博 士 （ 理 学 ） 吉 崎 純 也
学位論文題名
Two types of local triviality for the structure ofacomplex analytic slngularfoliation
（複素解析的特異葉層構造の構造に関する二種の局所自明性）
学 位 論 文 内 容 の 要 旨
代 数幾 何学 の分 野 にお いて は空 間・写像の特異 点の研究は古くから行われて いたが、特 異葉 層構 造の 場合 の 特異 点の 研究 は 大き く遅 れを とっ て いる 。特 異点 集合 の 構造 の研究 にお いて は、 特異 点 集合 をstratiり （層 化） し、 各stratum（層）に沿った位 相的な局所 自明性（localtopologicaltrivialiり）を考えるという 手法が古くから一般的であった。本 研究 にお ける 主要 な テー マは 、こ の 手法 を特 異点 集合 の 研究 の立 ち遅 れて い る（ 複索解 析的 ）特 異葉 層構 造 の場 合に 応用 し、特異葉層構 造に特有の形の局所自明性と 合わせて、
葉 層 構 造 の 局 所 自 明 性 に 関 し て ニ つ の 観 点 か ら 考 察 を 試 み る こ と で あ る 。 Mをn次 元 複 素 多 様 体 と し 、eM 〇M（TM） をM上 の 正 則 ベ ク ト ル 場 の 芽 の 層 と す る。eMの 連接 （coherent）な 部分 層Eが積 分可 能 （integrable）のとき、EはM上の特異葉 層 構 造 （ singularfoliation） と 呼 ぱ れ る 。 Eの 特 異 点 集 合 S（ E） は S（E）＝（pEMI（eM/E）pが（〇M）p―自由ではな い）
で定義され、S（E）には以 下のように解析的集合による 自然な mtrationが考えられる。
pEMに対し、接空間弓Mの部分空間Eゆ）を E（み＝｛りMlりE耳）
で定める。―1≦七≦r（rはEの階数）なる整数たに 対して、
S（七）：伽EMldimCE（ み≦七）
とおくと、
S（r） 二 冫S（ rー1） コ S（r―2） コ … … コ S（1） コ S（o） コS（ ー1） II II II
MS（E） の
はS（E）の解析的集合 によるaltrationを与える。
任 意の 七に 対す るS(k)の（ 解析 的 集合 とし ての ）局 所 構造 につ いて 、次 の 定理が成立 する。
定理（2．5）S（た）の各 点pでの接錘面(tangent cone)をCp S(k)とすると、E(p)くCp S(k) となる。
こ の 定 理 は 、D.Cerveau氏 によ っ て示 され た定 理 の系 とし て得 られ る もの であ るが 、
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本論 文で は特 異 葉層 構造 が 既 約(reduced) な 場合 につ い て、直接的な別証明を 与えて いる 。
上 記定 理の 応 用と して 、次 の ニつ の定 理が 証明 さ れる 。
定 理(3.11)EはM‑ S(E)上r次 元 の 非 特 異 葉 層 構 造 を 定 め て い る 。 さ ら に 、S(E) 上の 各点 にお い てもrよ り低 い次 元の 積分 多 様体 が存 在し 、Aイは この よ うな 積分 多様 体
（こ れを 葉(leaf)と いう ）の 直 和(disjoint union)とな る。
定 理（4．1） ［葉 に沿 った 解 析的 局所 自明 性］Eが 既約 の とき、pをMの任意の点 とし、
pを 通るEの葉 を エゆ ）と する と 、Eの 構造はpの近傍で 工(p）に沿って（解析的な意 味で）
局所 自明 であ る 。
定 理 （ 4． 1） を 適 用 す る こ と に よ り 、 次 の 事 実 も 導 か れ る 。 命 題(4.25)Eが 既 約 な ら ぱ 、 特 異 点 集 合S(E)の 余 次 元 は2以 上 で あ る 。 こ の よう に、 特異 葉 層構 造に つい ては 、 各葉 に沿 って の解 析 的局 所自 明性 が 保証 され る 。 と こ ろ がM＝U工(p)は 一 般 に はMの 局 所 有 限 な 分 割 で は な い の で 、S(E)をM pEM
の部 分 多様 体に よっ て 局所 有限 に分 割し た とき （っ まりS(E)をstratifyした と き） 、各 stratumに 沿 っ て の 葉 層 構 造 の 自 明 性 が い つ 成 り 立 っ か と い う 問 題 が 生 ず る 。 こ の 問題 では 各stratumに 沿っ て の葉 層構 造の 自 明性 を考 える ので 、 各stratum上 で葉 の次 元 が一 定に なっ て いる こと が最 低限 必 要で ある 。本 論文 に おい ては まず 、 その よう なMのstratmcationは さ ら に強 い条 件の も とで 必ず 存在 する こ とを 次の 定理 で 証明 して い る 。
