規 則 波 に よ る柱 体 の カ オ ス振 動 の 発生 とそ の特 性
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(2) 907. 規則 波 に よ る柱 体 の カ オ ス振動 の発 生 とそ の特 性 h'=khを. 図‑2座. 用 い て,次. 式 で 与 え ら れ る.. 標 系お よび諸量. フ ィ ン グ方 程 式 の場 合 に 近 い も の とな り,カ オ ス 振 動 の 発 生 が 予 想 され る.. (2). 式(1)の. 絶 対 値 を は ず し,付 加 質 量 係 数Ca=CM‑1を. 用 い る と,相対 水 粒 子 速 度u‑ξ. の 正 負 に対 応 して,次 式. が 得 られ る.. (3) こ こで,波 高 をHと. し,x=0に. お け る水 面 変 動 η と,水. 平 方 向水 粒 子 速 度 πお よ び そ の加 速 度uを,. (6) こ こ に,fk(θ)は,式(2)のf(ξ)を あ り,ζl,ζk,ζhは 式(5)を. 図‑2に. ζkで 割 っ た も の で 示 す 通 り で あ る.. 数 値 解 析 す る に 際 し て は,次. 式. (4) (7) で 与 え る が,式(3)右. 辺 に,こ のuお. よびuを 代 入 す. る と共 に,円 柱 が 傾 く こ とに よ っ て 生 じ る 自重 お よび 浮 力 の水 平 分 力 を加 え,こ の式 に,ヒ. ン ジ 中心 か ら波 力 が. 作 用 して い る断 面 まで の長 さ ζ(=Z‑r+ζr)を. 掛 け てZ. 方 向 に積 分 す る こ と に よ り,ヒ ン ジ回 りの 力 の モ ー メ ン トに 関 す る式 を誘 導 す る こ とが で き る.こ れ は,柱 体 の. に 示 す3個. の1階. 常 微 分 方 程 式 に 置 き 換 え,こ. 分 方 程 式 に 変 え て,Runge‑Kutta法 行 っ た.こ. の 時 の 時 間 き ざ み 間 隔 は,波. 質 量 中 心 に お け る 運 動 方 程 式 を た て る こ と と 同 じで あ. い て,Δt=1/128f,あ. る.こ の 際,ヒ ン ジ 回 りの 柱 体 の 回転 角 を θ とす る と,. 期 条 件 は,変. ξ=ζθの関 係 が あ るた め,こ の 式 は,次 式(5)に. 波 力 係 数 は,CD;1.0,CM=2.0,付. 示す回. 転 角 θに関 す る式 に 変 形 す る こ とが で きる.. 1.0,減 4.実. (5) こ こ に,各 係 数 は,波 数kに. よ り無 次 元 化 し たr'=kr,. 実 験 は,金. 方. し,ま. 用. た,初. 位 角 速 度 θ ・0と し た.ま. 衰 定 数 はc0=0.24gf・s/cm2と 験. の 周 波 数fを. る い は Δt=1/256fと. 位 角 θ=0,変. れ ら を差. に よ り数 値 積 分 を. た,. 加 質 量 係 数 はCa= し た.. 法. 沢大学工学 部土木建設工学 科水工学研究室. に 設 置 さ れ た,長. さ12.4m,幅48cm,高. さ64cmの. 造.
