1
論 文1
UDC ：624
．
073 ：62−
41日本建 築 学 会 構造系論文 報告 集 第 426 号
・
199］年8月J・ ・ma1 ・f Struct
．
C・nst・．
E・gng．
AIJ，
N・．
426，
A・9．
，
1991自由
辺
と
固定
辺 を
有
す
る
Mindhn
平
板
の
自由
振 動 解 析
FREE
VIBRATION
ANALYSIS
OF
MINDLIN
PLATES
WITH
COMBINATIONS
OF
FREE
AND
CLAMPED
EDGES
内 山 武
司
＊Takeshi
UCUJYAMA
Based on Mindlin
’
s plate theory，
free
vibration of rectangular p且ates with combinations offree
and clamped edges is investigated
by
using the method of superimpositlon．
For
the Mindlin platethe
boundary
conditions on an edge x・
constant are asfollows
：for
clamped edge，
w ；ex
＝ 砧＝
0；for
free
edge，
Mx
・
＝
M』y
＝
Q
エ＝
O．
The rectangular plates under consideration are asfollows
：plateswith clamped three edges and other
free
；p且ates with two adjacent clamped edges and othersfree．
Eigenvalues
offour
digit accuracy are providedfQr
a wide range of plate ratios，
thickness towidth ratios and modal shapes
．
Numerical
resu ］ts are compared with those of classical solutions，
Keyworxts
：∫厂86 励 rαだoη，
MindlinPlates
， eigenvalue
，
∫鷹 晦 ζ c加尠 84 魄6自 由 振 動，
Mindlin
平 板，
固 有 値， 自由辺， 固定 辺1．
は じ めに 平 板の 曲げ振 動 理 論におい て， Kirchhoff 仮定に基づ く古 典 理 論一は，Ketvin−Tait
の仮 定に よ る反 力の 導入 が なさ れ て い る自 由辺で，
せ ん断 変形と回 転 慣 性 を 考 慮 し た Mindlin 理論2 ）との間で境 界 条 件の取り扱い に相違 が あ る。 す な わ ち，
自由 辺に対 する境 界条 件は，
例えば，
x＝一
定の 境界辺上で，
古典理論は 二 つ の条 件Mx
＝ o，
Vx
（；
Qx
＋ ∂Mxy／∂y
）mO ま た，Mindlin
理 論で は 三つ の条 件Mx
＝ O，
Mry＝
O，
Qx
＝
0 で与え ら れ る。
自由辺 と 固定辺を有す る平 板を扱っ たMindlin
平 板 の 固有値解析は，
これ まで，
三辺 固 定一
辺自由 板を対 象 と して，
Y．
K，
Cheung と S．
Chakrabarti3i ，H ．
M ．
Nelson
−，
D
．
J
．
Dawe と0 ，
L．
Roufaei15
）・
N に よ り，
Rayleigh−Ritz
法や有 限 帯 板 法 等に よ る解 析が試み られ てい る が，
二 隣辺 固定 他 辺 自由 板を含め級 数 解 法による 解析は ほ と ん ど行わ れて い ない。 本 報 告は，
既報告の 周辺単 純 支 持 長 方 形 梗 乏 周 辺 固 定 長 方形板8切 固有 値 解 析法に倣い，
自由 辺 を有する平 拔， す な わ ち 〇 三辺 固 定一
辺自 由のMindlin
平板 〇 二隣辺 固定 他辺自由のMindlin
平 板 を対 象に，
重ね合わせ法 を適 用し て当 該平板の固有 振 動 解 析を行い，
既 往 解，
並びに古 典 理 論 解との比 較を行い，
せ ん断 変 形と回 転 慣 性の 固有 振 動 数に及ぼ す影 響を検 討 し たものである。
なお， 自由辺に対す る境 界条件の力 学的な相 違にっ い て は， 静 的弾性 解 析で既に検討を行っ てい るの で触れ な い ことにする9Llo ）。
2，
基礎 微 分 方 程 式 と境界条 件 1） 基 礎 微 分 方 程 式せ ん断 変形と回 転 慣 性 を考 慮
レ
た平板の 自由振 動に関 す る基 礎 微 分 方 程 式は次式で与え ら れ るZl。D
