計量経済 II ：期末試験

計量経済 II ^{：期末試験}

村澤 康友 2017 年 1 月 24 日

注意：3問とも解答すること．結果より思考過程を重視するので，途中計算等も必ず書くこと（部分点は大 いに与えるが，結果のみの解答は0点とする）．

1.（20点）以下の用語の_定˙義を式または言葉で書きなさい（各˙ 20字程度）．

(a)棄却域(b)χ²統計量(c)適合度検定(d)決定係数

2.（30点）ある将棋の対局の中終盤50手の将棋ソフトとの一致率はX棋士が88%（22/25），Y棋士が 60%（15/25）であった．両棋士の（無限仮説母集団における）真の一致率をpX, pY，この対局の中終 盤各25手における一致率（＝標本平均）をpˆX,pˆY とする．次の片側検定問題を考える．

H0:pX =pY vs H1:pX > pY.

各対局者と将棋ソフトの指し手の一致／不一致は独立かつ同一なベルヌーイ試行であり，また互いの指 し手についても独立と仮定する．

（a）pˆ_X,pˆ_Y の漸近分布を求めなさい．またpˆ_X−pˆ_Y の漸近分布を求めなさい．

（b）検定統計量を与えなさい．それはH₀の下でどのような分布に近似的に従うか？

（c）有意水準1％の検定の棄却域を定め，標本の大きさをnX =nY = 25として検定を実行しなさい．

※数値例はフィクションです．また分析の目的は両棋士の棋風の差異の検証であり，本データのみで不 正行為の有無の検証は不可能です．

3.（50点）2変量データを((y1, x1), . . . ,(yn, xn))とする．yiのxi上への定数項のない古典的正規線形回 帰モデルは

yi=βxi+ui

{u_i} ∼IN( 0, σ²)

βのOLS推定量をb，σ²の不偏推定量をs²とする．次の片側検定問題を考える．

H0:β= 1 vs H1:β >1

（a）OLS問題を書きなさい．

（b）bを式で与えなさい．

（c）bの分布を求めなさい．

（d）s²を式で与えなさい．

（e）検定統計量を与えなさい．それはH0の下でどのような分布に従うか？

解答例

1. 統計学の基本用語

（a）標本（検定統計量）の値域でH0を棄却する領域．

•^「H0を棄却する領域」のみは2点．

•「棄却する領域」のみは0点．

（b）H0の下でχ²分布にしたがう検定統計量．

•^「χ²分布にしたがう検定統計量」のみは1点．

•^「χ²分布にしたがう統計量」のみは0点．

（c）母集団分布に対する標本の適合度の検定．

•「適合度の検定」のみは0点．

（d）R²:= ESS/TSS． 2. 2標本の母比率の差の検定

（a）

ˆ pX

∼a N (

pX,pX(1−pX) nX

)

ˆ p_Y ∼^a N

(

p_Y,p_Y(1−p_Y) nY

)

両者は独立なので

ˆ

p_X−pˆ_Y ∼^a N (

p_X−p_Y,p_X(1−p_X) nX

+p_Y(1−p_Y) nY

)

• pˆX,pˆY の漸近分布で5点，pˆX−pˆY の漸近分布で5点．

• 統計量の漸近分布に統計量があったら0点．

（b）検定統計量は

Z:= pˆ_X−pˆ_Y

√pˆX(1−pˆX)/nX+ ˆpY(1−pˆY)/nY

H0の下でZ∼^a N(0,1)．

• ^{検定統計量で}5点，H0の下での分布で5点．

• 統計量の定義式に未知母数があったら0点．

（c）棄却域は[2.33,∞)．検定統計量の値は

Z:= .88−.60

√.88(1−.88)/25 +.60(1−.60)/25

= .28

√(.1056 +.24)/25

= .28·5

√.3456

= 1.40

√.3456

≈2.38 したがってH₀を棄却してH₁を採択．

2

• ^棄却域で5点，検定統計量の値で5点．

3. OLS

（a）OLS問題は

minb

∑n

i=1

(yi−bxi)² and b∈R

（b）OLS問題の1階の条件は

∑n

i=1

(−xi)2(yi−b^∗xi) = 0 すなわち

∑n

i=1

xi(yi−b^∗xi) = 0 正規方程式は

∑n

i=1

x_iy_i−b^∗

∑n

i=1

x²_i = 0

OLS推定量は

b^∗=

∑n i=1xiyi

∑n i=1x²_i

（c）βのOLS推定量は

b=

∑n i=1x_iy_i

∑n i=1x²_i

=

∑n

i=1x_i(βx_i+u_i)

∑n i=1x²_i

=β+

∑n i=1xiui

∑n i=1x²_i

3

したがって

E(b) = E (

β+

∑n i=1xiui

∑n i=1x²_i

)

=β+

∑n

i=1x_iE(u_i)

∑n i=1x²_i

=β var(b) = var

( β+

∑n i=1xiui

∑n i=1x²_i

)

= var (∑n

i=1xiui

∑n i=1x²_i

)

= var(x₁u₁) +· · ·+ var(x_nu_n) (∑n

i=1x²_i)²

= x²₁var(u1) +· · ·+x²_nvar(un) (∑n

i=1x²_i)²

= σ²∑n i=1x²_i (∑n

i=1x²_i)²

= σ²

∑n i=1x²_i

bは(y1, . . . , yn)の線形変換だから正規分布．したがって

b∼N (

β, σ²

∑n i=1x²_i

)

• ^期待値で2点，分散で4点，分布で4点．

（d）

s²:= 1 n−1

∑n

i=1

(yi−bxi)²

（e）標準化すると

b−β

√σ²/∑n

i=1x²_i ∼N(0,1) σ²をs²に置き換えると

b−β

√s²/∑n

i=1x²_i ∼t(n−1) 検定統計量は

t:= b−1

√s²/∑n i=1x²_i H₀の下で

t∼t(n−1)

• ^{検定統計量で}5点，H₀の下での分布で5点．

• 統計量の定義式に未知母数があったら0点．

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