二相 混 合体 内の波 動伝播 に基 づ く海底地盤 の波浪応答 の理論解
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(2) 1022. 海. p,φs,φw,ψs,ψwが は,自. 岸. 工. 学. 論. 文. 集. 第43巻(1996) な お,d1,d2,d3は. 以 下 の 式 を 満 足 す る 時,式(3). 以 下 の 通 りで あ り,. 動 的 に 満 た さ れ る こ と に な る.. (10). (11) (12) ま た,ρe,μ,mは,そ. れ ぞ れ 次 の よ う に 表 さ れ る.. (4) (13) (14) (15). (5) こ こで,ρeは,海 こ こで,p,φs,φwに. 対 す る方 程 式 系(4)と,ψs,ψw. に対 す る方 程 式 系(5)は,互. μ,mは. い に分 離 さ れ た 形 で 表 さ. 底 地 盤 の混 合 体 と して の密 度 で あ り,. 無 次 元 のパ ラ メ ー タ とな る.ま た,ξ1,ξ2に 対 応. した 波 動 は,Biot(1956)の. 示 した2種 類 の膨 張 波 に対 応. れ て お り,前 者 が 海 底 地 盤 内 の 膨 張 波 に対 す る方 程 式 系,. して お り,以 下 で は,こ れ らを そ れ ぞれ 第1,第2の. 後 者 が せ ん 断 波 に対 す る方程 式 系 とな っ て い る.. 張 波 と呼 ぶ こ とに す る.. 2.2境. 以 下 で は,x‑z面 にx軸,鉛. 3.2せ. 界 条 件 内 の平 面 ひ ず み 問 題 を考 え,水 平 方 向. 直 下 向 き にz軸. を取 る.x軸. の 正 の 方 向 に進. 膨. ん 断 波 に対 す る特 性 方 程 式. 3.1節 と同 様 に ベ ク トル ポ テ ン シ ャル の 解 に も調 和 振 動 的 な形 を仮 定 す る.. 行 す る波 浪 と厚 さ が半 無 限 大 の 地 盤 を考 え,地 盤 の表 面. (16). と無 限 下 方 で 次 の よ うな 境 界 条 件 を課 す.. な お,平 面 ひず み 問題 で は,ψs,ψwはy成. (6) な お,us=(us,ws)で. あ り,σzz,τzxは そ れ ぞ れ,鉛 直 有. 効 応 力 お よ びせ ん 断 応 力 を表 す.ま. た,地 盤 表 面 で の 間. 隙 水 圧 の変 動 振 幅p0は 微 小 振 幅 波 理 論 を用 い て 求 め る. 3.理. 論解の誘導. 3.1膨. 張 波 に対 す る特 性 方 程 式. 境 界 条 件 が 時 間 お よ び空 間(x方. 分 の み有 効 と. な る の でy成 分 の み を 示 して い る. これ ら を式(5)に. 代 入 し,得. られ た 式 が 非 自明 な解. を持 つ とい う条 件 か ら,η に対 す る特 性 方 程 式 が1次 代 数 方程 式 とし て導 か れ,そ. の. の解 が 次 の よ う に求 め られ. る.. (17) た だ し,η. 向)に 関 して 周 期 的. で あ る の で,間 隙 水 圧 とス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル の 任 意 点. 3.3係 3.1,3.2節. は 虚 数 部 が 正 の も の を 選 ぶ も の と す る. 数間の関係式 の結 果 と無 限 下 方 で の境 界 条 件 を考 慮 す る. と,p,φs,φw,ψsy,ψwyは. で の解 に も調 和 振 動 的 な形 を仮 定 す る.. 次 の よ う に 表 さ れ る.. (7) これ ら を式(4)に. 代 入 し,得 られ た式 が非 自明 な 解 を. 持 つ とい う条 件 か ら,ξ に対 す る特 性 方程 式 が2次 数 方程 式 と して 導 か れ る.こ れ を解 い て,2組. の代. (18). の複素解. ± ξ1,± ξ2を求 め る と次 の よ う に な る.. こ こで,各 項 の 係 数 は独 立 で はな く,式(4)お. よ び(5). を満 た す とい う条 件 か ら,次 の 関 係 式 が得 られ る.. (8) (19). (9) た だ し,ξ1,ξ2は. 虚 数 部 が 正 の も の を 選 ぶ も の と す る.. た だ し,Γjお よびΛjは 次 式 で 表 さ れ る..