卜
i
上 △佐＋ 1吉
μ霧
睾
｝
一
・G・儲
・e．）
＋響
姻D
｛
△＆・ユ
吉男
霊
｝
一
畷
芻
・e・）
＋4
／
h
’ ・・一
・ xGh （△w ＋φ）＋ω 2 ρhtV＝0
た だ し，
0 ［＝
劭 3／12（ユー
の ］： △＝
∂t ／∂x2＋∂ワ∂y2 φ＝ ∂佑／∂x＋∂θ y／∂y E，G，レ ：ヤ ング係 数，
ソ ン比 ω，
ρ，
h，
zl 角 振 動 数， 密度，
……・
・
（1＞ 佐 ＆，
w ：x，
y
方 向の 回転 角， z 方向の変位 平 板の曲 げ剛性 せ ん断 弾 性 係 数， ボア 板 厚，
せ ん断 補 ＊ 北 海 道 大学 工 学部 教授・
エ博 Prof．
，
FacuユtyQf Engineering
，
Hokkaido Umversity，
Dr．
Eng．
正係 数 2） 曲 げ， ね じ りモ
ー
メ ン トとせ ん断 力 変 位 成 分で表示すると，
曲げモー
メ ン ト，
ね じ リモー
メ ン ト，
お よ び せ ん断 力は次式で与え られる。
Mx−
・（
∂砧．
∂乳 ∂コc十レ ∂y
）
M・一
・（
∂e， ∂er ∂y
十 v ∂x）
M
。y−
1ヲ
〃 ・（
噐
・籌
）
Qx
−
・σ 九儲
＋勾
鮮 ・呵
芻
＋の
一…一・
・
・
・
・
・
・
…
（2） 3 ） 境 界条件 固 定辺 と自由 辺に対 する境 界 条 件は，
x＃・
一
一
』
定の境 界 辺 上で以 下の よ うに な る、
固定．
辺 ；ω＝
ex；
ey＝
0・
………
（3） 自 由辺 二Mx ＝Mx
，・
”
Qx
＝
03．
自由辺 と固定辺 を有する平 板の 固有 振 動 解 三 辺 固定．
一
辺自 由，
お よ び二隣 辺 固 定 他 辺 自 由平 板の 座標を 図一1，
2の よ うに設 定 し，Levy
解を利 用し て変 位 成分を求める こ と にする。
な お，解を誘 導す るに際し，
R ．
D ，
Mindlin
にな らい2 ），
以 下の記 号を用い る。φ； δ／α
，
λ＝
ω α2偏7
万91．
！一翻
三
畿
（
2
）
2・
A2
・転
（1
…
あ
劉
2（
2
）
49・
一
、（14 の（
ん 五．
）
2− 12
・（
号ア
Sl＝
2Ω2／1
（1一
レ）931，
82＝2
Ω，／1
（1一
レ）93
｝ S3＝
S！−
Sl，
Sll＝
Sl−
1，
S21＝ St−
1 た だ し，9
，は正 符 号，
亀 は負 符 号を と る。
3．
1） 三辺 固 定一
辺 自由のMindhn
平 板 （図一
1） 三辺固 定一
辺自 由板の境 界 条 件は，
無 次 元 化した座標 表 示で次の よ うに な る。 w （0，η｝＝
e．
（0，
η）＝
e．（0，
η）＝
O w（ξ，±1）＝
e．
（ξ，
±1）＝
eし（ξ，
±1）＝
0・
・
・
…
（4） Mr（1，
η）＝
Mry（1，
η）＝
Qx
〔1，
η）＝ 0「
α一
↑
琵
「
一↑
蜘 図一
1 三辺 固定一
辺自 由板の座 標と無 次 元 化 座 標一 90 一
ヒ記の条件の内w （O
，
η｝＝
6 （O，
η）＝
w〔ξ，
±1）＝
e．
（ξ，±1）＝Mx
ヨ（1，
η〉＝
Qx
（1，
η）＝
＝
Ott・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5） を満 足す る基 本 解を求める。
（A ） x 軸に対 称と なる振 動モー
ド （S）平 板に垂直な方向 （z 方 向 ）の振 幅が x 軸に対 称と な る振 動モ
ー
ド （S）の変 位 成分は，
下 式で表さ れ る。
・（ξ，
・）一
・・（
￥
・・
〔・）・・n μ。
ξ・
ZI
］… （ξ）・・S祠
e．
（ξ，
・）一
・骸
・（・）・・Sμ。
ξ・
…
一・
・
7r
（6）・
Z
；
・exn（ξ）・ ・S μ。
η｝
蜘 ）一
・｛
￥
嬉 … μ・ξ一
ll
］・eyn（ξ）…帥
φ た だ し，
μ皿＝
（2m −
1）π／2，
μn＝
（2n−
1）π／2， m，
n＝
1，
2，
3，…
上式で，
ωm（η）一
ey
。（ξ）は 下記の 条 件 か ら 得 ら れ る 解 を重ね合わ せ る と求ま る。
Mx（0，
η）＝
Σ］iXncos μnηn
Mx
（1
，η｝；
E
2Xn COS μnη nMy
（ξ，1）＝
Σ］ym sin μπξ 隅 ただし，
1Xn，
，Xn，
玲 は未 定 係 数。
〔6）式で， Wm （η）， exm（η｝，
お よ び 偏 （η）はaち
＝
1
〔μ盍一
9，）φ ’1
，
β峯
＝
1
（μち一
Ωz）ipil
γ：
，
＝
K
，t島一
s2，）di21
とお く と （ただし， am，
βη，
冷＞0） u）m＝Ym
lfi
