規 則 波 に よる 柱 体 の カ オ ス振 動 の発 生 に 関 す る研 究
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(2) 図 一1. 対 象 構 造物. 図 一2. の周 波 数応 答 特 性 を求 め, 共振 周 波数 と カオス振 動. 非 線 形 反力 特 性. 発生 との 関係 を実 験 的 に考 察 し, 1次 お よび2次 の. また, 振動 特 性 の遷 移(分 岐現 象)の 構 造 を調査 す るた め, 準 カ オス的振 動 の発 生 領域 につ い て さ らに. 共振 点 の高 次 側 で カ オス振 動 が発 生 す る こ と, その. 詳 細 な検討 を行 う.. 時 の最 大 リア プ ノ ブ指 数 は正値 を とる こ と, 2次 共 2.. 振 点 近 傍 で発 生 す る カオ ス振動 は1次 共振 点 近傍 で の カ オス振 動 よ りさ ら に複 雑 な挙 動 とな るこ とを示. 対象構 造物 カオ ス振 動 が発 生す る ため には, 複 数 個の 引込 み. した. この カオス 振 動 に関 す る海 洋工 学分 野 で の取 り組. 点(ア トラ ク タ)の 存 在が 必要 であ る. 本 研 究 では,. み は比 較 的最 近 始 まっ た. Thompson9)ら は 大型 の船. 部 材 の老朽 化 な どの た め に, 柱 体 下端 の根 入れ 部分 に ガ タが生 じた場 合 を対 象 とす る. こ こで は2次 元. 舶 が係 留 した関 節 型係 留 塔 が, その復 元 力 に不連 続 点が あ る と, 係 留 系 は カ オス 的 な振 動 を発 生 す る こ とを数値 解 析 に よ り示 した. 青 木 ら10)は係 留 系 に ガ. 平 面内 で の検討 を行 う もの と し,構 造 物 はあ る長 さ,. タ(特 定 の範 囲 内で は 反力 を生 じない)が あ る場 合. 直 径 を持 つ 円柱 と し, 水底 か らあ る高 さの ヒンジ点 で支持 され, この ヒ ンジ を中心 とす る垂 直面 内 を 重. には カオ ス振 動 が 発 生 す る こ とを数値 解析 に よ り示. 力 場 の中 で動 くもの とす る. 柱 体 は その 上部 で 回転. し, さ らに波 力 以 外 に波 群 に よる長周 期 変動 漂流 力. 平 面上 の左 右 か らバ ネ に よる 反力 を受 け る. ガ タと は, 疲 労 な ど によ って で きる構 造物 の ガ タつ きの こ. が作 用 した場 合 を想 定 し, 2成 分 波 が作 用 した場 合 の 浮体 の応 答 特 性 を調 査 した.. とで あ り, これ に よっ て反力 を受 け ない 不感 帯 が存. また, この 青 木 の研 究 を模 型実 験 に よ り検 証 した もの と してIsaacsonら11)の 研 究 が あ る.. 在 し非 線形 の 反力 特性 を持 つ こ とに な る. この柱 体 の運動 は, 周 囲 の水 の粘 性 に よ り減衰 す るため, 散. 本 研 究 で は, 脚 柱 式構 造 物 の波 浪 に よる カ オス振. 逸 系 であ る. この様 な構 造物 に単 一周 波 数成 分 の規 則 波(cos波)が. 動 の発 生 につ い て検 討 す る ため, 非線 形 な反 力特 性 を持 つ 地盤 に支 持 され た柱 体 に規 則波 が 作用 す る場. 作 用す る もの とす る. 対 象 構造 物. 合 を対 象 に水 槽 実 験 を実施 し, カ オス振 動 の発生 状. を図 一1に, 非線 形反 力 特性 を図 一2に 示す. 図一 2に おい て, δはバ ネ の ガ タ幅, koは バ ネ定 数 を表. 況 を調査 す る. ま た, 上記 振 動系 に関す る非 線形 微. す.. 分方 程 式 を導 い て数値 解 析 を実 施 し,時系 列 デ ー タ, ス ペ ク トル 図, ボ ア ンカ レ図等 で実験 結 果 との比 較. 3.. を行 う. さ らに発 生 した カ オス振 動 の特性 と, カ オ ス振 動 に至 る ま で の変 遷過 程 につい て数値 的検討 を. 理論. 対象 とす る柱体 を剛 体 と見 なす と, 波 に よる柱 体 の振動 方程 式 は, 以下 の 手順 に よ り, ヒンジ 回 りの. 行 う. なお, 本 研 究 の 一部 は, す で に海岸 工 学論 文集 に. 柱 体 の回転 運 動 の方程 式 に変 形 す る こ とが で きる.. 投稿 した もの で あ るが, 本 論 文 で は さら に6種 類 の. 図 一3に, 座標 系 お よび 諸量 を示 す。 水平 床上 に x軸 を と り, 水底 を原 点 と して鉛 直 上向 きにz軸 を. 周波 数 で の実 験 お よ び計 算 結 果 を5種 類 の振 動特 性 にわ けて, そ れぞ れの振 動 の 発生 領域 の比 較 を行 う.. とる. z軸 上 に静 止時 の柱 体 中心 軸 を と り, z軸 か. 120.