(3) 二相混合体内の波動伝播 に基づ く海底地盤 の波浪応答の理論解 こ こで,us,wsの. 1023. 第1項,第2項. 2の 膨 張 波 に,第3項. が そ れ ぞ れ 第1,第. が せ ん断 波 に よ る変 位 に対 応 して. い る.ま た,変 位 の式 をHookeの. 法 則 に代 入 す る こ とに. よ り,有 効 応 力 も容 易 に算 出す る こ とが で き る. 4.理. 論 解 に対 す る考 察. 4.1膨. 張 波 お よび せ ん断 波 の 鉛 直 方 向 の伝 達 特 性. 海 底 地 盤 の 波 浪 応 答 に お け る 代 表 的 な 諸 元 を用 い る. (20). と,. 次 に,地 盤 表 面 で の境 界 条 件 か ら以 下 の 式 が 導 か れ る.. (26) とな るの で,μ の1次 以 上 の 項 が1に 対 し て無 視 で き る. (21). と して,式(8)お. よ び(17)を. 簡 略化 す る と,ξ1,η は. 次 の よ う に表 せ る. こ こで,Fiは. 次 式 で 定 義 され る.. (27) (22) 3.4理. た だ し,ε お よび δは,次 式 で 定 義 され る.. 論解の誘 導. 式(21)をS1,S2に. つ い て 解 き,そ の結 果 を式(19). (28). に代 入 す る と,海 底 地 盤 の 波 浪 応 答 に対 す る動 的 な理 論 解 と して 次 式 が 得 られ る. εは(nG/β)お よび νの 関 数 で あ り,図‑1に. 示 す よ う に,. 0≦ ε≦0.5の 範 囲 内 で 変 化 す る. こ こで,水 面 波 の位 相 速 度 をCwと. し,ま た,海 底 地 盤. 内 の 土 相 と水 相 が 一 体 とな っ て運 動 す る場 合 の せ ん 断 波 の 位 相 速 度 をCsと. す る と,. (29) で あ り,こ し て,次. れ ら を 用 い る と,δ. はCwとCsの. 比 の2乗. (23) た だ し,J,Mは. 次 式 で 定 義 さ れ る.. 間 隙 水 圧 の変 動 は,第1,第2の で 表 現 さ れ,第1項,第2項. (30) 微 小 振 幅 波 理 論 に基 づ き,水 深hお. (24) 膨 張 波 の重 ね 合 わ せ. が そ れ ぞれ 第1,第2の. の 変 化 を,水 面 波 の 周 期Tを 結 果 を 図‑2お. よ びCsに. よ び3に 示 す.な お,図‑2で. 100(m/s)に,図‑3で. は,hは50(m)に. 膨. ラ メー タMの み で 決 定 さ れ る.な お,間 隙 水 圧 の 変 動 は,. を式(2)に. テ ン シ ャル φs,ψsy. 代 入 す る こ とに よ り求 め ら れ,2つ. の膨張. 波 とせ ん断 波 の 重 ね 合 わ せ と して 次 の よ うに表 され る.. (25). 図‑1ε. 対す るδ. パ ラメ ー タ と して計 算 し た. 張 波 に対 応 して い る.ま た,両 者 の 係 数 比 は,無 次 元 パ. せ ん 断 波 に は よ らな い. 一方 ,土 粒 子 骨 格 の 変 位us,wsは,ポ. と. の よ う に 表 せ る.. のν に対 す る変 化. は,Csは. それぞれ固定 し.
