減退記憶理論による粘弾性体中の波動減衰

1

論　 文

1

UDC ：624

．

042

．

7 ：550

．

34

．

09

　 　日本建築 学会構 造系謠 文 報 告 集 第417号

・

1990年11月

Journal　of　Struct

，

　Censtr

．

　Engng

，

　AIJ

，

　No

．

417

、

　Nov

．

，

1990

減 退

記 憶

理

論

に

よ

る

_{粘 弾 性 体 中}

の

_{波 動 減 衰}

WAVE

　

ATTENUATION

　

IN

　

VISCOELAST

_工

C

　

MATERIAL

　

W

_工

TH

　

FADING

　

MEMORY

　

和

泉

正 哲

＊ ，

薛

　

松 濤

＊ ＊ ，

飛 田

　

潤

＊ ＊ ＊ ，

半

．

澤

徹 也

＊ ＊ ＊ ＊

Masanori

　

IZ

　

UMI

，

80

η

9 一

吻

X

ひ

E

，　

Jun

　

TOBITA

，　

Tetsuya

　

UANZ

　

4

　

WA

　

V

重scosity 　of　material 　is　often 　explained 　with 　the　use　of

‘

‘

dashpo

ビ

’

in　earthquake 　engineering

、

nowadays

．

　 It　

follows

　that　the　attenuation 　of　wave

』

propagation 　

in

　such 　materiai 　must 　

be

　an　ex

−

poneqtial　

function

．

　

This

　

limits

　us　to　search 　the　real　characteristic 　of　earthquake 　wave 　_propagation

because

　the　real　attenuation 　can 　not 　only 　be　an　exponentiql 正u

’

nction 　natural ｝y

．

　To　realize 　the　na

−

ture　of　earthquake 　wave

，　the　fading　rnemory 　theory　

is

　inロoduced 　in　this　

paper．

　

The

　attenuation

property　

g

　and 　theoreticaL　solution 　of　wave 　propagation　in　material 　with 　

fading

　memory _尹re　pre

−

sented

．

　

Some

　examples 　are　calculated

．

　The　memory 　functions　ofdashpot 　system 　and　creep　

lufic

．

tidn　are　also 　shown

．

　

The

　

final

　resuh 　can　

be

　noted 　as ：not　

like

　that　

in

　material 　of　

dashpot

　system

_，

to　

find

　the　dynamic　behaviQr　of ［eal 　_ground 　becomes　_poss五ble　if　memory 　function　is　

justified

　_per

・

tinentiy

．

　KegWOizts ：廊‘0θZ邵齔

，

　

fading

　memory

，

　memOTryfunction

，

9value

，

　zuave　_attenuatiOn

1．

目　 的 　地震波動は_{， 媒体}である地 盤 中で の伝 播 過 程に お い

・

て 波形の_{変 質}や振 幅の減少など を伴う が， こ の現 象は通 常 減 衰 性の概 念で説 明さ れる

。

減 衰の要 因とし てい くつ か を挙 げる こ と が で き るが

，

本 論 文で は媒 体 内 部の非 弾 性 的 性 質， 例え ば粒 子 間

相

互の摩 擦な どに起 因 するエ ネル ギ

ー

消 費に よ る振 幅の現 象にか か わ る問題 を扱う。現在

，

こ の ような非 弾 性 的 性 質に よ る 減衰につ いての硫_究が 地 震工学の_{分 野}で_も進んできて お り， 実 際の応 用に も影響 を 及 ぼ し てい る

。

例えば地 震 波 動 伝 播に伴う地 盤の減 衰 は

一

般に

Dashpot

型 の線 形 粘 弾 性 体

，

中で も最 も簡 易 な

Kelvin

型と し て扱わ れ る場 合 も 多い

。

　Dashpot _型の 構 成 則では

，

応 力 と応 力速 度およびひずみ とひずみ速 度 の定数 係 数線形 関数で表され て お り且｝

−

5 ）

_，

_{し た が} っ て

，

波 動の_時間に_対す る減衰は_， あ る特 定の関 数 形で表 現さ れ る

。

しか し

Dashpot

型は限 定さ れ た近 似 表 現であり

，

地 盤の 減 衰 を あ る

Dashpot

群と して扱うこ と は理論 的 に必ずし も妥当で は な く_， ま た結 果と し て地 震 波 動の減 衰が特 定の関 数で し か表せ な し

_．

・_こと_も

，実

_{現 象の説 明の} ために不 十 分で ある こと が考えられる。

一

方

，

他の型の 減衰を 理論的に扱 うことは

_，

地 盤 中の波 動 伝 播 問 題につ い ては従 来あ ま り試み ら れ てい ない

。

　