(3) 図 一3. 座 標 系 お よび諸 量. らの柱 体 の 水 平 変位 を ξ(z)と す る と, 相 対 水粒z. {ρA+C,. ρ A}ξ+cξ+f{ξ}=±CnρOlu‑ξi. 子 速度 を用 い たモ リソ ン公式 に よる波 力 を外 力 と し た場合 の柱 体 の 運動 方 程式 は,. +CMp+ Au. こ こで, 波 高 をHと し, x=0に. PAS+c0+f01. CDPtiD u-u-2. ワと,水平 方 向 水粒 子 速度uお. +p Au+(CM -l)p A(u-. (3). お け る水 面 変動. よびそ の加 速度 むを,. (1). と表 され る. こ こにAお よびDは 柱 体 の 断面 積 お よ び直径, ρ及 び ρwは 柱 体 お よび水 の 密度,. (4). c0は 減. 衰 定数, f(ξ)は バ ネ の取 り付 け位 置 の み で作 用 す るバ ネ反力(す なわ ち剛 性力), qお よ び 飾 は抗 力 係 数お よ一 び慣 性係 数, uは 水粒 子 速 度 で あ り, ドッ トは時 間tに よる微 分 を表 す. バ ネ反力f(ξ)の 形 は, 青 木 ら10)が用 いた タイ プ. で 与 え る. 式(3)右. 辺 に, 式(4)のuお. の 一 つ と同様 で あ り, 次式(2)で 与 え られ るが, こ. の に よ る 回 転 振 動 の 接 線 方 向 成 分 を 加 え, こ の 式 に,. の 剛性 力 に, 後述 す る柱 体 自重 に よ る転 倒 力 を含 め. ヒ ン ジ 中心 か ら波 力 が 作 用 し て い る 断 面 ま で の 長 さ. て取 り扱 うな らば, f(ξ)の 形 は, 2つ の引 き込 み 点 を持 つ ダ フ ィ ング方程 式 の場 合 に近 い もの とな り, カオス振 動 の発 生 が 予想 され る.. ζ(=z‑r+ζ)を. 掛 け てz方. k0(-S). >S. 0;. ICI<- b. 誘 導 す る こ とが で き る.. k0(+d);. (5)に. (2). 向 に積 分 す る こ と. に よ り, ヒ ン ジ 回 り の 力 の モ ー メ ン トに 関 す る式 を こ の 際,. の 回 転 角 を θ と す る と ξ=ζ f(ξ)=. よび 血を代 入 す る と共. に, 円 柱 が 傾 く こ と に よ っ て 生 じ る 自重 お よ び 浮 力. ヒ ン ジ 回 りの 柱 体. θ の 関 係 か ら, 次 式. 示 す 回 転 角 θ に 関 す る 式 に 変 形 す る こ とが. で き る.. <-d. e+AO+AKfk(e). -+(Aw1 COS2 6t- AW2ecosct +AW3e2). 式(1)の 絶対 値 をはず し, 付 加 質量 係 数C1=CM‑ 1を 用 い る と, 相 対 水粒 子 速度u一 して, 次K(3)が. -A. ξの 正負 に対 応. (5). W4 sin cst + AGO. 得 られ る. こ こ に, 各 係 数 は, 波 数kに =kr, る.. 121. hl=khを. よ り無 次 元 化 したr. 用 い て, 次 式(6)で. 与 え られ.