(4) 1024. 海. 岸. 工. 学. 論. 文. 集. 第43巻(1996) とな る.ξ2は 複 素 数 に な るの で,第2の. 膨 張 波 はz方 向. に減 衰 と位 相遅 れ を伴 い な が ら伝 播 す る.ま た,一 般 に,. (34) とな り,第2の. 膨 張 波 の減 衰 は,第1の. 膨 張 波 お よび せ. ん 断波 に 比 べ て か な り急 激 な もの とな る. 4.2係. 数 間 の 関係 式. 3.3節 で 求 め た 係 数 間 の 関係 式 を μ≪1の 条 件 下 で 近 似 す る と以 下 の 式 が得 られ る.. (35) 図‑2δ. のhに 対 す る 変 化. こ の 時,式(19)よ. り,. (36) で あ り,第1の. 膨 張 波 とせ ん断 波 に 関 連 した 部 分 で は,. 土 粒 子 骨 格 変 位usと. 間 隙水 変 位uwは. 等 し くな る.つ ま. り,土 粒 子 骨 格 と間 隙 水 の相 対 運 動 は,第2の よ っ て の み生 じ,第1の 4.3準. 静 的 解 との 比 較. 次 に,今 (1978)の. 回 得 られ た 動 的 な 理 論 解 とYamamotoら 準 静 的 な 理 論 解 との 関 係 を検 討 す る.. まず,3.1お 図‑3δ. のCsに. 膨 張波 に. 膨 張 波 とせ ん 断 波 に は よ らな い.. よ び3.2節 で得 られ た 波 動 の特 性 に 関 して. は次 の こ とが い え る.準 静 的解 で の 間 隙 水 圧 お よび 土 粒. 対 す る変 化. 子 骨 格 変 位 の 各 項 の 指 数 部 分 は,第1の て 計 算 を行 っ て い る.こ れ らの 図 よ り,Cs>100(m/s)の. 波 に対 して は,式(31)で. 条 件 下 で は,δ≪1と な るが,Cs<100(m/s)と. 応 し,ま た,第2の. な る よ うな. 膨 張波 とせ ん断. δ→0の 極 限 を とっ た もの に対. 膨 張 波 に対 して は式(33)に. て い る.従. 見 せ る こ と,ま た,微 小 振 幅 波 理 論 の 分 散 関 係 に従 う場. せ ん 断 波 に対 して,波 動 の 減 衰 を過 大 に評 価 して い る こ. 合 に は,水 面 波 の 周 期Tが 小 さ くな る ほ ど δの値 は小 さ. とに な る.通 常 の 場 合 に は,δ は1に 対 して 十 分 小 さ な値. くな る こ とが 分 か る.. を取 り,そ の 影 響 も小 さ い と考 え られ る が,大 河 川 の河. こ こで,1に. って,準 静 的解 に お い て は,第1の. 対応 し. 軟 弱 地 盤 に対 して は,δ はCsの 減 少 に伴 い急 激 な上 昇 を. 膨 張波 と. 対 し て δの2次 以 上 の 項 が 無 視 で き る よ. 口周 辺 で 見 られ る よ うな 未 圧 密 軟 弱 地 盤 の 波 浪 安 定 性 を. うな場 合 を考 え る と,ξ1,η は 次 の よ う に簡 略 化 さ れ る.. 考 え る場 合 に は,δ は1に 対 して無 視 で き な い大 き さ と. (31) ξ1,ηは,と も に準 虚 数 とな る の で,こ の近 似 の も とで は,第1の. 膨 張 波 お よ び せ ん 断 波 は,鉛 直 方 向 に 無 限 大. の位 相 速 度 で 伝 播 す る こ とに な る.ま た,振 幅 がe‑1倍 と. な り,慣 性 項 を含 ん だ 動 的 な 解 析 が 必 要 とな る. 次 に,各 項 の 係 数 部 分 に つ い て の 比 較 を行 う.μ の1次 以 上 の 項 お よ び δの2次. 以 上 の項 を1に 対 し て 無 視 す. る近 似 を行 う と,間 隙 水 圧 の 表 示 式(23)中. (37) (32). とな り,水 面 波 の波 数aと の場 合,第1の. 次の. よ う に な り,. な る距 離 を減 衰 の代 表 長 さLと 定 義 す る と,. な お,今. のMは. δに依 存 す る こ とが 分 か る.. 膨 張 波 とせ ん 断 波 の 位 相 ・減 衰. 特性 は,透 水 係 数 の影 響 を受 け な い. 一方 ,第2の 膨 張 波 に つ い て,μ≪1の 近 似 を行 う と,. (33). δに関 連 した項 は互 い に キ ャ ンセ ル す る.つ ま り,間 隙 水 圧 の 各 項 の係 数 部 分 に対 し て は,δ は,2次. 以 上 の影 響 し. か もた な い. こ こで,式(37)を 1項,第2項. さ らに変 形 す る と,間 隙水 圧 の 第. の係 数部 分 が,Yamamotoら. の準 静 的 解 と. 完 全 に一 致 す る こ と を示 す こ とが で き る.た だ し,本 論 で は,x軸. の 正 方 向 の 進 行 波 を扱 って い る の に 対 し,.
