経済統計：前期期末試験
村澤 康友
2007
年8
月8
日注意：3問とも解答すること．
1.（20点）以下の用語の定義を式または言葉で書きなさい（各20字程度）．
（a）標本分散
（b）F分布
（c）帰無仮説
（d）p値
2.（30点）Bin(1, p)から抽出した大きさnの無作為標本をX := (X1, . . . , Xn)とする．
（a）X =xの確率を求めなさい．
（b）X =xを観測したときのpの対数尤度関数を書きなさい．
（c）pのML推定量を求めなさい（導出の過程を示すこと）．
3.（50点）X新聞とY放送が同日に行った内閣支持率の世論調査の結果は次の通りであった．
有効回答数 内閣支持率
X新聞 400 50%
Y放送 400 40%
両調査とも母集団は日本の有権者全体である．調査結果の差異について以下の問いに答えなさい．
（a）Bin(1, p)の平均と分散を求めなさい．
（b）Bin(1, pX),Bin(1, pY)から独立に抽出した無作為標本(X1, . . . , Xm),(Y1, . . . , Yn)の標本比率（＝
標本平均）をpˆX,pˆY とする．pˆX−pˆY の漸近分布を求めなさい．（ヒント：まずpˆX,pˆY の漸近分 布を求める．）
（c）次の検定を（近似的に）行うための検定統計量を式で与えなさい．
H0:pX=pY vs. H1:pX̸=pY.
（d）検定の有意水準を5％とする．標準正規分布表を利用して検定の棄却域を定めなさい．
（e）上の世論調査の結果について検定を実行しなさい．
解答例
1. 統計学の基本用語
（a）(X1, . . . , Xn)の標本分散は
s2:= 1 n−1
∑n
i=1
(Xi−X¯)2
.
• nで割ったら0点．
• X¯ をµとしたら0点．
• X¯ をµとしてnで割ったら1点減（母平均が既知の場合の標本分散と解釈できる）．
（b）U ∼χ2(m)とV ∼χ2(n)が独立のときの(U/m)/(V /n)の分布．
•「独立」がなければ2点減．
•「U ∼χ2(m), V ∼χ2(n)」がなければ0点．
•「(U/m)/(V /n)」がなければ0点．
• 定義でなければ0点．
（c）とりあえず真と想定する仮説．
•「検定（棄却・採択）の対象となる仮説」は3点．
（d）H0の下で検定統計量が実現値以上になる確率．
•「H0の下で」がなければ1点減．
• 定義でなければ0点．
2. 母比率のML推定
（a）
Pr[X =x] = Pr[(X1, . . . , Xn) = (x1, . . . , xn)]
= Pr[X1=x1, . . . , Xn =xn]
= Pr[X1=x1]· · ·Pr[Xn=xn]
=p∑ni=1xi(1−p)n−∑ni=1xi.
• X∼Bin(n, p)は0点（X ̸=X1+· · ·+Xn）．
（b）
ℓ(p;x1, . . . , xn) =
∑n
i=1
xilnp+ (
n−
∑n
i=1
xi )
ln(1−p).
（c）最大化の1階の条件は ∑n i=1xi
p∗ −n−∑n i=1xi
1−p∗ = 0, すなわち
(1−p∗)
∑n
i=1
xi−p∗ (
n−
∑n
i=1
xi )
= 0.
したがって
p∗=
∑n i=1Xi
n .
3. 母比率の差の検定
2
（a）平均は
1·p+ 0·(1−p) =p.
分散は
(1−p)2·p+ (0−p)2·(1−p) =p(1−p)2+p2(1−p)
=p(1−p).
• 各5点．
（b）標本比率の漸近分布は
ˆ pX
∼a N (
pX,pX(1−pX) m
) , ˆ
pY
∼a N (
pY,pY(1−pY) n
) .
両者は独立なので ˆ pX−pˆY
∼a N (
pX−pY,pX(1−pX)
m +pY(1−pY) n
) .
• 標本比率の漸近分布で5点．
• 母分散を単にσ2X, σY2 と書いたら5点減．
• この段階でpX=pY としたら0点．
• 母数pX, pY と推定量pˆX,pˆY を混同したら0点．
（c）標準化すると
ˆ
pX−pˆY −(pX−pY)
√pX(1−pX)/m+pY(1−pY)/n
∼a N(0,1).
検定統計量は
Z := pˆX−pˆY
√pˆX(1−pˆX)/m+ ˆpY(1−pˆY)/n.
• 分母をpX, pY で書いたら5点減．pX=pY =pとしても同様．
• 標本分散を単にs2X, s2Y と書いたら5点減．
（d）棄却域は(−∞,−1.96]∪[1.96,∞]．
• [1.96,∞]のみは5点減．
• 片側検定は0点．
（e）検定統計量の値は
Z= .5−.4
√.5(1−.5)/400 +.4(1−.4)/400
= .1
√.49/400
= .1 .7/20
≈2.86.
したがってH0は棄却される．
3
• 検定統計量の値が正しくなければ0点．
• 検定統計量の値が正しくても結論を間違えたら5点減．
※答案は返却します．採点や成績に関する質問にも応じます．オフィスアワーの時間（月・金の2限）に研 究室まで来てください（夏季休業中は随時）．
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