（α瓰η〕−
f2
（β皿ワ）｝ e．
皿
； Y．
Pt．
ISiifi
（am η）−
S2lf2（βm η）十8sfs（7mn）l
eym
＝
YmiSnamgi
（α mO ）−
s！ifi皿9z
（flnt
η）十33μ窺φ293 〔ア漉 η｝／｝補
と な り
，
f
、（am η）−
g3（7mη〉は以 下の よ うにな る。μ
k
−
9，〈o：fi
（α ntη）＝
cos amop ／cos αm 9、（α mO ）一一
sin am η／cos amμ凱
一
Ω，＞o：fi
（α皿η〕＝
cosh α皿η／cosh α m gi（α况
η）＝ sinh am η／cosh antμ
k
−
522〈0：fE
（βπη）＝
cOS β皿
η／cos β皿
9t（fln
η〉＝−
sin βπη／cos β福 μ乱一
S22＞0：プIC
βm η）＝
9
、（β況η）＝
μ揚一93
＜0：f3
〔7mη）＝
93（ル η〕＝
μ孟一
Ω，＞O ；fi
（7fmη）＝ 9，（7rmη）＝
cosh．
β御η／cosh β寵 sinh β魏η／cosh βm cos 7fmη／cos 翫 sin 7塊 η／COS 為cosh 7mO／cosh 7m
ま た
，
ωn〔ξ），
exn（ξ），
お よび砺π〔ξ）は・：
・
・
1
μ：／di2
− 9
，1
， β孟＝
鴎 ／φ 2一
Ω，亅
γ＃
＝
1
μ姦／φ2− 9，
1
，
Cn
＝
s29sip2−
2μ託，
dn＝
＝
St93di2−
2μ託 とお くと （ただし， αn ，βη ， rn＞0
） ω n＝
1Xπ
鵬（αnξ）−
f2
（β冤ξ｝｝ ＋：Xn」cal ？Uf4
（α nξ）− dn
αn丿／（βnξ）｝ e＝n＝
lXnls ”α ngi 〔αnξ）−
s2iβn9 ！（βnξ）＋s，μ乾9：（7nξ）／冫毎φ 2 ｝＋2Xnantgn
is
”Cn9 、（anξ）−
s，1 〔lngs
（β隗ξ）−
2s，Pt鳬9fi（7nξ）｝ e．＝
、XrpUn｛Sllノ；（αnξ）−
s！1丿〜（βηξ〕＋ Ssfn（7n
ξ）1
＋2XnPtnlSuCnlgTL
／1
（α nξ）−
s2idn α nLf5〔βnξ｝ ＋28、α。
xg。
7。
ip2f6
（7。
ξ〉｝ と なり，
fi
（α。ξ）〜g6
（7．
ξ）は以 下のよ うに な る。
μh／φ！一
≦21
〈0．
プ；（α nξ）＝
f4
（α。ξ）＝
9
匸（α nξ）；
94（απξ）＝
μ毳／φ2−
9匸＞0：ノ」〔anξ）＝
五（a。ξ）＝
cos an（1一
ξ）／cos an sin anξ／COS αnsin ati（1
一
ξ）／cos αnCOS α nξ／COS an cosh an（1
一
ξ）／cosh an sinh an ξ／cosh αn 91（αnξ）＝−
sinh αn（1一
ξ）／cosh α 94（anξ）＝ μ姦／φ 2−
9z 〈o：丿〜（Sn
ξ）＝
fs
（β。ξ）＝
9、
（＆ ξ）＝ 9s（β。ξ〉＝ μ蓋／φ 2−
∫22＞o ：f2Wn
ξ〉＝
f5
（β。
ξ）＝ π cosh αnξ／cosh απ cos βn（1一
ξ）／cos β陀 sin βnξ／cos βη sin β』（1一
ξ｝／cos βπ cosB
。ξ／cosBn
cosh βη（1一
ξ）／cosh βn sinh βπ
ξ／cosh β冊 92（βπ
ξ）＝−
sinh βn（1一
ξ）／cosh βη 9，（β。ξ）＝
μ蓋／φ2−
9」〈0 ：プヨ（％！
ξ）＝
f
，（r。ξ）； 9：（ルξ）＝
9e（7。ξ）＝ μ劣／φ 2−
5 〜3 ＞o：丿〜（7nξ）＝
fG
（7nξ）＝
93（7。
ξ）ニ 9、（7。
ξ）＝
cosh βη
ξ／cosh βη COS 7n（1一
ξ｝／COS 7n sin 7nξ／COS 冫h sin 7n（ユー
ξ）／cos 冫気 COS 7nξ／COS 冫h cosh 冫h〔1一
ξ）／cosh rn sinh ルξ／cosh 7n sinh 7n（1一
ξ）／cosh7n
cosh 7nξ／cosh 7n （B
） x 軸に逆 対 称 とな る振 動モー
ド （A
） 平 板に垂直な方 向 （z 方 向 ）の振 幅 が x 軸 に逆対 称 と な る振 動モー
ド （A｝の変 位 成 分は下式で表さ れ る。 ・（ξ，
・）一
・・｛
甼
・。（・）・・n μ。ξ坏
・・（ξ｝・・n副
佐（ξ，
・）一
・塵
。
（・）・・S μ。
ξ ・甼
砧・（o
… μ・η｝
…
一
・
・
…
（7）e
“ξ，
・1
−
・（
￥
・。m（・〉・… 。ξ ・鞠
ξ）・ ・S μ’・レ
φ た だ し，
μ皿＝
（2m −
1）π／2，
μ 广 ノπ，
ノ，
n＝L
2，
3，…
上 式で，
ω蹴（η）一
e