そこ で_本論文では

，

波動伝 播

tF

お け る減

_蕁

をよ り広い 範囲につ い て普 遍的に扱 う た めに

_，

粘 弾 性 媒 体の構 成 則 に減 退 記 憶 理 論 （

Fading

　

Mepmory

　

Theor

_￥）を

導

入 する こと を考え る6，

『

IO）

_。

・

_こ の 理論廼おいては構 成 則の粘 性 部 分が

，

ひずみ お よ びひずみ速 度の現在の値の み な らず過 去のすべ _ての_経過 に_依存する もの と され_， そ の_{性 質}は_記 憶 関 数に よっ て記 述され る

。

減 退 記 憶 理 論は

，Dashpot

群によ る線 形 粘 弾 性 体の扱し_〕を特

_別

な場 合と し て含み

，

また_線形の範 囲に限っ て も表 現できる特 性は より広い。 さ ら に今 後の非 線 形へ の拡 張の可 能 性や

，

運続 体 力 学の 体 系に従っ た概 念である とい う点からも優れて いる と考 え ら れ る。

　

粘 弾 性 体の 減 退 記憶理 論の概 念は1955年ご ろ

Trus−

dell

’i により発 表さ れ

，．

現 在まで に多く の研究が な され て いる。 Eringen？ j_は1956 年に

，

　Dashpot _型の粘 弾 性 体 が減 退 記 憶 を 用い るこ と により表 現で き るこ とを 証 明 し

，

Fillipovs［ は 1983年に等 方 体の 普 遍 的な構 成 則を 示 し

，

さ らに Cristensent一 は Fi皿ite　Linearの構 成 則を 導い て

，

そ の応用 も 示 し た

。

そ れ ら を う けて筆 者 ら は 1989年に減退記 憶を持つ粘 弾 性 体の 最も普遍的な構成 則を提 案し た9 ｝

・

10 ）

。

減退記 憶を用い た材 料に お ける波動 伝 播につ い て は

，

Singular　Surface_{を 用}い た研 究が行わ 　 寧 _{東 北 大 学 　 教授}

・

_{工 博} 　“ _{東 北大学　大学院 生} 1＊＊ _{東 北 大 学 　 助手}

・

_工博 勅 讐 東 北 大 学　大学 院 生

Professor

，

，

Tohoku　UniΨ

．

，

Dr

．

　

Eng．

Graduate　Student　Qf　Tohoku　Univ

．

Research　Assoc

，

，

Tohoku 　Univ

．

，

Dr

．

Eng

．

Graduate　Student　of　Tohuku 　Univ

．

れてい るが】2）

・

13）

，

これ らは工 学 的 応 用に関して は必 ずし も有 効ではな く， こ こ で の 目標とな る波 動 伝 播による減 衰につ い て は_， 媒 質の特 性 を表 現で きるよ うな

一

般 的な 形で は ほとんどな さ れて い ない。 　本 論 文で は

，

地盤にお け る 地震波動伝播に伴う減衰を よ り正 確に表 現 すること を念 頭におい て

，

減 退 記 憶理論 に よる粘 弾 性 体 中の波 動 減衰の

一

般的な表現を新た に導 出し

，

さ ら に

Q

_値な ど を求め ることに よっ てその応用 を 図ること を 目 的とする。 まず第

2

節では減 退 記 憶の概 念 を説 明し

，

減 退 記 憶 理 論による粘 弾 性 体 中を伝 播す る 波 動 方 程 式を導 出す る

。

こ れ を他の研究と 比較する た め に

，

Dashpot 型 媒 体の記 憶 関数を 求 め

，

ま た記 憶 関 数と

Creep

関 数の関 係 も示す。 第

3

節で は， 地震 波を取 り扱 う際に_{重 要}とな る

Q

_値を記憶 関 数を 用 いて表現 す る

。

ま た第

2

節で導出し た波動方程式の理論 解を周波 数 領域 で_導出し， い くつ かの計算例 も 含め て， 波 動 減 衰 特性を 記 憶 関 数との関 係で考 察する

