非連結コンパクト Lie 群の極地

(1)

非連結コンパクト

Lie

^群の極地

田中真紀子（東京理科大学）

研究集会「カンドルと対称空間」

2020. 12. 17–18

オンライン開催（

Zoom

^）

(2)

田崎博之氏（筑波大学）との共同研究

内容

1.

^{研究の背景}

2.

極大対蹠集合の分類における基本原理

3.

非連結コンパクト

Lie

群の極地

4.

^応用例

(3)

1.

研究の背景

M

^：

Riemann

^多様体

M

^：

Riemann

対称空間

⇔

def ∀ x ∈ M, ∃ s _x

^：

M

^の等長変換

s . t . (i) s _x ◦ s _x = id , (ii) x

^は

s _x

^{の孤立不動点}

s _x

^：

x

^{における点対称}

例：ユークリッド空間

E ⁿ

^、球面

S ⁿ

^{、射影空間}

P ⁿ M

^が連結

⇒ s _x

^{は一意的、}

s _x ◦ s _y = s _s

x

( y ) ◦ s _x ( x, y ∈ M )

が成立連結

Riemann

^{対称空間はカンドル}

F ( s _x , M ) = { y ∈ M | s _x ( y ) = y }

^{の連結成分を}

x

^に関する極地

(polar)

^という

{ x }

^{：自明な極地}

(4)

F ( s _x , E ⁿ ) = { x } , F ( s _x , S ⁿ ) = { x, − x } , F ( s _x , P ⁿ ) = { x } ∪ P ⁿ ⁻ ¹

M

^{が非コンパクト型}

⇒ F ( s _x , M ) = { x }

以下では

M

がコンパクトの場合を考える

A

^：

M

^{の部分集合}

A

^{：対蹠集合}

(antipodal set)

def ⇔ ∀ x, y ∈ A, s _x ( y ) = y

対蹠集合は有限集合

M

^の

2-number

# ₂ M = max {| A | | A

^{：対蹠集合}

}

(5)

例：

{ x, − x }

^は

S ⁿ

^{の極大な対蹠集合で}

# ₂ S ⁿ = 2 {⟨ e ₁ ⟩ , . . . , ⟨ e _n ₊₁ ⟩}

^は

P ⁿ

^{の極大な対蹠集合で}

# ₂ P ⁿ = n + 1

Chen-Nagano (1988) 2-number

の詳細な研究

N ⊂ M

：全測地的部分多様体（誘導計量に関する

N

^の測地線は

M

^{の測地線）}

M

^の点対称

s _x

^は

x

^{を始点とする測地線}

γ ( t )

^に対して

s _x ( γ ( t )) = γ ( − t )

x ∈ N

^のとき

s _x

^は

N

^を保ち

N

^{の点対称を定める}

⇒ N

^{は誘導計量に関して}

Riemann

対称空間

(6)

正次元の極地は全測地的部分多様体

正次元の極地はコンパクト

Riemann

対称空間

A

^：

M

^{の対蹠集合}

x ∈ A

A ⊂ F ( s _x , M ) =

^∪

^r

j =1

M _j ⁺

^{極地への分解}

A ∩ M _j ⁺

^は

M _j ⁺

^{の対蹠集合}

# ₂ M ≤

^∑

^r

j =1

# ₂ M _j ⁺

M

^：対称

R

^空間

⇒

^{等号成立（}

Takeuchi 1989)

コンパクト型

Hermite

^対称空間

M

^の

2

^つの実形

L ₁ , L ₂

の交叉は離散的ならば対蹠集合

L ₁ , L ₂

^が

M

の等長変換で合同ならば交叉は大対蹠集合

(T.-Tasaki 2012)

(7)

対蹠集合

A

^は

| A | = # ₂ M

^{のとき大対蹠集合}

(great antipodal set)

例：

C P ¹ = S ²

^{はコンパクト型}

Hermite

^{対称空間で大} 円

R P ¹ = S ¹

はその実形（対合的反正則等長変換の不動点集合）

2

つの異なる大円

S ¹

^{は対蹠的な}

2

点

{ x, − x }

^{で交わり、}

これは

S ¹

^{の大対蹠集合}

大対蹠集合は極大対蹠集合、逆は一般には成立しない対称

R

空間の極大対蹠集合は大対蹠集合で等長変換を除いて一意的

(T.-Tasaki 2013)