．（ξ）は下 記の条 件か ら得 ら れる解．
を重ね合わ せ る と求ま る。 Mr（0，
η）＝
ΣiXj sin μ，η jMx
（1，
η）＝
Σ2Xj sin μ」η 」 乢（ξ，
1）＝
Σ｝Y
sin ge．，ξm た だ し
，
1X ，，
zX 」・
，
玲 は未 定 係 数。 （7
）式で， ZOm（η｝，
娠 （η），
お よ びeym
（η）は α島＝
1
（μ盍一
Ω，）φ zi，
β盈＝
1
（μ孟一
9，）φ ！1
γ嶺＝
1
（ μ義一93
）φ21 と お く と （た．
だ し，
α m，
βm，
7m＞0） tVm；Y
．lf
，（α皿η）−
f
！（β皿η）l
exm
＝y
』 乙μIs
］1プ；（α祝η）−
s2ifz（β”1η）十 s3ノヨ蜘η）｝eym＝y
皿ls
、1 αmg ，（am η）−
s，ii？π9z（βmη） 十83μ跳φ293 （7fmη）／7ml と な り，
fi
（a．ny）− g3
（んη）は以 下の よ うになる。
μ張
一
Ω，〈0
：fi
（α mη）＝
sin am η／sin α m gl（α飢η）＝
cos am η／sin am μ乱一
Ω，＞0：fi
（α mη〉＝
sinh a兀η／sinh α m gi（a。η）＝
cosh a。ηfsinh
a。
μ氛
一
Ω・＜0：f
、（V
βm O）＝
sin βmη／sin β拠92
（βmη）＝
cos β皿η／sin β皿μ姦
一9
，＞0：f2
（β院η）＝
＝
sinhflm η／sinh β肱93（βmη）
＝
cosh β徊η／sinh β．
μ島一9
，〈0 ：fi
（冫fMrp）＝
sin rmη／sin ん9
，（7mη）；
COS ）勧η／sin7fm
μ姦
一
Ω3＞0 ：fs
（？rmη）‘ sinh 7．η／sinh7fm
93
〔？fmη）＝
cosh 7rmη／sinh ？fm ま た， w，（ξ），
砧ノ（ξ），
および 名ノ（ξ）は・
1
−
lx
・i
／ip2
−
9，1
，
βi
−1
μ｝／φL9 ，1
γ晝
＝
1
μ婁／φ2一
Ω31，c’
＝
s・Ω・φ 2−
2 μ1
，
d
、＝
s，Ω，ilz
−
2μ呈 とお く と （た だ し，
α」，
β」，
乃＞0
＞ wノ＝
1XJlf
，（αプξ）−
J〜αヨ，ξ）i
＋、x
，l
c，fi
，f
、（a，ξ）− d
，α ，f
、（fi
，ξ）｝ e』
」＝、
XjlSiia
」91（α 丿ξ）−
s，
、B
し92（β，ξ）−
S3μ；93（乃ξ）／乃φ2｝十 2X ／a ノβノISIICj94
（α ノξ｝−
s21d ，9s（β，ξ）−
2s3μ多96（）！・
ξ）｝ ey」＝
1．
￥」μ」ISII
／」〔α」ξ｝−
Stl．
ん（β丿ξ）＋s3f3〔％ξ）｝ 十2X ）μノ18nC
，βノプ1
（αゴξ）−
S2idjαjfs （β」ξ〉 ＋2s3
α丿β，乃φ 2 プ乙（rjξ）｝ とな り，
fi
（a」ξ）〜
9fi（乃ξ）は以下の よ うに な る。
μ
1
／φ2一
Ω1くo；f
，
（α，ξ〕；
cos a，（1一
ξ）／cos ・、一 91 一
f
，
（a，ξ）＝
91（α丿ξ）＝
≦7‘〔α丿ξ）＝
μ1
／φ2一
Ω，＞0
：f
、（α、ξ）＝
f4
（αプξ｝＝
sin α jξ／cos aJ sin α丿（1一
ξ｝／cos α ， COS α」ξ／COS αゴ cosh α j（1一
ξ）／cosh α j sinh ajξ／cosh α j9i（a」ξ〉
＝−
sinh α」（1一
ξ）／cosh a94（α ノξ）
＝
μ3
／φ2−
≦？，＜0：f
！（β丿ξ）＝f
，u
β，ξ）＝
9，eSJ
ξ）＝ 9，（β，ξ）＝
μ多／φ2−
9，＞0 ：f2
（β ξ｝＝
五（B
，ξ）＝ 丿 cosh α，ξ／cosh α i cos β，（1一
ξ）／cos β， sin β丿ξ／COS β丿 sin βノ（1一
ξ）／cos β COSB
，ξ／COS β丿 cosh βン（1一
ξ）／cosh βン sinh β丿ξ／cosh β丿 9，U
β，ξ）＝−
sinh βj（1一
ξ）／cosh β 9，（β，ξ）＝
μ3
／φ 2− 9s
＜0 ：f3
（乃ξ）＝
fG
（7Jξ）＝
9，（7
，ξ｝・
＝
96（ 7je
）＝
μ1
／φ2− 93
＞0
：ノU
（乃ξ）＝
j cosh β，ξ／cosh β丿 COS 7j（1一
ξ）／COS 乃 sin 7ンξ／COS 乃 sin 7J（1一
ξ｝／COS γ 「 cos γJξ／cos γj cosh γF（1一
ξ）／cosh 7jf
‘（乃ξ）＝−
sinh7
，ξ／cosh 乃 93（乃ξ）＝
sinh γJ（1一
ξ）／cosh 乃 96（乃ξ）；
cosh r，ξ／cosh 冫3 3．