。

以 上の検 討に より

，

記 憶 関数 を適切に設 定する ことによっ て さま ざ まな減 衰 特 性 を表 現で き ること を実 際に示し， 結 論 とし て

，

こ の扱い が波 動 伝播にお け る減衰をよ り正 確に説 明するための基 礎と な るこ と を述べ _ている。

2．

減 退 記憶理論と波動方程式 2

．

1 減 退 記 憶の基 礎 　記 憶の定理 は次の と お り で あ る6，

・

71

_。

_{現 時 点に近く な} い過去の 構 成 変 数が 現時 点の構 成 変 数にあまり影 響を与 え ない （

Axiom

　of　

Memory ．

　

The

　values 　of　thecon

−

stitutive 　variables 　at　distant　past　from　the　present　

do

not affectapPreciably thevalues oftheconstitutive

functions

．

）。 言い 換え れ ば

，

物 体 中の あ る点の応 力は ひ_ずみの_現時点の_値に_{依 存}する だけで は な く て_， 過 去の 全 部の値に依存す る

。

　粘弾性 体の構成則に 関 する記憶理 論につ い て は

，

お お む ね以 下の 二 つ に_分け ること が で きる

。

す なわ ち， 記 憶 関 数が構成 変 数の過去の値に関し て十 分

Smooth

であ り_， Taylor展 開に より表 現す る こ と が可能で あ る と す る

Smooth

記 憶 理 論 （

Smooth

　

Memory

　

Theory

_｝と，

こ の ようなTaylor　

R

_開がで きず

，

記憶の 過去の値の

精

分 に より構成則が表 現さ れ る と す る減退 記憶理論

（

Fading

　

Memory

　

Theory

）で あ る

。

本 論 文で は減退記 憶 理 論 を用い る

。

　減 退 記 憶を持つ _{材 料}の構 成 則につ い ては さ まざま な

H

究が行わ れて いる6｝

−

11）

_。

_{本 論文で は そ}の特 殊 な 場 合つ ま り線 形 減 退 記 憶を持つ _粘弾性体を対象と して考 慮し， そ の構 成 則に基づい て以 下の展 開 を行 う。 等 方 体の線 形 搆 成 則は

，

テン ソ ル記 号を用い て

，

次 式と な る

。

　 　 　 σnt

＝

X。ε，，δnt＋2μ。εht

一

₁₀₂

一

　

　　

　

　

・

∫

1

［

・v（t

−

・） ∂ε

壽

8）・・、t

　

　　

　

　

・2_。v（ 　　　　∂εkt（s） t

−

s） 　　　　　 ∂s

］

ds ・

・

…………

（・

．

11 　こ こ で物 体が初 期 自 由 状態 と 仮 定 す る

。t

は時間

，

atel は応 力テン ソ ル

，

εκt微 小ひずみ テン ソ ル ， λe とPte は ラ

ー

メ定 数である。 λv（t）とμv（t）は記 憶 関 数であり

，

次のよ うな条 件を満足 し な け ればな ら ない

。

　 　 　λv（

t

）

＝

iμv （t）

＝0，

　

t

＜

0

　　　1im

　_vv（

t

_）

＝

lim

　_”v

O

_）

＝

0

……・

・

…・

・

……・

…

〔

2．

2 ） 　 　 　 t

“

de 　 　 　 t

噂

m 微 小ひずみ テ ン ソ ル Eltlと変 位ベ _{ク ト}ル Uh との関 係は 次の よ うにな る。

　　　

e，、t−

e

（u。 t＋細

・

・

・

…一 ・

・

………・

…・

1：2

・

3） こ こに， ‘は座標

X

置に対す る微 分 を表す （カ ンマ規 則 ）。 す な わ ち 砺 8＝ ∂Ut／∂_xt平 衡 方 程 式は次の ように表さ れ る。

’

　　　

σ titt十 ρ（丿 

一

α斥）

＝

o

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

777

・

・

一

・

・

…

　