(8)

目的：コンパクト

Riemann

対称空間の極大対蹠集合の構造の理解、応用

そのためにコンパクト

Riemann

^{対称空間の極大対蹠集} 合を分類（現在進行中）

古典型コンパクト

Lie

群とその商群の極大対蹠部分群の分類

(Griess 1991, Yu 2013, T.-Tasaki 2017)

例外型コンパクト

Lie

^群

G ₂ , F ₄

^{については既知}

いくつかの古典型コンパクト

Riemann

対称空間の極大対蹠集合の分類

(T.-Tasaki 2020)

(9)

コンパクト

Lie

群

G

^{には両側不変}

Riemann

計量が存在して

Riemann

^{対称空間になる}

G ₀

^{：単位連結成分}

G ₀

^{上で点対称が}

s _x ( y ) = xy ⁻ ¹ x

^{により一意的に定まる}

G

の群構造だけで定まっているので自然に

G

^{全体に拡張} できる

例：

U ( n ) , SU ( n ) , O ( n ) , SO ( n ) , Sp ( n ) A

^：

G

^{の対蹠集合}

, e ∈ A

⇒ ∀ x, y ∈ A, x ² = y ² = e, xy = yx

e ∈ A

^{が極大対蹠集合ならば}

A

^{は部分群で}

Z ² × · · · × Z ²

と同型

(10)

# ₂ G = 2 ^r , r

^は

G

^の

2-rank

例：

U ( n )

の極大対蹠部分群は

{ diag( ± 1 , · · · , ± 1) }

^に共役、

# ₂ U ( n ) = 2 ⁿ

U (4) / {± 1 ₄ }

^{には元の個数が}

2 ⁵

^と

2 ⁴

^{の極大対蹠部分群} がある、

# ₂ U (4) / {± 1 ₄ } = 2 ⁵

(11)

2.

極大対蹠集合の分類における基本原理

コンパクト

Lie

群の極大対蹠部分群の分類を利用してコンパクト

Riemann

対称空間の極大対蹠集合を分類する際の基本原理について述べる

G

^{：コンパクト}

Lie

^群

G ₀

e

^：単位元

e

^{に関する極地を単に}

G

^{の極地とよぶ}

g ∈ G, I _g ( x ) = gxg ⁻ ¹ ( x ∈ G ) I _g

^は

G

^{の等長変換}

M

^：

G

^の極地

x ₀ ∈ M

M = { I _g ( x ₀ ) | g ∈ G ₀ }

(12)

Iso ₀ ( M ) = { I _g | _M | g ∈ G ₀ }

（

Iso ₀ ( M )

：

M

の等長変換群の単位連結成分）

A ⊂ M

^{：対蹠集合}

A ∪ { e }

^：

G

^{の対蹠集合}

∃ A ˜

^{：極大対蹠部分群}

A ∪ { e } ⊂ A ˜ A

^が

M

^で極大

⇒ A = M ∩ A ˜

B ₁ , . . . , B _k

^：

G

^{の極大対蹠部分群の}

G ₀

^{共役類の代表元}

∃ g ∈ G ₀ , 1 ≤ ∃ s ≤ k s . t . A ˜ = I _g ( B _s )

A = M ∩ A ˜ = M ∩ I _g ( B _s ) = I _g ( M ∩ B _s )

A

^は

M ∩ B _s

^に

Iso ₀ ( M )

^合同

(13)

M

^{の極大対蹠集合の}

Iso ₀ ( M )

合同類の代表元は

M ∩ B ₁ , . . . , M ∩ B _k

^{のいずれか}

[T.-Tasaki 2017]

で古典型コンパクト

Lie

群とその商群の極大対蹠部分群の共役類を求め、代表元の具体的表示を与えた。

[T.-Tasaki 2020]

で上記の基本原理を使って古典型コンパクト

Lie

群（の商群）の極地として実現されるコンパクト

Riemann

^対称空間

M

^の極大対蹠集合の

Iso ₀ ( M )

合同類を求め、代表元の具体的表示を与えた。連結コンパクト

Lie

群の極地としては実現されないコンパクト

Riemann

^{対称空間がある。}

(14)

3.