2） 二隣辺 固定他辺自由のMindlin
平 板 （図一
2） 二隣 辺 固定他辺自由板の境界 条 件は， 無 次 元化 した座 標表示で次の よ うにな る。
w（0，
η）＝e
』（O，
η）＝ e』（O，η）＝
Ow（ξ
，
0
）＝6
』〔ξ，
O
）〒Oy
（ξ，0
｝＝O
Mx（1，
η｝＝
Mxy（1，
η）；Qx
（1，
η）＝
OMy（ξ
，
1＞＝
＝
Mxy
（ξ，
1）＝Qy
（ξ ，1）； Oh
記の条 件の内ω（0
，
η）＝ e ，（0，
η〉＝ w（ξ，0）； e．
（ξ，
0）・
・
・
・
・
・
・
…
（8
）Mxy
（1，
η）＝
Q
エ（1，η）＝
M』y（ξ，1）＝
Qy
（ξ，
1
）；O ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
…
（9） を満 足す る基 本 解は，
以 下の よ うに な る。
・（ξ，
・）− a’［
1
？
・v・
（・）・ ・n μ・ξ ・Zl
］… （ξ）… μ・η｝
e．
（ξ．
・）一
・｛
Zl
］・e． 。（・）・・S μ・ξ ・il
］・e。
・（ξ）・・n μ・・1
e．（ξ，・）一
・｛
羃
砺・（・）・in
μ・ξ ・甼
縣 （ξ〕・・S ・…］
／φ…
一・
…
（10＞ た だ し，
μ隅＝
（2m−
1｝πノ2，
μn＝
（2η一
1｝π／2，
m，
n＝
1，
2，
3，鱒・
上 式 で，
ZVm（η〉一
e．（ξ）は下記の 条 件か ら得られ る解一 92 一
「
α「
ロ「
ー
1
」
。「
一
一］
ξ．
＝／a「
ヱー
」
n＝
y／b 図一
2 二隣辺固定 他 辺 自由板の座標と無 次 元 化 座 標 を重ね合わ せ ると求ま る。
乢 （0，
η｝＝
Σ］iXnsin μnη n Mx（1，
η）＝ Σ12Xn
sin μnη 」』f
試ξ，
0
）＝
ΣlYmsi 皿 μ冊ξ 皿My
（ξ伽1）＝
Σ2Y 皿sin Um ξ た だ し，
1Xn，
2Xn，
iYm，
，】 は未 定 係 数。
（10 ）式で， tem（ワ）， exm〔η）， お よ び eym（η）は
a盃
；
1
（μ銑一91
）φ 21，
β鉛
＝
1
（μ残一
Ω2）iptl
γち＝
1
（ ，tら一
Ω3）φ 21 Cm＝
8！Ωs−
2μk
，
d皿＝
81 Ω3−
2μ凱 と お 〈 と （た だ し，
α m，
β加
，
7m＞0 ）UJm
；
1Ymlfi
（amrp ）−
ftt
βm η）1
十2y 』寉
IC
肌β皿
丿 （α皿
η｝一
（lmam 丿〜（i
？mO ）｝e
． 狙＝ ，V
皿μ皿
18
，lf，（amη）−
S21f （β況η）十 S3f3 （万 η）｝ 十2Yμ
肌
｛8，lC皿
β皿
f
，（am η）−
S！1dm α mfs （fith
η） 十2s3αn19m
rm
プ1
（冫勧η）／φ i ｝eym＝
、Ym
iSn
αmgL （am η｝−
82、βmgz （β孤η）−
83μ姦φ293 （伽 ηソみ｝十！Ym
αmBml8
，，Cη
94（a皿
η）−
Sudmgs （β皿η）−
2s；μち96（rthη）i
とな り，
fi
（απη）〜
9fi（7mη）は以一
トのよ うになる。
μ島一
621＜0．
ノ試α皿
η）＝f4
（am η）＝
9、（α mη）＝
94〔α皿
η）； μ巍一91
＞0 ：丿fi
（α．η）＝
f4
（am η）＝
cos α初
（1一
η）／cos α皿
sin α m η／cos α肌
sin α 餌（1一
η）／cos α况 cos α皿
η／cos αノ cosh α m（1一
ηソcosh am sinh α皿η／cosh α皿91（amOP）
＝−
sinh am 〔1一
η）／cosh am9‘〔α mη）
＝
μk
− 92
〈二〇 ：丿〜（β瓢η1
＝
f5
（βηη）＝
9
，（βmη）＝
9，（β皿η）＝
μ嵩一
≦22＞0 ：ノ｝（βmη〉＝
轟（βη
η）＝
cosh α 研η／cosh α皿 cos β皿（1一
η）／cos β膚 sin β皿η／COS β肌 sin β皿
（ユー
η）／cos β皿
cos β皿
η／cos β田
cosh β珊（1一
η）／cosh β皿 sinh β肌
ηノcosh β皿
9r（β皿η）＝−
siph βm（1一
η）／cosh β珊
9、（β瓢η）
＝
co §hβ隅η／cosh β孤 擁
一
Ω、く0：ゐ（7f。・ny）＝
COS ル（1一
η）／COS ・rm
fs
（7m
η）＝
sin ？fmη／cos ）価 93（冫観η）＝
sin 冷（1一
η）／cos ？fm 96（冷 η）＝ COS 冷 η／COS 為 μ盃一
Ω，＞0
：f3
（？fmη）＝
cosh7m
（1一
η）／cosh 7fmf
、｛r．η）・
＝
−