『

『

鹽

一

〔2

、

4 ） p は密 度

，

五 は物 体 力

，

ak は加速度で あ る

。

こ こで は 波 動 伝 播 を考え るの で

，

物 体 力

f

，；　

O

と す る

。

（2

．

1）

，

（2

．

3 ）式 を （2

．

4）式に代 入し て

，

線 形波 動方程式は次 の ように表 される

。

　　 　〔λ

ε

_{十 μ}

ε

）Ut

_，

洗十μeUht ‘

　

　　

　

＋

1

：

｛

_［Av（t

−

s_）＋μv（

t−

s）］

暴

_「（UL ・S）

　

　

　

　

・絢 （卜 ・）

譱圃

d

・一 _・

籍

　 　 　 　

・

・

・

・

…

　

『

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

…

　

−tt−・

tt…

　

t

（2

．

5） 　次節か ら は

，

簡 単のた めに

，一

次 元 波 動の う ちの縦 波 を考え る

。

この場合の構 成 則と波 動 方 程 式は以 下の 2式 に な る

。

　

　　

・ω

一

・・ω・

f

二

m （

t−

・） ∂

599

S・｝_・・

一

_{（・ ・）}

　

　

　

A

箒

・

∫二

m _（・

−

s_） ∂

藷

d

・ 一 _・

器

　 　 　 　

・

・

・

・

…

　

一・

一・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

…

　（2

．

7） こ こ に_， 弾 性 係 数　

A ＝h

＋2_μ

．

　　 　　記 憶 関 数 m （

t

）

＝

λ。（

t

｝＋2Pv （

t

｝ 2

．

2Dashpot 型の粘 弾 性 体お よび

Creep

関 数 を 持つ 粘 弾 性 体の記 憶 関数 　 本 項で は比 較の た めに

，

従 来 地 震 学に よく用い ら れる

Dashp

。t型の粘弾性体の構成 則に対応 す る記 憶 関 数を導 く

。

ま た多くの分野に_関連 す る ク リ

ー

プ関 数と記 憶 関 数 との関 係につ いて も示す

。

　

一

般 的な

Dashpot

型 線 形 粘 弾 性 体の構 成 則は次の よ う に表 現さ れ る。

　

　

　

菖

綜

一

禽

聯

・

・

・

……・

777

−

……

_（・

．

・） こ こ に _{， Pk} とqhが spring と

dashpot

に関す る定 数で

ある

。

特 別な場合と して

，Kelvin

型 （

Voigt

型）は m

＝O

， n

＝

1， 標 準 型 （3要 素 型， 3

−Element

　

Type

｝は

m

＝

n

＝

1で表される

。

　 （2

．

8） 式の両辺 をフ

ー

リエ _{変 換}す る （以 後

，

小 文 字が 時 間 領 域にお け る関 数を表し

，

そ の大 文 字がフ

ー

リエ _変 換 後の周 波 数 領 域に お け る関 数で あ る）。　 　

幽・



_．

　 　 　 m　 　　 　　 　 　　 　　 　 　　 　　 　 　　 　　n

　　　

Σ P

。

_岡

κ Σ

 

一 _{Σ σ} 。伽 ） ’t　E _〔 ω） 　 　 　 k

＝

O　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　k

＝

O し た がっ て

，

　 　 　 n 　　 　　　 　 Σ q，，（‘ω）k

　　　

Σ （ω）

一

￥

’

　

E （ω）

………・

……一

（2

．

9） 　　 　　　 　 Σ P陀（Lω） h 　 　 　 iCnO　

」

こ れ を 逆フ

ー

リエ 変 換 す る

1

と

，

時 間 領 域に お け る 構 成 方 程 式は次の よ う に求め ら れ る。 　 　 　 n ・ ・

峠

慮

ii

｝

li

；

・（・・

’

・…

dw

　 　 　 魔

＝

o こ の σ（t）は

，

記憶関 数 m （t）が次の逆フ

ー

リエ 変換で 与え ら れ れば

，

（

2．

6 ）

．

式で表さ れ る

。

　 　 　 れ

　

　

　