(5) 二相混合体内の波動伝播 に基づ く海底地盤 の波浪応答 の理論解 Yamamotoら(1978)は,x軸. の負 方 向 の 進 行 波 を対 象. と して い る こ とを考 慮 す る必 要 が あ る .. な 地 盤 に お い て有 効 で あ る こ とを 示 して い る.こ の指 摘 の うち,地 盤 の透 水 性 に関 した 部 分 は μに,地 盤 の 剛性. 次 に,土 粒 子 骨 格 変 位 に対 して 同 様 の近 似 を行 う と, usの 係 数 部 分 は,式(38)に. 1025. 示 す よ う に,δ の1次. の項. に 関 した 部 分 は δに,そ れ ぞ れ 関連 した もの で あ る.ま た,Sakaiら(1988)は,Meiら(1981)の. 境界領域近 似. が 残 る形 と な る.こ れ よ り,間 隙 水 圧 よ り も土 粒 子 骨 格. 解 を拡 張 し て,慣 性 項 の 影 響 を検 討 し,海 底 面 の圧 力 波. 変 位 の 方 が,慣 性 項 の影 響 を よ り強 く受 け る こ とが 分 か. 形 が 前 傾 し切 り立 っ た 形 を持 つ 場 合 に は,動 的 な解 が 必. る.. 要 とな る可 能 性 を 示 唆 し て い る.こ の 点 に関 し て は,今 回 の 解 析 の結 果 よ り,以 下 の こ とが い え る.4.1節 に 示 し た よ う に,最. (38). も周 波 数 の 低 い成 分 波 に対 して δが1よ. り. も十 分 小 さ けれ ば,そ れ よ り高 い周 波 数 の 成 分 に対 す る δの値 は さ ら に小 さ くな り,準 静 的 解 の 適 用 が 可 能 に な る.つ. ま り,準 静 的 な 近 似 が 有 効 性 を失 う の は,高 周 波. 成 分 に対 し て で は な く,逆 に波 長 が 非 常 に長 い場 合,即 こ こで,δ→0の 極 限 に対 す るusの 関 数 形 を計 算 す る と,. ち1次 元 的 な解 析 を行 う場 合 とな る. 5.結. 論. 海 底 地 盤 を間 隙水(圧. (39) と な る.式(39)に. 対 し て も,水 面 波 の進 行 方 向 の 違 い. を考 慮 して 式 変 形 を行 う こ とに よ り,Yamamotoら. の準. 弾 性 体)の. 縮 性 流 体)と. 土 粒 子 骨 格(線. 形. 混 合 体 で モ デ ル 化 し,そ の 混 合 体 内部 を伝 播. す る2種 類 の 膨 張 波 と1種 類 の せ ん断 波 に対 し て,波 動 の位 相,減 衰 特 性 を 導 い た.さ. らに,一 様 な半 無 限地 盤 に. 静 的 解 と等 価 で あ る こ とを示 す こ とが で きる.な お,極. 波 浪 が 作 用 す る場 合 の 土 粒 子 骨 格 と間 隙 水 の動 的応 答 に. 限 操 作 の 際,第1の. 対 す る理 論 解 を誘 導 した.得. 膨 張 波 とせ ん 断 波 に対 応 した 部 分 が,. られ た解 の 各 成 分 は第1,. 0/0の 不 定 形 とな るが,そ の部 分 に つ い て は,ロ ピタ ル の. 第2の. 定 理 を用 い て,極 限 形 を求 め て い る.. 味 の きわ め て明 確 な形 で 表 現 さ れ た.ま た,今. また,土 粒 子 骨 格 の 鉛 直 方 向 変 位wsに. 関 して,同 様 に. μ→0,δ →0の 極 限 形 を求 め る と次 の よ うに な り,. 膨 張 波 お よ び せ ん 断 波 に対 応 して お り,物 理 的 意 回得 られ. た理 論 解 は,そ の極 限 形 と して,従 来 用 い られ て きた 準 静 的 な 理 論 解 を含 む こ と を示 し,さ. ら に,両 者 の 関係 を. 検 討 す る こ とに よ り,準 静 的 解 の適 用 性 を判 断 す る上 で 重 要 とな る2つ の無 次 元 パ ラ メ ー タ を提 示 した.. (40) これ もYamamotoら. の準 静 的 解 と等 価 な 形 と な る.. 