sinh 7．η／cosh 7m93
（7mη）＝
sinh ？fm（1一
η）／cosh 冫衍95
（7
徳η）＝
cosh 乃随η／cosh ）fm ま た，
ω n（ξ），
佐π〔ξ），
および6獗（ξ）は a：＝
lltk
／tO2
一
Ω，i
，
β毳＝
1
μ鳧／φ2一
Ω、1
γ第
＝
1
μ夷／φ2−
9sl，
Cn；
S293il
：−
2μ孟，
dn＝
＝
S】93
φ 2−
2 μ覧 とお くと （ただし，
ant βη，
rn＞0〕 ω。＝
iX 。lf
，（α。ξ）一
五（β。ξ）｝ ＋2XnICnSn プ1
（α nξ）− dn
α nノ』（βπξ）｝ 亀η
＝
tXniSllan91 （αnξ）−
Stitgn92 （βnξ）−
8、Pt鳧9，（7nξ）／rnip21＋，Xn
α，
βnisliCn9 、（anξ）−
s，、d
。9，（β。ξ）−
28 ，勗 9、（7。ξ）I
e
n＝ iXnXtnlSiif，
〔αnξ）−
s21f2（βπξ）＋s3f3（7nξ）i
＋2XtLStniSllC 調π丿1
（α nξ｝−
S2］dn
α nfs （βnξ） ＋2s3anβn7nip2 丿 （7nξ）1
と な り，
fi
（α nξ）〜
g6（7nξ）は以 下の よ うになる。
μ鳧／φ2− 9
，＜0
：fi
〔α nξ）＝
cos an〔1一
ξ）／cos α n ／1
（α冗ξ）＝
sin anξ／COS απ9
，（anξ）＝
sin α n（1一
ξ）／COS an 94（anξ）＝
cos α nξ／cos α n μ蓋／φ2−
9，＞0 ：fi
（αnξ）＝
cosh αn（1一
ξ＞／cosh α nf4
（απ
ξ）＝
sinh an ξ／cosh an gi（aπ
ξ）；−
sinh an〔1一
ξ）／cosh an 9、
（anξ）＝
cosh anξ／cosh α n μ託／φ 2−
92 〈0 ：fz
（βnξ）＝
COS βn（1一
ξ｝／cos βnfs
（β．
ξ）＝
sin βπξ／cos βη92Cβnξ）； sin β
π
（1一
ξ）／COSfin
95tβπξ）
＝
COS βηξ／COS βπ μ蓋／φ 2− 92
＞0
：ノ』（βnξ）＝
cosh βη（1一
ξ）／cosh βnfs
（βnξ）＝sinh βηξ／cosh βπ 92C／？nξ）
＝−
sinh βn（ユー
ξ）／cosh βn 95（β陀ξ）＝
cosh βπξ／cosh βπ μ毳／φ2一
Ω3〈0
：f3
（7nξ｝＝
cOS 7n（1一
ξ）／cos7n
f6
（7。ξ〕＝
sin7
。ξ／cos rn 93（7nξ）＝
sin 7n（1一
ξ｝／cos7n
96（7n
ξ）＝
cos7n
ξ／cos7n
μ：／ip
：− 9
，＞0
；fs
（rnξ）＝
cosh Yn〔1一
ξ）／cosh rnf6
（7nξ）＝−
sinh 7nξ／cosh 7n 93（7nξ〉＝
sinh 7n（1一
ξ）／cosh 7nge
（7n
ξ〉＝
cosh 7nξ／cosh rn 3．
3） 未 定 係 数の決 定 自 由辺 と 固定辺 を有す る Mindlin 平 板の 固 有 振 動 数 と 固有振 動モー
ドは，
上記に掲 げ た変 位成分の 基本 解と 未 充足の境界条件を用い，
フー
リエ正 弦・
余 弦 級 数に展 開し，
未 定 係 数に関し て係 数 比 較か ら得られ る 固有 方 程 式を解くと求まる。
三辺固定一
辺自由板の場合：er
（0，
η）＝e
，（ξ，
±1
）；Mr
（1，
η）＝0
か ら，
1Xn （LX ン），
2Xn （，
XJ
＞，
お よ びYm
につ い て 1 2 1 1…
0”
…
；
0000“
コ て 劇 い＝
。 弍 。瓢
驚
鷺
臨窯
塩 螂箆
鯛
・ー
自＝
お ヨヨ
く
ヨ
ヨ
ヨ ＆ 臨 陥 辺 」
，
凡 邸 陥 κ 他 嫁 玲激
纛
贈
激
漁
ヨさ
し
ユ
る
K
κK
隣円
叺 勘K
κ κK
ー
二 匁 認ー
た ら ま か固有 方程 式の 解は
，
既報 告に倣い 1次反復 法を適 用す る と容易に得ら れ る7L8 ）。4，
計算結果の比 較と考察計算は
，
級 数 展 開の 項 数 を各31項 採 用 し， 倍 長演 算 で有効 数字4
桁まで収 束さ せ た。4．1
） 本解法の収束状況 三 辺 固 定一
辺自 由正方 形 板と二隣 辺 固 定他辺自由正方 形 板に つ い て，
級 数 展 開の項 数による収 束 状況 を表一1
に掲げ た （板厚 ／短辺 長；
O．
1，
レニ
O．
2 ， z ＝ 5／6 ）。
有 効 数 字4桁で は，
両 板 共， ほ ぼ ll項 以 上の項 数を採 用 する と収 束 する ことが分か る。
4．
2＞r
辺 固 定一・