・ ・

嵶

：

［

諜

1

調

品 　 　 　 k

＝

0 　　 　　　 　　　 　　

…・

……・

………・

…………

（2

，

10 ） 　 地 盤の構 成モデル

・

として通 常

Kelvin

固 体が よ く用い られ るIL21

。一

方

，

　 Aki2）と ファ ン13）に よ り

，

・

地 盤の モデ ル とし て標 準 型 粘 弾 性 体が検討 さ れて い る

。

ま た M

．

，

Ωaiser“）_{は さ まざま な}

Dashpot

_{型の粘弾性体につ いてΩ} 値を求め

，

その 中では標準型粘弾性 体が地 盤の性 質 を 最 も 良 く表現 すると して い る

。

後の比 較の ために

Dashpot

型の特 別な例と し？， 標 準 型 粘 弾

性

体と Kelvin固 体の 記 憶 関 数 を求あて み る。 　 標 準 型 粘 弾 性 体の構 成 則は次式で表さ れ る。

・

　　

　

・＋pS

／

− Mn

（

・＋q

’

St

／

）

一 ………・

…・

（・

・

11

） こ こ に_， M，は定 数で ある

。

もし

p ＝

0であ れ ば

，

（2

．

11＞ 式は

Kelvin

型 粘 弾 性 体の構 成 則に な る3 ｝。

　

記 憶 関 数 m （t｝は次式で与え ら

．

れ る

，

齟

　

　

　

m （・）

一

岩∫

：

₁

_鴇

砥 ・砌 冠・

・

・

……・

（…

2

） こ れ を計 算し て以 下の よ う に求め ら れ る。

・

P≠ ・・場合 m （

t

＞」

_鴫

一1

_）

_e

−

t／ρ

U

_（

t

_）

…

_（・

・

13_） 　こ こ に_，

U

（

t

）は step 関 数 　 P

＝

0の場 合 （kelvin固体 ） 　 　　m （t）

＝

M，（Tδ（t）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…「

・

…

　（

2．

14 ）

　

こ こ に

，

δ（t）は デル タ関 数 （イン パ ル

_、

ス ）

_．

_、

一

_方

_，

_{ク リ}

ー

_{プ関 数 φを用い た次の よ う な 粘弾性体}の 構成式が

，

地震 学お よび力学の分野で はよ く 用い られ る

。

　

　　

Mv

・（・）一 ・（・）・

f

二

・ 〔・）

鳴

夛

τ） ・・

…

（・

．

15） 　　 　　φ

＝O

　 　　

t

〈

O

　　 　　

t／

’

F 両辺 をフ

ー

リ

t

変 換す ると　

／

t

　　　

M，E （ω〉

；

Σ （ω）＋ iω φ〔ω）Σ

1

山

）

・

……・

…・

伽

6 ） これより周 波 数 領 域における応 力の解 を求め

，

それ を逆 フ

ー

リエ _{変 換}すると

，

減 退 記 憶 理 論の構 成 方 程 式に な る

。

そ れを （2

．

6） 式 と比 較すると以 下の閧係が得られ る

。

　 弾 性 定 数 　A

＝

Mu

・

∴

…・

…・

……・

…・

…

：

・

・

……・

・

（2

、

17） ・・蠍 … ）

一一

_，’ 。

∠

：

1

轜

1

篇

陶 ・ 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

…

　t

’

・

・

∵

・

・

・

・

・

…

　（2

．

18＞

　

線 形 粘 弾 性 理 論に_わいて ク_リ

ー

プ関数に対 応す る概 念 であ る緩 和 関 数は， 線 形の場合の記 憶 関 数 と本 質 的に は

一

_{致す る が} ， 弾 性 部

芬

と粘性部 分に分 離して表 現で き な い

。

3．

波 動 減 衰の特 徴 量 3

．

l

　

Q

｛直

　　　　　　　

．

　　　　　　

’

　　　　．

　　　　 ，

　本 項で は

，

従 来 波動の減衰を考慮する_際に重要な量 と さ れて いる

Q

値につ いて考 察す る

。

　

連 続 体 力学の分 野で

，

減 退

記

憶 理 論におい て次の よ う な二 _種の記 憶 関 数が提 案さ れて いる6L7 ＋ o lftF型の 記憶 関 数 　 　 　 M， 　　 　　　 　　　 　　 　　p＞0　0≦t≦ T

− ・

’

