分群}

B = π

_n⁻¹

(A) ⊂ U (n)

B

_{が非可換ならば、}

n = 2n

^′ _となり、

U (n

^′

)/ Z

^µ ^{の極大対蹠部分群}

A

^′ _{が存在して}

A

は

π

_n

(D[4] ⊗ π

_n⁻_′¹

(A

^′

))

_{と共役になる。}

この証明は中心体

C (1

_n^′

, − 1

_n^′

) :

二点を結ぶ測地線の中点全体を詳しく調べて行う。

さらに上の主張を利用して帰納的に定理を証明する。

(11)

O (n)/ {± 1

_n

} , SO(n)/ {± 1

_n

} (n

_が偶数

), SU (n)/ Z

^µ

(µ

_が

n

_{を割り切る}

),

Sp(n)/ {± 1

_n

}

についても同様の分類結果が得られる。

Spin(n)

_および

Ss(n)

_{の極大対蹠部分群の分} 類は未完。

(12)

G

_{：コンパクト}

Lie

_群

,

_{両側不変計量}

G

₀_：

G

_{の単位連結成分}

M : Fix(s

_e

, G)

_{の連結成分}

, dim M > 0 (Fix(s

_e

, G) = { g ∈ G | g

²

= e } )

s

_x

|

^M

(x ∈ M )

_は

M

_{の点対称になり}

M

_はコンパクト対称空間

M = ∪

g∈G₀

ρ

_g

(x)

_ここで、

ρ

_g

(x) = gxg

⁻¹

I

₀

(M ) = { ρ

_g

|

^M

| g ∈ G

₀

}

(13)

A

_：

M

_{の極大対蹠集合}

A ∪ { e }

^は

G

_{の対蹠集合}

(A ⊂ Fix(s

_e

, G)) A ˜

_：

A ∪ { e }

^を含む

G

_{の極大対蹠部分群}

A = M ∩ A ˜ (A

_の極大性

)

B

₀

, . . . , B

_k_：

G

_{の極大対蹠部分群の各}

G

₀ _共役類の代表

0 ≤ ∃ s ≤ k, ∃ g ∈ G

₀

s.t. ˜ A = ρ

_g

(B

_s

) A = M ∩ ρ

_g

(B

_s

) = ρ

_g

(M ∩ B

_s

)

A

_は

M

_内で

M ∩ B

_s _と

I

₀

(M )

_合同

M

_{の極大対蹠集合の}

I

₀

(M )

_{合同類の代表候補}

M ∩ B , M ∩ B , . . . , M ∩ B

(14)

Fix(s

_e

, U (n)) = { g ∈ U (n) | g

²

= e }

= ∪

g∈U(n)

ρ

_g

{ diag( ± 1, . . . , ± 1) }

= ∪

0≤k≤n

∪

g∈U(n)

ρ

_g

(1

_k,n₋_k

)

ここで

1

_k,n₋_k

= diag(1, . . . , 1

| {z }

k

, − 1, . . . , − 1

| {z }

n−k

)

∪

g∈U(n)

ρ

_g

(1

_k,n₋_k

)

_の各元に

+1

_{固有空間を対応} させることにより、これは複素

Grassmann

_多様体

G

_k

( C

ⁿ

)

_{と同一視できる。}

(15)

Fix(s

_e

, U (n)) = ∪

0≤k≤n

G

_k

( C

ⁿ

)

U (n)

の極大対蹠部分群は共役を除いて

∆

_n _のみなので、

G

_k

( C

ⁿ

)

_{の極大対蹠集合は}

U (n)

_合同を除いて

G

_k

( C

ⁿ

) ∩ ∆

_n _のみ。

C

ⁿ ^{の標準的ユ} ニタリ基底を

e

₁

, . . . , e

_n _{とすると、}

G

_k

( C

ⁿ

) ∩ ∆

_n

= {⟨ e

_i₁

, . . . , e

_i_k

⟩

C

| 1 ≤ i

₁

< · · · < i

_k

≤ n }

これは大対蹠集合になり、

#

₂

G

_k

( C

ⁿ

) =

( n k

)

.

(16)

G

_m

( C

^2m

)

_{の対合的等長変換}

γ : G

_m

( C

^2m

) → G

_m

( C

^2m

); V 7→ V

^⊥ は

U (2m)

_{の対合的等長変換}

− 1 : U (2m) → U (2m); g 7→ − g

に拡張できる。これにより、

U (2m)/ {± 1 } ⊃ G

_m

( C

^2m

)/ {± 1 }

^となる。

簡単に

U (2m)

^∗

⊃ G

_m

( C

^2m

)

^∗ _と書く。

G

_m

( C

^2m

)

^∗ _は

Fix(s

_e

, U (2m)

^∗

)

_{の連結成分の} 一つになる。

(17)

2m = 2

^k

· l (l

_は奇数

). U (2m)

^∗ _{の極大対蹠部} 分群は次のいずれかに共役

π

_2m

( { 1, √

− 1 } D(s, 2m))

(0 ≤ s ≤ k, (s, 2m) = (k − 1, 2

^k

)

_を除く

)

これらと

G

_m

( C

^2m

)

^∗ の共通部分を記述するため

P D (s, n) = { d ∈ D(s, n) | d

²

= 1

_n

} ,

N D (s, n) = { d ∈ D(s, n) | d

²

= − 1

_n

}

とおく。

(18)

D(s, n)

_{の元のうち、}

D[4]

_{のテンソル積中}



 0 − 1 1 0





_{の個数が偶数のときは}

P D (s, n)

_の元であり、奇数のときは

N D (s, n)

_{の元である。}

P D (0, n) = ∆

_n

, N D(0, n) = ∅ . π

_2m

( { 1, √

− 1 } D(s, 2m)) ∩ G

_m

( C

^2m

)

^∗

= π

_2m

( { d

₁

⊗ · · · ⊗ d

_s

⊗ d

₀

∈ P D (s, 2m) |

∃ d

_i

(0 ≤ i ≤ s) Trd

_i

= 0 }

∪ √

− 1N D (s, 2m))

(19)

定理

2

_（田中

-T.

_）

G

_m

( C

^2m

)

^∗ _の

MAS

_{は次のいずれかに合同}

π

_2m

( { d

₁

⊗ · · · ⊗ d

_s

⊗ d

₀

∈ P D (s, 2m) |

∃ d

_i

(0 ≤ i ≤ s) Trd

_i

= 0 }

∪ √

− 1N D (s, 2m)) (0 ≤ s ≤ k,

(s, 2m) = (0, 4), (k − 1, 2

^k

)

_を除く

)

(20)

{ d ∈ ∆

₄

| Trd = 0 }

= { d

₁

⊗ d

₂

| d

_i

∈ ∆

₂

, ∃ i Trd

_i

= 0 } ( { d

₁

⊗ d

₂

| d

_i

∈ D [4], ∃ i Trd

_i

= 0 }

という包含関係があるため、先の定理において

(s, 2m) = (0, 4)

_{は除かれる。}

他の古典型コンパクト対称空間およびその商空間についても同様の分類結果が得られる。

古典型コンパクト対称空間 の極大対蹠集合