^{非連結コンパクト}

Lie

^群の極地極地が

1

点

{ x }

^{のとき極という}

G

^{：コンパクト}

Lie

^群

G ₀

x ∈ F ( s _e , G )

G ⁺ ( x )

^：

x

^{を含む極地}

G ⁺ ( x ) = { I _g ( x ) | g ∈ G ₀ }

極の全体

Z _G ( G ₀ ) ∩ F ( s _e , G )

（

Z _G ( G ₀ )

^は

G

^における

G ₀

^{の中心化群）}

F ( s _e , G ) = ( Z _G ( G ₀ ) ∩ F ( s _e , G )) ∪

^∪

^k

i =1

G ⁺ ( x _i )

dim G ⁺ ( x _i ) > 0 , G ⁺ ( x _i ) ∩ G ⁺ ( x _j ) = ∅ ( i ̸ = j )

(15)

G = G ₀ ∪

^∪

λ ∈ Λ

G _λ

^{連結成分への分解}

G ₀ ∩ F ( s _e , G )

については

Chen-Nagano

が研究

G _λ ∩ F ( s _e , G )

を調べる

x _λ ∈ G _λ ∩ F ( s _e , G ) ̸ = ∅

G _λ = G ₀ x _λ I _x

_λ ^は

G ₀

^{の対合的自己同型写像}

T _λ

^：

F ( I _x

_λ

, G ₀ )

の単位連結成分の極大トーラス

G ₀

^の

G ₀

^{への捩れた共役作用}

g.h = ghI _x

_λ

( g ) ⁻ ¹

の性質

（

Hermann

作用の性質）から次を得る命題

1 G _λ =

^∪

g ∈ G

₀

g ( x _λ T _λ ) g ⁻ ¹

(16)

G _λ ∩ F ( s _e , G ) =

^∪

g ∈ G

₀

g { x ∈ x _λ T _λ | x ² = e } g ⁻ ¹

{ x ∈ x _λ T _λ | x ² = e }

^{を決定し、}

G ₀

^{共役軌道の具体的} 表示を与える

命題

2 G _λ ∩ F ( s _e , G ) ̸ = ∅

^ならば

(1) G ₀ ∪ G _λ

^は部分群

(2) x _λ ∈ G _λ ∩ F ( s _e , G )

^{に対して、}

G ₀ ∪ G _λ

^は半直積

G ₀ ⋊ ⟨ I _x

_λ

⟩

^に同型

G ₀ ⋊ ⟨ I _x

_λ

⟩ = { ( g, id) | g ∈ G ₀ } ∪ { ( g, I _x

_λ

) | g ∈ G ₀ }

連結成分への分解

(17)

命題

2

^の証明：

G _λ G _λ = G ₀ x _λ G ₀ x _λ = G ₀ G ₀ = G ₀ φ : G ₀ ⋊⟨ I _x

_λ

⟩ → G ₀ ∪ G _λ

^を

φ ( g, id) = g, φ ( g, I _x

_λ

) = gx _λ

^{で定義すると}

φ

^は

Lie

群の同型写像

G

^{：連結コンパクト}

Lie

^群

e

^：

G

^の単位元

σ

^：

G

^{の対合的自己同型写像}

M = { g ∈ G | σ ( g ) = g ⁻ ¹ } ˆ e = ( e, id)

^：

G ⋊ ⟨ σ ⟩

^の単位元

命題

3 F ( s _ˆ _e , G ⋊ ⟨ σ ⟩ ) = ( F ( s _e , G ) , id) ∪ ( M, σ )

特に、

( M, σ )

^{の各連結成分は}

G ⋊ ⟨ σ ⟩

^の極地

(18)

命題

3

の証明：

F ( s _ˆ _e , G ⋊ ⟨ σ ⟩ ) = F ( s _ˆ _e , ( G, id)) ∪ F ( s _ˆ _e , ( G, σ )) F ( s _ˆ _e , ( G, id)) = ( F ( s _e , G ) , id)

F ( s _ˆ _e , ( G, σ )) = ( M, σ )

が次からわかる

g ∈ G, s _ˆ _e ( g, σ ) = ( g, σ ) ⇔

( g, σ ) = ( g, σ ) ⁻ ¹ = ( σ ( g ⁻ ¹ ) , σ ) ⇔

σ ( g ) = g ⁻ ¹

(19)

4.