(4) 非接 触 型 レー ザ ー変 位 計. 造波装置. 図 一4. 実験 装 置 概 略 図. 式(5)を. 数値 解析 す るに 際 して は, 次 式(7). Lψv ‑=ω. 0ω T=‑Aθ‑afkskfθ)±(A31Cφ‑Aw2C‑Sφ1. (7). +Aeeθ2)‑sinφ+/%θ y6. に 示 す3個. の1階. 常 微 分 方 程 式 に 置 き換 え,. を差 分 方 程 式 に 変 え て, Runge‑Kutta法. これ ら. に よ り数 値 積. 分 を行 っ た. こ の 時 の 時 間 キ ザ ミ 間 隔 は, 波 の 周 波. (6). i数fを 用 い て,. △F1/128f,. あ る い は △F1/256fと. し, ま た, 初 期 条 件 は, 変 位 角 θ=0, θ=0と 2.0,. した.. ま た, 波 力 係 数 は,. 付 加 質 量 係 数 はCa=1.. 0,. 変位 角速 度. CD=1.. 0,. CM=. 減 衰 定 数 はc0=. 0.24gf・s/cm2(23. 5N・S/m2)と し た.. 4.. 実験方 法. 実 験 は, 金 沢 大 学 工 学 部 土 木 建 設 工 学 科 水 工 学 研 究 室 に設 置 さ れ た, 長 さ12. 4m, の 造 波 水 槽 を 用 い,. 幅48cm,. 円 柱 の 柱 体 模 型 を 設 置 した. 図L4に 図 を 示 す.. 柱 体 重 量 は3. 018kgf(29. 60N), こ こ に, fk(θ)は, で 割 っ た もの で あ り,. 式(2)のf(ξ)を ζ1, ζk,. ζ力は 図 一3に. ζ々 示す. 通 りで あ る.. 122. 実験 装 置概 略. 柱 体 の水 平 変 位 は 非 接 触 型 レ ー ザ ー変 位. 計 を 用 い て, 柱 体 上 端 か ら1. 6cmの. は6. 2cmで. 高 さ64cm. そ の ほ ぼ 中 央 に, 塩 化 ビ ニ ル 製. 位 置 で 測 定 した.. 長 さ は71, 7cm,. 直径. あ り, 設 置 時 の 諸 量 は, 水 深 がh=45cm,. ζ1=75. 8cm,. ζh=74. 2cm,. r=ll.. あ る. バ ネ 定 数 はko=1000gflcm. 6cmで. ζh=37. 5cm,. ζF4. 1cm,.