（3

．

1

〕 　 　 　m （t＞

＝

　　 　　　 　 （a十

t

_）P十

b

　　　　　　　 Si

指 数 型の記 憶関数

　　　

m （

t

）； MRe

−

c［t＋ ω／bP

　

p＞0



0≦ t≦T

・

∵

・

（3

．

2） 　そ の う ちM，

，

α

，

b

，

　

p

は定 数で ある

。

　 前 項に より

，

標 準 型 粘 弾 性 体の_{記 憶 関 数}は

，

指 数 型の 特 別な場 合で あ る。 本 論 文で扱っ てき た粘 弾 性 体の構 成 則 （

一

次元）は

，

次の よ うに書け る （

 

6

）式再 掲 ）。

　

　　

・飼 ・｛・）・

f

二

m 〈t

−

・）∂

お

撃

）・・

一

（・

・

3） 両 辺をフ

ー

リエ_積分す る と 　 　 　 ∂s

　　　　 ；

AE 〔ω）＋

it

。

E

（ω）

M

（ω）

……

L

………

（3

．

4） こ れ よ り複 素コ ンブラ イ アン ス

G

（ω）は次の ように導 出 さ れ る3） 。　 　 　

・

』

「「

　 　 　 　E （ω）　 　 　 1 Σ ω 一

AE

（_{q ）}・

∫

二

か

（t

−

・）

G

ω

＝

Σω

＝

A＋ ‘ωM ω ∂

k

（8）

_{dse −}

…

dt

　 　 　

＝GI

（ω）十iG2（ω）

…・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…一

・

・

…

（

3．

5） 展 開の_便利の た めに

M

（ω）の実 部と虚 部 を分けて考 慮す 駕 　 　 　 　

’

　 　 　 … 　　 　

M

（ω）

＝Mi

（ω）＋ iM，（ω）

・

………一 ・

………

（3

．

6＞ コ ン プレッ クス モ ジュ ラ ス Ψ（ω）は次の よ うに表さ れ るMl

。

一

₁₀₃

一

　　

　

1・（・）

一

、

1

。）

−

A＋

i

・M （・） 　 　 　 　 　

＝

A

一

ωM：（ω〉十

i

ω

Mi

（ω）

・

………・

…・

（3

．

7） 　 　　

lV

（t・｝

1

＝

1

［A

一

ω

M

，（ω）］’＋［ω

Mi

（ω）］2｝1f2

…

（3

．

8

｝ 　最 後に

，

地 震 波 動の分 野でよ く 用い る内 部 摩 擦い わ ゆ る

Q

値は次の よ う に な る

。

　

　

　

5

−

ew

，

M

。

li

：

’ 。、

・

…・

一 ・

・

一 ・

・

…………

_・・_… こ こ で_，

Q

値に関す る計 算 例を示す。 　標 準 型 粘 弾 性 体の場 合で は

　

　

　

毒

一

鴇器

…・

・

…・

……・

・

・

・

……・

………

_{（3… ）} 　Kelvin 固 体の場 合で は

　　　

1／

Q

＝ q_ω

……・

………・

・

………・

・

（3

，

11 ） こ こ で

，M

，

＝A

の性 質を使 用し た。

3．

2　 波 動の減 衰 　簡 単の た め に係 数を次式の よ うに書き換え る

。

　　　

C

：−

4

， m 。（

t−

、）

．

．

．

ZI

｝（

t−

s）

．

．

………

_（

_3．

_・2） 　 　 　 ρ　 　 　 　P

C

。は通常の線形弾性体にお ける波 動 伝 播 速 度であ る。 する と波 動 方 程 式は_次式と な る

。

　

　

　

・・

｛

穿

・

f

二

祕 ・・

藷

・・

一

籌

　 　　 　 　　 　 　 　

一 …………・

…・

…………

（3

．

13_） 両辺をフ

ー

リエ _{変 換し}て周 波 数 領 域にお け る波動方 程 式 を得る

。

　　

　