応用例

U ( n )

：ユニタリ群

1 _n

：単位元

F ( s ₁

_n

, U ( n )) = { x ∈ U ( n ) | x ² = 1 _n }

=

^∪

ⁿ

i =0 { g x _i g ⁻ ¹ | g ∈ U ( n ) } x _i = diag( − 1 , . . . , − 1

| {z }

i

, 1 , . . . , 1

| {z }

n − i

) U ( n )

^の極地

{ 1 _n } , {− 1 _n } ,

U ( n ) / ( U ( i ) × U ( n − i )) (1 ≤ i ≤ n − 1)

複素

Grassmann

多様体

(20)

τ ( g ) = ¯ g U ( n )

の対合的自己同型写像

G = U ( n ) ⋊ ⟨ τ ⟩

⟨ τ ⟩ = { e, τ }

G = { ( g, e ) | g ∈ U ( n ) } ∪ { ( g, τ ) | g ∈ U ( n ) }

連結成分への分解

G

^の演算

( g, e )( h, e ) = ( gh, e )

( g, e )( h, τ ) = ( gh, τ )

( g, τ )( h, e ) = ( gτ ( h ) , τ )

( g, τ )( h, τ ) = ( gτ ( h ) , e ) ( g, e )

^を

g, ( g, τ )

^を

gτ

^とも書く

G = U ( n ) ∪ U ( n ) τ

τ g = (1 _n , τ )( g, e ) = ( τ ( g ) , τ ) = (¯ g, τ ) = ¯ gτ

(21)

ˆ e

^：

G = U ( n ) ⋊ ⟨ τ ⟩

^の単位元

F ( s _ˆ _e , G ) = ( F ( s _ˆ _e , G ) ∩ U ( n )) ∪ ( F ( s _ˆ _e , G ) ∩ U ( n ) τ ) F ( s _ˆ _e , G ) ∩ U ( n ) = F ( s ₁

_n

, U ( n ))

=

^∪

ⁿ

i =0 { g x _i g ⁻ ¹ | g ∈ U ( n ) }

^{（極地への分解）}

極と複素

Grassmann

多様体

F ( s _ˆ _e , G ) ∩ U ( n ) τ

^{について命題}

1

を利用して調べる

T

^：

F ( τ, U ( n )) = O ( n )

^{の極大トーラス}

U ( n ) τ =

^∪

g ∈ U ( n )

g ( τ T ) g ⁻ ¹ F ( s _ˆ _e , G ) ∩ U ( n ) τ =

^∪

g ∈ U ( n )

g { x ∈ τ T | x ² = 1 _n } g ⁻ ¹

(22)

{ x ∈ τ T | x ² = 1 _n }

^を調べる

T =

















R ( θ ₁ )

. . .

R ( θ _k )

(1)







θ ₁ , . . . , θ _k ∈ R











R ( θ ) =





cos θ − sin θ sin θ cos θ





, k = ⌊ ⁿ ₂ ⌋

t ∈ T

τ t = ¯ tτ = tτ

( τ t ) ² = τ ² t ² = t ²

{ x ∈ τ T | x ² = 1 _n } = τ { t ∈ T | t ² = 1 _n }

(23)

= τ

















ϵ ₁ 1 ₂

. . .

ϵ _k 1 ₂

(1)







ϵ ₁ , . . . , ϵ _k = ± 1











・

t ∈ T, g ∈ U ( n )

^に対して

g ( τ t ) g ⁻ ¹ = g t ^t g τ

・

( i 1 ₂ )( − 1 ₂ )( i 1 ₂ ) = 1 ₂

から

t ∈ T, t ² = 1 _n

に対して

∃ g ∈ U ( n ) s . t . g t ^t g = 1 _n

これらのことから

∀ t ∈ T, t ² = 1 _n

に対して次が成立

{ g ( τ t ) g ⁻ ¹ | g ∈ U ( n ) } = { g t ^t g | g ∈ U ( n ) } τ

= { g 1 _n ^t g | g ∈ U ( n ) } τ

(24)