定 理 （5．4） ，注 意 （5．5）M上 の特 異葉 層構 造Eに対 して 、MのWhitneystratmcation 5で 次 の 条 件 を 満 た す も の が 存 在 す る 。
任 意 のstratumXE5は 、 あ るS（ た ） ―S（ た ー1） に 含 ま れ る 。 す な わ ち 、 各stratum上 でEの 葉 の 次 元 は 一 定 で あ る 。
そ し て 、 各stratumに 沿 っ て の 葉 層 構 造 の 自 明 性 に つ い て 、 次 の 定 理 が 得 られ る。
定 理（6．10)［stratumに沿 っ た位 相的 局所 自明 性 ］定 理（5．4）によって存在 の保証 さ れ る 「 各stratum上 で 葉 の次 元 が一 定に なっ てい る よう なstratification」 がさ らに
"foliated Verdier条 件 を満 た すな らぱ 、各stratumに沿 っ て葉層構造Eは（位相 的意味 で） 局所自明である。
foliated Verdier条件の内容 についてはここでは触れない が、簡単に言えぱ、それぞれの stratumの十分近くにある葉の方 向に関する記述である。foliated 'Verdier stratification の 存 在 に よ っ て 各stratumに沿 っ た位 相的 自明 性が 与 えら れる よう な 葉層 構造 の例 は実 際 に 見っ かっ てい るが 、 特異 葉層 構造 の場 合 は空 間や 写像 の 場合 とは 異な った 独 特な 自 明性 の形が考えられ、どんな葉 層構造に対してもfoliated Verdier stratificationがとれる とい うわけではないようなので 、foliatedv．erdier stratificationが存在しない場合の自明 性を 考察することが繰題として 残されている。
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学位論文審査の要旨 主査
副査 副査 副査 副査
教授 教授 助教授 助教授 助教授
諏 訪 立 雄 泉 屋 周 一 石 川 剛 郎 河 澄 響 矢 中 居 功
学 位 論 文 題 名
Two types of local triviality for the structure ofacomplex analytic slngularfoliation
（ 複 素 解 析 的 特 異 葉 層 構 造 の 構 造 に 関 す る 二 種 の 局 所 自 明 性 ）
代 数 幾 何 学 、 複 素 解 析 幾 何 学 の分 野に おい ては 空間 、写 像の 特異 点 の研 究は 古く から 行 われ てい た が、 これ に比 し、 葉層 構造 の特 異点 の研 究は 十分 な発展を見ていない。特異 点 集 合の 構造 の研 究に おい ては 、特 異点 集 合をstratify（層 化） し、 各stratum（層 ）に 沿 った 位相 的 な局 所自 明性 を考 える とぃ う手 法が 一般 的で あっ た。本論文においては、こ の 手法 を複 素 解析 的特 異葉 層構 造の 場合 に応 用し 、特 異葉 層構 造に特有の形の局所自明性 と 合 わ せ て 、 葉 層 構 造 の 局 所 自 明 性 に 関 し 、 二 つ の 観 点 か ら 考 察 さ れ て い る 。 ま ず 、 複 素 多 様 体 上 の 葉 層 構 造の 特異 点集 合に 対す る tangency lemma を 基礎 に、
そ の 多 様 体 の 葉 層 構 造 の 葉(leaf)へ の分 解、 各葉 に沿 って の葉 層構 造 の解 析的 局所 自明 性 が証 明さ れ てい る。 更に 、複 素解 析的 特異 葉層 構造 に関 する 基本的な事として、多様体 のWhitney stratificationで葉 層構 造と compatible"なも のが 存在 す るこ とが 示さ れて いる。
位 相的 な局 所自 明性 に関 して は上 のよ う なstratificationに対 し空 間の 場合 のVerdier の条件 を一般化した foliated Verdier condition"の概念を導入し、この条件の下での各 stratumに沿 っ た位 相的 な局 所自 明性 が証 明さ れて いる 。以 上の 結果 は これ まで 特別 な場 合に得 られていた結果を一般の場合に統一的に示したものであ る。
こ れ を 要 す る に 、 著 者 は 、 複 素多 様体 上の 葉層 構造 の特 異点 集合 の 構造 に関 する 基本 的 か つ 一 般 的 結 果 を 得 た も の で あり 、こ れら は複 素解 析的 葉層 構造 の 解明 に極 めて 有用 で、複 素解析幾何学に貢献するところ大なるものがある。
よっ て著 者 は、 北海 道大 学博 士（ 理学 ）の 学位 を授 与さ れる 資格あるものとみとめる。