(3) 908. 海. 波 水 槽 を 用 い,そ. 岸. の ほ ぼ 中 央 に,図‑1お. し た 状 態 で,塩. 工. 柱 上 端 か ら1.6cmの. 位 を 測 定 し た.円. 柱 重 量 は3.018Kgf,長. 直 径 は6.2cmで. あ り,設. 論. よ び 図‑2に. 化 ビ ニ ル 製 円 柱 を 設 置 し,非. ザ 変 位 計 を 用 い て,円. 学. 文 示. 第43巻(1996). み 点 に捕 ら え られ る小 振 動 が加 わ っ て い る.こ の 小 振 動. 接触型 レー. は実 験 で は峰 側 で 生 じて い るが,計 算 で は,ど ち ら側 に. 点 の水 平 変. 生 じ る か は,初 期 条 件 に よっ て 決 ま る.(c)のf=0.781 HzでH=2.6cmのTypeCは,不. さ は71.7cm,. 置 時 の 諸 量 は,水. 集. 深 がh=45. 規 則 性 が 強 く混 入 し. た 準 カ オ ス 的(あ る い は準 周期 的 と も言 え る)振 動 とな っ. cm,ζl=75.8cm,ζk=6.01cm,ζh=37.5cm,ζr=4.1. て お り,ま た,実 験 値 と計 算 値 の 形 状 は比 較 的 良 く一 致. cm,r=11.6cmで. し て い る.(d)のf=1.56HzでH=1.3cmのTypeD. あ る.バ. ガ タ 幅 は δ=0.5cmで. ネ 定 数 はk0=1000gf/cmで,. あ る.使 用 し た 波 は,周 波 数 がf=. 0.5Hz,0.625Hz,0.781Hz,1.0Hz,1.25Hz,1.56 Hzの6種. 類 で あ り,波. 類程度. 記 す)に. 理 論 計 算 結 果 との 比 較 の一 例 を,4種. 図‑3(a)か. 位 相 図 は,横 軸 に変 位xを. 両 者 共,単. 周 期 運 動 で あ る こ とが 明 白 で あ る.(b)の. 関 す る実 験 結 果 と. TypeBで. 類 の タ イ プ(Type. び 計 算 値 で はxの 正 側 お よび 負 側 の引 き込 み 点 回 りに,. つ い て 示 す. ら(d)は,変. と り,縦 軸 に変 位 速. とっ た もの で あ る が,(a)のTypeAは,. 実 験 値 と計 算 値 は,糸 巻 き ゴマ 状 の単 一 閉 曲 線 と な り,. 験 結 果 お よび 計 算 結 果. A,B,C,D)に. 図‑4の. 度 υ(=x)を. 柱 体 の振 動 変 位(以 下xと. め て不 規 則 な 振 動 とな. り,カ オ ス 的 な 振 動 が 発 生 して い る と言 え る.. 高 は 各 周 波 数 ご と に30種. 変 化 さ せ た.. 5.実. は,実 験 値 と計 算 値 の両 者 共,極. は,基 本 振 動 に加 わ っ た小 振 動 が,実 験 値 お よ. 小 さ な閉 曲線 軌 道 を描 く こ とが 分 か る.(c)のTypeCで. 位 の 時 間 変 化 で あ り,各 図. は,基 本 振 動 を表 す 領 域 と,xの. 正 負 両 側 の 引 き込 み点. の 上 段 が 実 験 値,下 段 が 計 算値 で あ る.(a)のTypeAは,. 回 りの領 域 の 両 者 の間 を行 き来 す る軌 道 に な る こ とが 分. 波 の 周 期 がf=0.781Hzで. か る.ま た,実 験 値 の軌 道 の 方 が 計 算 値 の 軌 道 よ り も変. あ り,変 位xは. 波 高 がH=1.1cmの. 場合で. 波 の 周 波 数 に一 致 す る規 則 的 な 三 角 波 と. 動 が 激 しい が,両 者 の特 徴 は比 較 的 良 く一 致 して い る.. な り,実 験 値 と計 算 値 と は良 く一 致 して い る.(b)のf=. (d)のTypeDで. 0.625HzでH=3.3cmのTypeBは,規. 速 度 よ り も小 さい とい う不 一 致 は あ る が,両 者 共 に,(c). 則 的 な振 動 で. あ るが,実 験 値 の 峰 お よ び計 算 値 の 谷 に お い て,引. (a)TypeA(単. (b)TypeB(2重. 図‑3各. 周 期 振 動). 周 期 的振 動). き込. は,計 算値 の 変 位 速 度 が 実 験 値 の変 位. の 軌 道 を一 層複 雑 に し た カ オ ス 的 振 動 で あ る こ とが 分 か. (c)TypeC(準. (d)TypeD(カ. カ オ ス 的 振 動). オ ス 振 動). タイプ ごとの変位 の時間変化 の実験値(各 図上段)と 理論値(各 図下段)と の比較.