(5) (a). タ イ プA(単. (b). うsec) タ イ プB(2重. 図 一5 (980. 7N/m)で,. 5Hz,. 1.56Hzの6種. と に30種. 周 期 的 振 動). (c). タ イ プC(準. カ オ ス 的 振 動). (d). タ イ プD‑(カ. オ ス 振 動). 各 タ イプ ご との変 位 の 時 間変 化 の 実 験値 と理 論 値 との比 較. ガ タ 幅 は δ=0. 5cmで. 波 は, 周 波 数 がf=0. 1.25Hz,. 周 期 振 動). 0.625Hz,. あ る. 使 用 した. く一 致 して い る.. 0.781Hz,. の タ イ プBは,. 1.OHz,. 類 で あ り, 波 高 は 各 周 波 数 ご. (b)のf=0.. 625HzでH=3.3cm. 規 則 的 な 振 動 で あ る が, 実 験 値 お よ. び 理 論 値 の 峰 に お い て, 引 き 込 み 点 に捕 ら え ら れ る. 類 程 度 変 化 させ た.. 小 振 動 が 加 わ っ て い る. こ1谷 の ど ち ら側 に 生 じ る か は, 実 験. 5.. 実 験結果 お よび計算 結果. 条 件 に よ っ て 決 ま る. 2.6cmの. 柱 体 の 振 動 変 位(以 果(以. 下xと. 下 実 験 値 と記 す)と. 値 と記 す)と イ プA(単. 記 す)に. 関 す る 実 験:結. 理 論 計 算 結 果(以. 周 期 振 動),. B(2重. D(カ. 下理 論. 周 期 的 振 動),. オ ス振 動))に. 的 良 く一 致 して い る. 波 形 を観 察 す る と, 実 験 値 の. C. と に ほ ぼ 同 じ様 な 運 動 を 繰 り返 す 特 徴 が 見 ら れ る. こ の こ と か ら, タ イ プCは. つい て示. (d)のf=1.56HzでH=1. 各 タ イ プ ご との 変 位 の 時 間 変 化 の 実 験 値. ら(d)は,. =1. lcmの. 波 の 周 期 がf=0.. 場 合 で あ り, 変 位xは. 3cmの. タ イ プDは,. 実. カ オ ス 的 な 振 動 が 発 生 して い る と 言 え る. 変位 の時 間変 化 で あ. り, 各 図 の 上 段 が 実 験 値, 下 段 が 理 論 値 で あ る. (a) の タ イ プAは,. 準 周 期 的 運 動 と も言 え る.. 験 値 と 理 論 値 の 両 者 共, 極 め て 不 規 則 な 振 動 と な り,. と理 論 値 と の 比 較 で あ る. 図 一5(a)か. 781HzでH=. 場 合 に 少 し崩 れ が 見 ら れ る も の の 両 者 と も数 周 期 ご. す. 図 一5は. (c)のf=0.. 不 規則 性 が 混 入 した準 カ オ ス. 的 振 動 と な っ て い る. 実 験:値 と理 論 値 の 形 状 は 比 較. の 比 較 の 一 例 を, 4種 類 の タ イ プ(タ. (準 カ オ ス 的 振 動,. タ イ プCは,. 理 論 計 算 と も初 期. 781Hzで. 波 高 がH. 図 一6に. 位 相 図 の 実 験:値 と理 論 値 との 比 較 を 示 す.. 図 一6の. 位 相 図 は, 横 軸 に 変 位xを. 変 位 速 度v(=X)を. 波 の周 波数 に一致. の タ イ プAで. す る規 則 的 な 三 角 波 と な り, 実 験 値 と理 論 値 と は 良. と り. 縦 軸 に. と っ た も の で あ る が,. (a). は, 実 験 値 と 理 論 値 は 糸 巻 き ゴ マ 状 の. 単 一 閉 曲 線 と な り, 両 者 共, 単 周 期 運 動 で あ る こ と. 123.