［

C

：・・

i

・

M

・（・）］ ∂

釜

ω

L

伽ア・（・）

……

（・

・

14＞ （3

．

14）式はx の _{常 微 分 方 程 式}で あっ て_， 次 式の よ う に 変 形して_考え ること が で き る

。

∂

器

ω

L

・（・ア・（・・

………

…

　（

3．

15

） こ こ ・

B

｛・）… 、

譱洗

〔。）

…・

……一 ……

_（

_3・

・

6

） その

一

般 解は_， 　 　 　

U

（ω）

＝

Cle

’

atU 「c_＋C ，ea ωm と なる

。

こ の う ち第 1項が進 行 波

，

第 2項が逆 行 波と考 えら れ

，

こ こで は次 式の進 行 波 を表 示 する。 　 　 　

U

（ω）＝ ・

Cle

−

awm

・

一 …・

………・

……一 …

（3

．

玖） 上 式の B （ω）は媒 体の波 動 伝 播の性 質に対応 し

，

記憶関 数に基づい て定ま る。 　図

一

1

〜

5は

，

異な る 5種 類の記 憶 関 数 （各 図の （

A

）） か ら 求 め ら れ る

Q

値 （各図の （

B

｝）と_{波 動}の減 衰包絡 線 （各図の （

C

）） を 示し てい る。 これ らの図から

，

以 下の こ とが言え る。 1） 例え ば

Liu

らは

_，

地 盤にお け る

Q

一

ω 関 係を実デ

ー

タ か ら導 出してお りz）

，

その _{結 果}は 1／

Q

の値が10

−

4

〜

loiHz

の範囲で平 坦な値を持ち

，

低 周 波 数と高 周 波 数で 小さ く なっ て い る。 ま た実 際の地 震に お け る

Q

値の 測

一 104一

定 結 果 も

，

多く は高 周 波 数ほ ど

1

／

Q

が小さ く な る結果 となっ て い る15｝

。一

方

，

よ く使わ れている

Kelvin

固体は

，

図

一

2や 式

．

〔3

．

1

’

1）か ら わ か る よ うに 1／

Q

が 周波 数に 対し て比例関係に あ り，実現象 を十 分 表 現し得て いない。

2

） 粘 弾性 体を記 憶 関 数で定 義する ことに より

，

Dash

−

pot型の制 限 を受けずによ り多 様な性 質を表 現で き

，

こ れ を変え ること に よ り， 異な る周 波 数 依 存 性 を 持っ た

Q

値が求め ら れ る

。

し たがっ て逆に， 実 地 盤の

Q

値を な ん ら かの方 法 で 測定で きれ ば

，

その減 衰 特 性 をより正 確に表 現でき る記憶関 数を検討で き， 地 震 波 動 伝 播に伴 う減 衰 をよ り適 切に評 価で きる可 能 性がある

。

　実 際の地 震に おける

Q

値の測 定は さまざまな方 法が 行われ てい るが， 方 法に よ り得ら れる

Q

値の原 因が異 な る など

，

必ず しも明 解で は ない14 ｝。 意 味を検 討し た 上 で本 論で の理 論を適用す るこ と が今後の重要な課 題と な ろ う。

4，

結 　 論 　粘弾性 媒体中を伝播する_波動の減衰 問題 を， 減退記憶 理論を導入 し て扱い_， 記 憶 関 数によ り減 衰に_関係す る諸 性質を表現 し た

。

これ に よ

rp

　i 従 来 多 用され た

Dashpot

型の構 成 則に比べ _{て広い範囲}の減衰 特性を解析 的に_表現 すること が可 能に な り

，一

方， 逆に

Q

値 等の実 際の減 衰 特 性を与え れ ば

，

そ れ を最も よ く表現す る記憶関 数の 形 状を検 討で き る。 し た がっ て実際の地 盤中に お け る 地 震 波動伝播の減 衰 特 性 を， よ り正 確に説 明す る た めの基 礎を与え得た と考え てい る

。

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6

00

時 間 10 0

。

3 0 　

0

_{周 波 数} 図

一

1 1

_。

5 　 O

l ．0

　 　

・

O 　 　 　 　 周 波 数 30 1

。

5 0 　

−

1

」

3

？

1

］

一

］

i ．

°

」

O　 　 　 l00 図

一

2 1

．

5 　 0 0

．

2　 　 0 30 0

。

4 0 　0

．

0

。

2

　 　OlO 　 　 O 1

．

5 　 　 Ol 　 　 　O 30 図

一

3 0

。

6 00 0

．

　 　OlO 　 　

O

1 ．

5 　 　 01 　 　 0 30 図

一

4 0

．

6 0 　0 0

。

3 　 　

02

　 　 0 ユ

．

5 　 　 02 　 　 0 30 図

一

5

一 105一

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一

₁₀₆

一