(4) 909. 規 則 波 に よ る柱体 の カオ ス振 動 の発 生 とその特 性. (a)TypeA(単. (b)TypeB(2重. (c)TypeC(準. (d)TypeD(カ. 図‑4位. 周 期 振 動). (a)TypeA(単. 周 期 的振 動). (b)TypeB(2重. カ オ ス 的振 動). 周 期 的振 動). (c)TypeC(準. カ オ ス 的 振 動). (d)TypeD(カ. オ ス 振 動). 相図の実験値 と理論値 との比較. る. 図‑5の. 周 期 振 動). 図‑5ス. オ ス 振 動). ペ ク トル の 実 験 値 と理 論 値 との比 較. 隔 で 変 えた 波 高 で,縦 軸 が,ポ パ ワ ー スペ ク トル 図 で は,(a)のTypeAは,. ア ン カ レ切 断 面 の変 位x. (32点)で あ る.し た が って,変 位xが. 幅 広 くプ ロ ッ トさ. 波 の 周 波 数 の 整 数 倍 に成 分 を持 つ 線 ス ペ ク トル とな る. れ て い る領 域 に お い て カ オ スが 発 生 して い る.図 よ り,. が,計 算 値 で は奇 数 倍 成 分 の み が 生 じ,実 験 値 で は偶 数. 単 振 動 か ら多 重 振 動 あ るい は カオ ス振 動 へ の 分 岐 状 況 お. 倍 成 分 も生 じ て い る.(b)のTypeBは,実. よ び カ オ ス 振 動 の消 滅 な どの 特 徴 が 明 確 に分 か る.. と は良 く一 致 して い る.(c)のTypeCは,ス. 験 値 と計 算 値 ペ ク トル 形. 図‑7に,変. 位xと. 変 位 速 度 υ を10000個. プ ロ ッ トし. 状 が か な り複 雑 にな るが,実 験 値 と計 算 値 との 形 状 は比. た 数値 計 算 に よ る ボ ア ン カ レ図 を示 す が,(a)に 示 すf=. 較 的 良 く似 て い る.(d)のTypeDは,実. 1.0HzでH=6.5cmの. 験 値 と計 算 値. 場 合,お. 共 に,カ オ ス を特 徴 付 け る"広 帯 域 に わ た っ て パ ワー を. HzでH=3.75cmの. 持 つ スペ ク トル"と. ス振 動 の 計 算 に お い て,上. 図‑6は,作. な っ て い る.. 用 波 の 周 波 数fを 固 定 した状 態 で,波 高H. よび(b)に 示 すf=0.5. 場 合 は,ダ フ ィ ン グ方 程 式 の カ オ. ク タ ー(合 原,1993)を. を順 次 変 え て行 く こ と に よ り,理 論 計 算 に よ りカ オ ス の. に な った.な. 発 生 状 況 を調 べ た もの で あ る.各 図 の横 軸 は0.1mm間. (f=1.56Hz,H=1.3cm)の. 田が 得 た ジ ャパ ニ ー ズ ア トラ. 思 わ せ る ス トレ ン ジ ア トラ ク タ. お,前 出 の カオ ス 振 動 と見 な したTypeD ボ ア ン カ レ 図 は,位 相 図 の.
(5) 910. 海. 岸. 工. 学. 論. 文. 集. 第43巻(1996). (a)f=1.0Hz,H=6.5cmの. 場 合. (b)f=0.5Hz,H=3.75cmの. 図‑6変. 図‑7ボ. 位 の分岐図(理 論 値). 内部 領 域 全 体 に わ た っ て,10000点 トさ れ た 形 態 とな り,図‑7と. ア ン カ レ 図(理. 参. が ランダム にプ ロッ. は異 な る も ので あ っ た.. 青 木 伸 一 ・椹 木. 場 合. 考. 亨 ・M.Isaacson. 文. 論 値). 献. (1992):. 非 線 形 係 留 浮体 の 長. 周 期 動 揺 とカ オ ス 的 挙 動 に 関 す る 数 値 的 検 討, 海 岸 工 学 論 文. 6.結. 語. 集, 第39巻, 合原一幸. 本 研 究 に よ り,2個. の 引 き込 み点 を持 つ 非 線 形 な 剛 性. 反 力 を 有 す る円 柱 に規 則 波 が 作 用 す る場 合,作 用 波 力 の 変 化 に対 応 して,カ. オ ス 振 動 が 発 生 す る と共 に,こ の 時. の実 験 値 と計 算 値 とは比 較 的 良 く一 致 し,本 理 論 に よ る カ オ ス の 発 生 予 測 が可 能 な こ とが 実 証 され た.な お,本 研 究 を行 う に際 し,助 力 を賜 っ た斉 藤 武 久 助 手 お よび 桐 畑 修 一 君(JR西. 日本KK),星. 村 和 茂 君(東 亜 建 設 工 業KK),定 謝 意 を 表 す る.. 光 二 郎 君(金 大 院),木 免 英 樹 君(京 大 院)に. (1993):. pp.791‑795. カ オ ス, 講 談 社, 71p.. Hayashi, C., Y. Ueda and H. Kawakami (1969): Transformation theory as applied to the solution of non-linear differential equation of the second order, Int. J. Non-Linear Mech., Vol.4, pp.235-255. Li, T. Y. and J. A. Yorke (1975): Periodic three implies chaos, Am. Math. Monthly, Vol.82, pp.985-992. Lorentz, E. N. (1992): Deterministic nonperiodic flow, J. Atoms. Sci., 20 (2), pp.130-141. Issacson, M and A. Phadoke (1994): Chaotic motion of a non-linear moored structure, Proc. of ISOPE, Vol.3, pp. 338-345..
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