(6) 実験 値 f=0. 781Hz N=1. 1cm. (a). タ イプA(単. 周期 振 動). (a). 理 論値 f=0. 781Hz H=1. 1cm. タイ プA(単. 周 期 振 動) 理 論値 f=Q. 625Hz H=3. 3cm. 実 験値 f=0. 625Hz H=3. 3cm. (b). タ イ プB(2重. 周 期 的振 動). (b). タイ プB(2重. 周 期 的振 動). 実 験値 f=0. 78Hz H=2. 6cm. (c)タ. イ プC(準. カ オ ス 的 振 動). (c). タ イ プC(準. 理 論値 f=0. 781Hz N=2. 6cm. カ オ ス 的 振 動). 理 論値 f=1. 56Hz H=1. 3cm. 実験 値 f=1. 5fiHz H=1. 3cm. (d). 図 一6. タ イ プD(カ. オ ス 振 動). (d). 図 一7. 位 相 図 の実 験 値 と理 論 値 との比 較. が 明 白で あ る.. (b)の. タイ プBで は, 基 本振 動 に. (c)の. オ ス 振 動). スペ ク トル の実 験 値 と理論 値 との 比較. か る.. 加 わ った小 振 動 が, 実 験値 お よび理 論値 で はxの 正 側 お よび負 側 の 引 き込 み 点 回 りに, 小 さな閉 曲線 軌 道 を描 くこ とが 分 か る.. タ イ プD(カ. 図 一7に スペ ク トルの実 験 値 と理論 値 との比 較 を 示す. 図 一7に よれ ば,. タ イプCで は, 基. (a)の. タ イプAは,. 波 の周 波. 本 振 動 を表 す軌 道 と, xの 正 負 両側 の 引 き込 み点 回. 数 の整数 倍 に成 分 を持 つ線 スペ ク トル とな るが, 理. りの領域 の両 者 の 間 を行 き来 す る軌 道 に な るこ とが. 論 値 で は奇 数倍 成分 のみ が生 じ, 実験値 で は偶 数 倍. 分 か る. また, 実験 値 の 軌道 の 方が 理論 値 の軌 道 よ、. 成分 も生 じて い る. これ は水 槽 で造 波 され た波 が完. り も変 動 が激 しい が, 両 者 の特徴 は比較 的良 く一 致 して いる.. 全 な規則 波 で は なか っ た こ とが 影響 して い る もの と 思 われ る. (b)の タイ プBは, 実験値 と理 論値 と. (d)の タイ プDで は, 実験 値 の変 位速 度 が理 論値 の変 位 速度 よ りも小 さい とい う不 一致 は あ るが, 両. は 良 く一致 してお り, 両 者 とも波 の周 波数 の 整 数倍. 者 共 に,. (c)で. の位 置 に成 分が 見 られ る。(c)の タ イプCは, ス ペ ク トル形 状が か な り複雑 に な るが, 両者 と も離 散. 示 され た軌 道 の特 徴 を持 ちなが ら. そ れ を一層 複 雑 に した カオ ス的振 動 で あ る こ とが分. 的 な ピー ク を持 つ スペ ク トルの 特性 は保持 して い る.. 124.
(7) 図 一8. 振 動特 性 領 域 図. 波高 の高 い範 囲 で は, 実験 値 と理論 値 の ズ レが 大. 実 験 値 と理 論 値 との 形 状 は 比 較 的 良 く似 て い る. (d)の タ イプDは, 実験 値 と理 論 値 共 に, カオ ス を特徴 付 け る"い くつ か の鋭 い ピー ク を持 ち なが ら. き くな って い る.計 算 にお いて は微 小 振 幅波 を用 い, CD, CMな どのパ ラ メー タ も固定 して い る. 高波 高. も広帯 域 にわ た って パ ワー を持 つ スペ ク トル"と な って い る.. の領 域 で の相 違 の原 因の 一つ に これ らの 事 が考 え ら. 本研 究 で実 施 した6種 類 の周 波 数 で の実験 お よび. 幅 の変 化 に は顕著 な特 性 は見 られ な か った. これ は. 理 論計 算 の結 果 を, そ れ ぞれ そ の振 動特 性 に基 づ い て, 先 に示 した4種 類 の タイ プ, 即 ち, 単 周期 振 動,. 使用 した バ ネが 比較 的 硬 か っ た ため に, 振 動 範 囲 が. れ る. なお, 振 動 タイプ の変 化 に伴 う振 動 変位 の 振. 限定 され た ため とお もわ れ る.. 2重 周期 的振 動, 準 カオ ス的(準 周 期 的)振 動, カ 6.. オス振 動 に安定(柱 体 が片 側 の バ ネ に寄 りかか って. 振動 特性 の分 岐構 造. 他 方 に移 動 しな い状 態)を 付加 して5つ に分 類 し, 横 軸 に波 高 を とって振 動 特 性領 域 図 を図一8に 示 す.. 図一9 に分 岐 図 を示 す 。 図一9 は, 作 用波 の 周波 数fを 固定 した状 態 で,. 波高 の低 い 範 囲 で は, 発生 領域 に多 少 の ズ レはみ ら れ るが, 実 験値 お よ び理論 値 の 各振 動 特性 の発 生 す. 波 高Hを 順 次 変 化 させ, 理論 計 算 に よ りカオ スの 発. る波 高領 域, 振 動 特 性 の変 遷 過程 は, 比較 的良 く似. 生状 況 を調 べ た もので あ る. 各 図 の横 軸 は0. lmm間. て い る. 但 し, 周 波 数1. OHzと1. 25Hzに つ い て は,. 隔 で変 えた波 高 で, 縦 軸 が, ボ ア ンカ レ切 断面 の 変. 検討 範 囲で の準 カ オス 的振 動, カ オス振 動 の発 生領. 位x(32点)で あ る. したが って, 変 位xが 幅 広 く プ ロ ッ トされて い る領 域 にお い て カ オス が発 生 して い る. 図 よ り, 単振 動(周 期 振 動)か ら多重 振 動 あ. 域が 特 にせ まか っ た ため か, 実験 で は これ らの振 動 特性 は観 測 で きなか った. 125.