辺 自由 板の既 往 解との比較 自 由辺 を有する平 板の既 往解は， 三 辺固 定一
辺 自 由板 に限 定さ れ て お り，
正 方 形 板につ い て比較を行うことに する。
固 有 振 動 数は， 下 記の量で無次元化 し，
λ の値で 比 較を行う。
表一
1 固有 振 動 数λ の収 束状況 （a ）三辺 固定一
．
・
辺 自 由正 方 形板 対 称モー
ド 逆対称モー
ド 嚇 1次 2次 3次 1次2
次 3次 6．
22．
53635．
37165．
39455．
43468．
82595．
236 ll22．
53436．
a7165．
39555．
4306 ＆．
62495．
256 16Z2．
53336．
37066．
39555．
42958．
82395、
288 2122．
53a36．
3了o66．
39555，
42868．
82395．
288 252Z．
53336．
3m66．
39555．
4286a．
82295，
〜6B 312Z．
53335．
3了o66．
39555，
42868．
6Z295．
288 （b） r一
隣辺 固定 他辺自 由正方 形 板 蠍 1次 2次 3次 4次 5次 6次 66．
B9123．
06024．
96043．
45556．
4935B．
137 116．
88923．
05324．
9594 」．
45856．
4册 58．
L29 166．
B8923．
05124．
95943．
45656．
40658．
126 216．
889z3．
05124、
95943．
45556．
40658．
125 266．
889z3．
05024．
95943．
45556．
4855B．
且25 316．
8δ923．
050Z4．
95943．
45556．
4畠55B．
124．
−
93
ω霊 λv厩 ／α2
・
・
・
・
・
・
……・
一
…・
・
………
（13） Mindlin 理論に基づ く 三 辺固定一
辺 自 由 板の基 本 振 動 数 （本計 算で は1
次の対称モー
ド）につ いて比較を行 う。 な お，
（ユ〉式に表れ る せ ん断補正係数 x の値は，
Y．
K．
Cheung
らs／，
H．
M．
Nelson41，
D，
J
．
Dawe ら5 ｝は zニ0．8601
0 ．
L ，
Roufaeil
ら6｝は x・
＝
O．
822
（＝ π’
／ユ2〕 表一
2 二辺 固 定一
辺 自 由 板の基 本振 動 数の比較 （正 方 形板 ；v＝
0．
3｝ h 基 本 振動 数 剪 断一
補 正係数 備 考 α （儿） 〔κ ） 0．
0124．
00 0．
860D．
」．
Dawe【Ref．
5
］ 23，
88 0．
＆50 本 解法 23．
88 0．
833 本 解 法 23，
94 0．
8220．
L．
Roufae 工1［Ref，
6】 23．
88 0．
822 本 解法 0．
0522．
87 0．
860H．
M．
因elson ［Ref．
41 22．
94 0．
860Y．
K．
ChemglRef．
3］ 23．
39 0．
860 本 解法 23．
38 0．
833 本 解法23．
38
o．
822
本解 法 0．
1022．
32 0．
860D．
J．
跏 e［Ref．
5】 21．
67 0．
860H．
鬧，
Nelson［Ref．
4］21
．
79
0．
860Y
．
K．
Cheung
［Ref．
3
］22
．
13 0．
860 本 解法22
．
09 0．
833 本 解法22
．
15 0．
8220．
L．
Roufaeil ［Ref．
6】22
，
09 0．
822 本解 法0
．
2018．
54 0．
860Y．
K．
Cheung［Ref．
3］18
．
73 o．
860 本 解 法 18．
53 0．
833 本解 法 18．
63 0．
822 本解 法 ま た静的弾性解析の 場合，E ，
Reissnerii
】は x＝ o．
833
（＝ 5／6） を採用し ている。 表一
2は，一
ヒ記に掲げ た 三種 類の せ ん断 補正係 数 xを 使 用し た本 解法の値と既往解の比較を行っ た もの である （ボア ソ ン比 v＝0．3
）。
本方 法の結果は，Y ．
K ．
Che −
ung ら お よびH ．
M ．
Nelson
の値と若 干異な る値となっ て いる が，
D．
J
、
Dawe ら と0 ．
L．
Roufaeil らの値と ほ ぼ一
致してい ること が 分 か る。
ま た， せ ん断 補正係 数x の値 x＝ 0．
822 と x＝ 0．
833の 違い は，
有 効数字 3 桁目 に表れ る程度で，
固有振動 数にほ と ん ど影 響 し ない こ と も分か る7）・
SI 。 1．
o o．
5 1．
0 o．
LO 0．
1．
o．
0、