以 上 の こ とよ り,Yamamotoら. の準 静 的解 は,今 回 導. か れ た 理 論 解 に お い て,μ→0,δ →0の 極 限 を とっ た もの で あ る こ とが わ か る.な お,μ →0,δ →0は. それ ぞ れ,貯. 留 式 中 お よ び運 動 方 程 式 中 で 慣 性 項 が 無 視 で き る た め の 条 件 に相 当 す る. この 結 果 よ り,準 静 的 解 の適 用 性 を考 慮 す る際 に は, 2つ の 無 次 元 パ ラ メ ー タ,μ,δ が 重 要 な 役 割 を果 た す こ とが わ か る.こ れ らの パ ラ メー タ が1に 比 較 し て十 分 小 さ い場 合 に は,準 静 的 解 が 適 用 可 能 で あ るが,こ 値 が1に 対 し て無 視 で きな い よ う な場 合,即. れ らの. ち,先 に 述. べ た よ うな 大 河 川 河 口 周 辺 部 で の未 圧 密 軟 弱 地 盤 等 の 波 浪 安 定 性 の 検 討 に際 して は,準 静 的 解 で はな く,今 回 示 し た動 的 な 解(式(23))を な お,準 (1991)が,有. 用 い る必 要 が あ る.. 静 的 な 解 の 適 用 性 に 関 し て は,Miuraら 限 要 素 法 を 用 い た 動 的 な数 値 解 析 結 果 と準. 静 的 お よび 静 的 な理 論 解 析 結 果 とを比 較 し,動 的 な手 法 が 最 も正 確 で あ る こ と,特 に 地 盤 の透 水 性 が 高 く,軟 弱. 参. 考. 文. 献. Biot, M. A. (1956): Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range, J. Acoust. Soc. Am., Vol.28, No.2, pp.168-178. Madsen, O. S.(1978): Wave-induced pore pressures and effective stresses in a porous bed, Geotech., Vol.28, No.4, pp.377-393. Mei, C. C. and M. A. Foda, (1981): Wave-induced responses in a fluid-filled poro-elastic solid with a free surface—a boundary layer theory, Geophys. J. R. astr. Soc., Vol.66, pp.597631. Mei, C. C.(1989): The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves, World-Scientific, Singapore, 740 p. Miura, K., M. Hayashi and N. Yoshida (1991): Applicability of analytical methods for seabed response to ocean waves, Proc. Geo-Coast'91 Yokohama, pp.609-614. Sakai, T., H. Mase and A. Matsumoto (1988): Effects of inertia and gravity on seabed response to ocean waves, Modeling Soil-Water-Structure interactions, Kolkman et al. (eds) , Balkema, Rotterdam, pp.61-66. Yamamoto, T., H. L. Koning, H. Sellmeijer and E. V. Hijum (1978): On the response of a poro-elastic bed to water waves, J. Fluid Mech., Vol.87, Part 1, pp.193-206..
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