(8) 図 一9. 分岐図. るい は カ オス振 動 へ の分 岐 情 況 お よび カオ ス振 動 の. この こ とか ら, 準 カ オス 的振 動 の発生 領 域 に関す る. 消 滅 な どの特 徴 が 明確 に分 か る. 周波 数1. 56Hzの 分. 検 討 を行 い, 各 周波 数 で の分 岐構 造 を比 較 してみ る こ と と した. 各 周波 数 での 位相 図 を も とに, 同 じタ. 岐 図 にお い て波 高1. 6cmか ら4.6cmの 間で見 られ る よ うな1本 線 は周 期 振 動 で あ り, H=4. 7cm付 近 あ. イ プの準 カ オス 的振 動 が, 異 なる周波 数 で は どこに. るい はH=6. 6cm付 近 に見 られ る よ うな5本, あ る い は2本 の複 数 線 は準周 期 振 動(準 カ オス 的振 動). 発 生す るか を調査 した. その 結果 を準 カオ ス1, H, IIIの3つ の タ イプ にわ け て示 す. 図 一1‑に 準 カ オス. で あ る. 周期 か ら準 周期 へ の 変化 は突 然 で あ り, そ. 的振 動 の位 相 図 を示 す. 図 一10(a)に. の発 生 領 域 は周 期 や カオ ス に比べ 非常 にせ まい. 波. 波 数 に よ り振 動 のス ケー ル は異 な るが, そ れ ぞれ 良 く似 た位相 図で あ る. 周 波 数 が高 くな る につ れて,. 高 の変 化 に よる周 期, 準周 期(準 カオス)そ して カ オ スへ の振動 特 性 の 遷 移(分 岐現 象)は 連続 的 で は. よれ ば, 周. 波 高 の高 い所 で 発生 して い る. 図 一10(b)の. な く, 突 然発 生 す る.. オスH,. 前述 の よ うに準 カオ ス的振 動 は,発 生領 域 か狭 く,. 図 一10(c>の. 準 カオスmで. 準カ. も同様 の傾 向. が 見 られ る. 以上 を参 考 に しなが ら, 図 一9の 各 周 波 数 での分. 分 岐 図 の 中で も明瞭 にそ の発 生位 置 が確 認 で きる.. 126.