01 σ．
］ 0．
2 09θ1 0．
1 0，
2 0．
Ol O、
1 0．
2 0・
Ol （a ｝ B／α≦1の場 合 （x−
5／6，
v＝
O，
2｝ o．
5 1．
o o．
t 1．
o o．
ユ．
o，
「
0．
1 0．
2 o．
Ol o．
J o ど o．
oユ o．
1 ρ．
2 卩．
σ 「 o．
i o ぢ a クj 9 1 0
．
2 （b） B／a ＞1の場 合 ｛z＝
5〆6，
u＝
O．
2） 図一
3 三辺 固 定一．
辺自山板の Mlndhn 理 論 解 〔ω）と占典 理 論 解 〔ωc）による 1次 固 有 振 動 数の比 較 表一
3，
1 三 辺 固 定一
辺 自由板の固有振 動 数 λ （x 軸に対 称 な 振 動モー
ド） h α／B＝
1．
0 α／B＝ 1．
2 α／B＝
1．
6 α／B； 2．
0一
B 正〜欠 2次 3次 1次 2次 3次 1次 2次 3次 1次 2次 3次 o．
o1024．
1440．
コ876．
932 言．
5234．
3458．
9222．
9528．
6241．
5622．
7126．
15a コ．
93 D．
02524．
0440．
0876．
1323．
4234．
1258．
4122．
B628．
4541．
2822．
6226．
0333．
74 o．
05023．
7039．
1873．
6923．
ll33．
4556．
8622．
562 ＆．
Ol40．
4222．
3425．
6533．
置3 D．
07523．
19 ユ了．
go70．
2922．
6232．
4954．
6722．
1127．
3239．
172 【．
8925．
oε 32．
24 0．
10022．
5336．
3765．
4022．
臼o31．
3【 52．
1021．
51z6．
4537．
672 置．
3124、
3151．
13 0．
12521．
7834．
η 62．
3621．
2830．
Ol49．
3B20．
8225，
4636．
0320．
6323．
462 臼．
90 0．
15020．
9633．
025B．
4120．
5028．
6646．
6520．
田 24，
4234．
3419．
8922．
5528．
61o
．
17520．
IZ31．
3454．
6719．
6a27．
3144．
Ol19．
2ε 23．
3632．
6719．
1221．
6027．
32o
．
20019．
2629．
7251．
201B．
B625．
9941．
51 畳B．
4922．
3031．
0518．
3320．
6626．
05 古典理論 24．
1了 40．
4877．
且5a ヨ．
5434．
4159．
0622．
9了 28．
6641．
6322．
了226．
且853．
98 h B／α＝
1．
2 B／α＝
1．
4 B／α＝
1．
6 B／α；
2．
o一
α 1次 2次 3次 1〜欠 2次 3次 1次 2次 3次 1次 2次 3次 0．
01017．
4534．
3071．
7813．
4530．
7663．
了010．
9026，
5349．
367．
95826．
oま 32．
54 o．
oz517．
3934、
0771．
H13．
4130．
5763．
20m．
a728，
3749．
067．
939z5．
89 認．
400
．
05017．
ZO33．
4269．
0413．
3030．
056i．
56lo．
7527，
934B．
047．
83925．
5331．
940
．
断516．
9232．
4966．
1且 13．
1229．
3059、
1310．
662 了．
29 弱．
5z7．
81a25．
0131．
23o
．
Koo 且6．
5631．
3662．
6912．
8923．
3955．
23m．
5126，
5044．
657．
7z924．
3530．
340
．
125lh．
1330．
ll59．
09i2．
6a2 了．
3653．
11 田．
32a5，
614a．
587．
62a23．
6029．
310
．
i5015．
6628．
8孟 55．
52 且2．
3226，
2849．
96 田．
1124、
6640．
447．
50422．
7928．
200
．
17515．
1627．
5052．
10 且2．
0025．
1846．
929．
8B923．
5E38．
317．
3742 二．
9427．
06o
．
20014．
6426．
2248．
90n．
6624．
0844．
069、
6512z．
6936．
257．
2362 互．
08z5．
92古典 理 論 17
．
4734．
3771．
95 田．
4了 30，
B263．
31m．
9128、
5849．
437、
96625．
0432．
57表
