経済統計：前期試験
村澤 康友 2005年8月3日
注意：3問とも解答すること．
1.（20点）以下の用語の定義を式または言葉で書きなさい（各20字程度）．
（a）統計学
（b）（確率変数の）分散
（c）自由度nのt分布
（d）標準誤差 2.（30点）
（a）区間[0,2]上の一様分布のcdfとpdfを式で書きなさい．
（b）ベルヌーイ確率変数の3次の積率を求めなさい．
（c）2つの独立な確率変数は無相関であることを証明しなさい（独立性の定義を用いること）．
3.（50点）某大学経済学部2回生の男女について，どちらが平均的に経済学をよく理解しているかを知り たい．そこで（復元）無作為抽出した男子64人，女子32人に対して試験を行い，次の結果を得た．
平均点 （標本）標準偏差 男子 50 28 女子 60 24 母数と統計量の区別に注意して，以下の問いに答えなさい．
（a）検定問題を定式化しなさい（問題意識を踏まえること）．
（b）平均点の差の漸近分布を求めなさい．
（c）検定統計量を与えなさい．
（d）H0の下で検定統計量の漸近分布を求め，有意水準5％の検定の棄却域を定めなさい．
（e）検定を実行し，結果を説明しなさい．
1. 確率・統計の基本用語
（a）ある全体について知るための方法論の体系．
•「国状学」の定義は2点．
•「統計的推測」の定義は2点．
•「記述統計学」の定義は0点．
（b）2次の中心積率（平均からの偏差の2乗の平均）．
• 式で表すならvar(X) := E¡
(X−E(X))2¢
．
• var(X) = E¡ X2¢
−E(X)2は定義でないので0点．
• データの分散，標本分散は0点．
（c）Z∼N(0,1)とX ∼χ2(n)が独立のときのZ/p
X/nの分布．
（d）推定量の標準偏差の推定値．
•「推定量の標準偏差」は2点．
• 標本平均の標準誤差p
s2/nは0点．
2. 確率分布の基礎
（a）任意のuについて
FU(u) :=
(u/2 for 0≤u≤2 0 elsewhere , fU(u) :=
(1/2 for 0≤u≤2 0 elsewhere .
（b）ベルヌーイ確率変数は
X :=
(1 with pr.p 0 with pr. 1−p. X3=Xより
E¡ X3¢
= E(X)
=p.
• 3次の積率の定義で5点．
（c）独立なら共分散が0となることを示せばよい．
cov(X, Y) := E((X−µX)(Y −µY))
= Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
(x−µX)(y−µY)fX,Y(x, y) dxdy
= Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
(x−µX)(y−µY)fX(x)fY(y) dxdy
= Z ∞
−∞
(x−µX)fX(x) dx Z ∞
−∞
(y−µY)fY(y) dy
= E(X−µX) E(Y −µY)
= 0.
• 独立性の定義を使わなければ5点減．
3. 2標本問題
2
（a）母平均をµX, µY，母分散をσ2X, σY2 とすると
H0:µX ≥µY,σ2X, σY2 >0 vs. H1:µX < µY,σ2X, σY2 >0.
• σX2, σ2Y >0はなくてもOK．
• H0は等号でもよい．
• H1の不等号は逆向きでもよい．
• 両側検定は5点．
• H0とH1が逆なら2点．
（b）標本の大きさをm, n，標本平均をX,¯ Y¯ とすると X¯ ∼a N
µ µX,σX2
m
¶ , Y¯ ∼a N
µ µY,σY2
n
¶ , X¯−Y¯ ∼a N
µ
µX−µY,σ2X m +σ2Y
n
¶ .
（c）標本分散をs2X, s2Y とすると，検定統計量は
Z := X¯ −Y¯ ps2X/m+s2Y/n.
• 標準化のみは5点．
（d）Z∼a N(0,1)よりZに関する棄却域は(−∞,−1.65]．
• H1の不等号が逆向きなら棄却域は[1.65,−∞)．
• 漸近分布で5点，棄却域で5点．
（e）標本平均の差の分散の推定値は s2X
m +s2Y n = 282
64 +242 32
= 784 + 2·576 64
= 1936 64
= 121 4 . 検定統計量の値は
Z := 50−60 p121/4
=− 10 11/2
≈ −1.82.
Z ≤ −1.64より有意水準5％でH0はH1に対して棄却される．すなわち女子の方が平均的によ く理解していると結論できる．
• 検定統計量の値が正しくなければ0点．
※答案は返却します．採点や成績に関する質問にも応じます．オフィスアワーの時間（月・水・金の昼休み）
に研究室まで来てください（夏季休業中は随時）． 3