(9) f=0. 781Hz. f=1. OHz. f=1. 25Hz. f=1. 56Hz. H=1. 39cm. H=2. lOcm. H=3. 5Ocm. H=6. 5Ocm. (a). 準 カ オ スI. f=0. 625Hz. f=0. 781Hz. f=1. OHz. f=1. 2bHz. H=1. 3Ocm. H=1. 9Ocm. H=3. 2Ocm. H=5. 5Ocm. (b). 準 カ オ スII. (a). f=0. 625Hz. f=0. 781 Hz. f=1. 0Hz. f=1. 25Hz. H=1. 80cm. H=2. 60cm. H=3. 80cm. H=6. 6Ocm. (C). 図 一10. f=1. OHz,. H=6.. 5cmの. 場合. 11=3. 75cmの. 場合. 準 カ オ スIII. 準 カオ ス 的振 動 の位 相 図. 岐 の 構 造 を比 較 す る と, そ の 変 化 の パ タ ー ン に 相 似 の 関 係 が う か が え る. 例 え ば, 周 波 数f=0. で, 波 高 が1. 4cmか 波 数f=1.. OHzで. ら2. 6cmの. の 波 高 が2. 1cmか. ら3. 8cmの. 岐 構 造, お よ び, 周 波 数f=L25Hzで か ら6. 6cmの. 781Hz. 間 の 分 岐 構 造 と, 周 間 の分. の 波 高 が35cm. 問 の 分 岐 構 造 が 良 く似 て い る. こ れ ら. (b). f=0.. 5Hz,. の 構 造 は周 波 数 が 大 き く な る に 従 い よ り広 い 波 高 領 域 に 引 き伸 ば さ れ る 傾 向 が み られ る.. 図 一11. ボ ア ン カ レ 図(切. 断 面10000個). こ れ ら の 特 性 を把 握 す る事 で シ ミュ レ ー シ ョ ン を 行 っ て い な い 周 波 数 に つ い て も, 周 期,. 8.. 準 カ オ ス,. 結論. カ オス な どの振 動 特性 の発 生領 域 をあ る程 度予 測 す る 事 が 出 来 る 様 に な る も の と考 え る.. 本 論 文 は, 非 線形 の 反力 特性 を持 つ 地盤 に支持 さ れ た波 浪 中 の柱 体 を対 象 と して, そ こに カ オス振 動. 7.. が発 生 す る場 合, どの よう な条 件 で 発生 す るのか,. ス トレ ン ジ ・ア トラ ク タ ー. そ して どの よ うな特性 を持 つ か を実験 お よび数値 解 理 論 計 算 に お い て,. 析 の両 面 か ら考究 した もの で あ る. そ の結 果 を要 約. ボ ア ン カ レ切 断 面 を10000個. す る と次 の様 にな る.. に と り, ボ ア ン カ レ 図 を 作 成 した. 図 一11に 変 位xと. ボ ア ン カ レ 図(切. 変 位 速 度vを10000個. 断 面10000個)を. 示 す.. プ ロ ッ ト した 数 値 計. 算 に よ る ボ ア ン カ レ 図 で あ る. (a)に. 示 すf=1.. OHz. でH=65cmの. 示 すf=0.. 5Hz. 場 合,. お よ び(b)に. (1)2つ. の ア トラク ター を持 つ非 線形 な剛性 反. 力 を持 つ 円柱 に規 則 波が 作 用す る場 合, 作 用波 力 の 変化 に対 応 して, カオス 振動 が 発 生す る領 域 と消 滅 す る領域 が 存在 す る.. ラ ク ター(合 原, 1993)12)を 思 わ せ る ス ト レ ン ジ ア トラ. (2)こ の 時 の実験:結 果 と理 論 計算 結 果 は, ス ペ ク トル 図 お よび位 相 図 にお い て比 較 的 よ く一致 した. この こ とか ら数値 計算 に よ りカ オス発 生 を予 測 で き. ク タ ー に な っ た.. る可 能性 が あ る.. でH=3.. 75cmの. 場 合 は, ダ フ イ ン グ方 程 式 の カ オ ス. 振 動 の計 算 に お い て, 上 田 が 得 た ジ ャ パ ニ ー ズ ア ト. 127.