したがって

F ( s _ˆ _e , G ) ∩ U ( n ) τ =

^∪

g ∈ U ( n )

g { x ∈ τ T | x ² = 1 _n } g ⁻ ¹

= { g ( τ t ) g ⁻ ¹ | t ∈ T, t ² = 1 _n , g ∈ U ( n ) }

= { g 1 _n ^t g | g ∈ U ( n ) } τ

これが命題

3

の記号のもとでの

( M, σ ) U ( n )

の

1 _n

におけるイソトロピー部分群

g 1 _n ^t g = 1 _n ⇔ ^t g = g ⁻ ¹ = ^t ¯ g ⇔ g ∈ O ( n ) F ( s _ˆ _e , G ) ∩ U ( n ) τ = ∼ U ( n ) /O ( n )

^{、特に連結}

U ( n ) /O ( n )

^{は連結コンパクト}

Lie

^{群の極地としては実} 現されない

非連結コンパクト Lie 群の極地

Lie

2020. 12. 17–18

Zoom

1.

2.

3.

Lie

4.

1.

M

Riemann

M

Riemann

⇔

def ∀ x ∈ M, ∃ s x

M

s . t . (i) s x ◦ s x = id , (ii) x

s x

s x

x

E n

S n

P n M

⇒ s x

s x ◦ s y = s s

( y ) ◦ s x ( x, y ∈ M )

Riemann

F ( s x , M ) = { y ∈ M | s x ( y ) = y }

x

(polar)

{ x }

F ( s x , E n ) = { x } , F ( s x , S n ) = { x, − x } , F ( s x , P n ) = { x } ∪ P n − 1

M

⇒ F ( s x , M ) = { x }

M

A

M

A

(antipodal set)

def ⇔ ∀ x, y ∈ A, s x ( y ) = y

M

2-number

# 2 M = max {| A | | A

}

{ x, − x }

S n

# 2 S n = 2 {⟨ e 1 ⟩ , . . . , ⟨ e n +1 ⟩}

P n

# 2 P n = n + 1

Chen-Nagano (1988) 2-number

N ⊂ M

N

M

M

s x

x

γ ( t )

s x ( γ ( t )) = γ ( − t )

x ∈ N

s x

N

N

⇒ N

Riemann

Riemann

A

M

x ∈ A

A ⊂ F ( s x , M ) =

r

j =1

M j +

A ∩ M j +

M j +

# 2 M ≤

r

j =1

# 2 M j +

M

def ∀ x ∈ M, ∃ s _x

s . t . (i) s _x ◦ s _x = id , (ii) x

s _x

s _x

E ⁿ

S ⁿ

P ⁿ M

⇒ s _x

s _x ◦ s _y = s _s

( y ) ◦ s _x ( x, y ∈ M )

F ( s _x , M ) = { y ∈ M | s _x ( y ) = y }

F ( s _x , E ⁿ ) = { x } , F ( s _x , S ⁿ ) = { x, − x } , F ( s _x , P ⁿ ) = { x } ∪ P ⁿ ⁻ ¹

⇒ F ( s _x , M ) = { x }

def ⇔ ∀ x, y ∈ A, s _x ( y ) = y

# ₂ M = max {| A | | A

S ⁿ

# ₂ S ⁿ = 2 {⟨ e ₁ ⟩ , . . . , ⟨ e _n ₊₁ ⟩}

P ⁿ

# ₂ P ⁿ = n + 1

s _x

s _x ( γ ( t )) = γ ( − t )

s _x

A ⊂ F ( s _x , M ) =

^r

M _j ⁺

A ∩ M _j ⁺

M _j ⁺

# ₂ M ≤

^r

# ₂ M _j ⁺

L ₁ , L ₂

L ₁ , L ₂

| A | = # ₂ M

C P ¹ = S ²

R P ¹ = S ¹

S ¹

S ¹

G ₂ , F ₄

G ₀

G ₀

s _x ( y ) = xy ⁻ ¹ x

⇒ ∀ x, y ∈ A, x ² = y ² = e, xy = yx

Z ² × · · · × Z ²

# ₂ G = 2 ^r , r

# ₂ U ( n ) = 2 ⁿ

U (4) / {± 1 ₄ }

2 ⁵

2 ⁴

# ₂ U (4) / {± 1 ₄ } = 2 ⁵

G ₀

g ∈ G, I _g ( x ) = gxg ⁻ ¹ ( x ∈ G ) I _g