(10) (3)振. 動 特 性 の分 岐 構 造 に は相似 性 が見 られ,. 4). 周 波 数 の増 大 と と もに その 分岐 構 造 の波 高領 域 での. F. C.. Atractor,. 引 き延 ば しが 見 られ た.. and. P. J. Holmes:. J. Sound&Vibration,. 周 波 数1. OHzの ボ ア ンカ レ図 で, 鮮 明 なス トレ ンジ ア トラ ク ター が 見 られ た.. 5). 岸 工 学 の分 野 で は 十分 な検討 が な されて い る とは言 え ない. しか し本 研 究 を実 施 した結 果 、例 えば ラ グ. 6). Vo1. 65‑2,. Carroll,. T. L.. and. circuits,. IEEE. Trans.. Shinbrot, pp. 363,. 8). 明 し得 る可 能性 が あ る と感 じて い る.. dynamics. and. Prog. Phys., Vol. 49, p. 1109,. pp. 4S3‑456, 7). ラ ン ジ ェ の 運 動 方 程 式 を用 い て 式(5)に近 い 形 に変 形 し, 層 流 か ら乱 流 へ の変 化 を カオス理 論 に よ り説. Nicolis, J.S.: Chaotic Rep.. オス 理論 の展 望 や実 用 化 につ いて は, 海. Strange. pp. 276‑296,. processing,. Circuit. Synchronizing. Syst.,. chaotic. Vol. CAS‑38,. No. 4,. 1991.. p411,. 永 井 健 一,. information. 1986.. L. M. Pecora:. T., C. Grebogi,. E. Ott. and. J.A.. Yorke:,. Nature,. 1993. 山 口 誉 夫,. 谷 藤 克 也,. 楊. 平:. ケ ー ブ ル で. 拘 束 を 受 け る 片 持 ち ば り の カ オ ス 振 動 の 実 験, 会 学 会 論 文 集,. 謝 辞: 本 研 究 を行 うに際 し, 協 力 を頂 い た斉藤 武 久 助 手 お よ び星 光 次 郎 君(金 大 院), 木 村和 茂 君(東 亜 建設 工 業KK),. AMagneto‑Elastic. 1979.. (4)波 高3. 75cm, 周 波 数0. 5Hzお よび波 高6. 5cm,. (5)カ. Moon,. 定免 英樹 君(京 大 院)に 謝 意 を表. す る.. 9). Thompson, and. 60巻569号,. J.,Bokaian. Chaotic. Articulated. A.. PP. 3‑9,. Motions Mooring. and. Ghaffari,. R.:. of Compliant. Offshore. Towers,. OMAE. 3rd. 日本 機. 1994. Subharmonic Structures. and. Vol. 2, pp. 25‑. 35, 1984. 10) 青 木 伸 一,. 参考文献 1) Loretz, EN.:. Deterministic. Sci. 20(2), pp. 130-141, 2) Hayashi, C., Y. Ueda. Nonperiodic. Flow, J. Atoms.. 1992. and. H. Kawakami:. Transformation. Moored. equation of the second order, Int. J. Non-Linear Mech., Vol. 4,. M.. pp. 791‑795.. and. Phadke,. Structure,. pp. 338‑345, 12) 合 原 一 幸: 講 談 社,. 1969.. 亨, Michael. Isaacson:. 4th. Int.Offshore. Motion and. of Nonlinearly. Polar. Eng.. 1994.. (1996.. 8. 19受. Seiichi TAKANASHI, Hajime ISHIDA, Chikayoshi YATOMI, Masaaki HAMADA and Shuichi KIRIHATA In this study, experiment and numerical analysis were explored for column in regular waves, the column which is supported by the base with nonelinear reaction charateristics, so that, in the case of chaotic vibration occurred, any condition for such occurrence and also its any charateristics may be acquired.. As a result, (1) in case of column. with two attractors, there exist the spheres of occurrence and extinction for chaotic vibration responding to change of (2) the experimental results and those of calculated ones are well consistent with each other in spectral. and phase portraits, accordingly, prediction of chaotic vibration occurrence with numerical simulation seems to be. 128. p.71,. 1993.. 1975.. possible.. Conf.,. カ オ ス ー ま っ た く 新 し い 創 造 の 波 一,. STUDY ON OCCURRENCE OF CHAOTIC VIBRATION OF COLUMNS IN REGULAR WAVES. wave height;. 海. 1992.. A.: Chaotic. 3) Li,T. Y. and J. A. Yorke: Period three implies chaos, Am. Math. Monthly, Vol. 82, pp. 985-992,. 非 線 型 係 留 浮 体. と カ オ ス 的 挙 動 に 関 す る 数 値 的 検 討,. 岸 工 学 論 文 集, 11) Isaacson,. theory as applied to the solution of non-linear differential. pp. 235 -255,. 椹 木. の 長 周 期 動 揺. 付).
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