経済統計論 A ：前期試験

経済統計論

：前期試験

村澤 康友 2003年9月16日

注意：3問とも解答すること．

1. （20点）以下の用語の定義を式または言葉で書きなさい（各20字程度）．

(a) 標本空間 (b) 事象の独立性

(c) 確率変数 (d) 累積分布関数 2. （30点）

(a) 累積分布関数F(x) :=e^x/(1 +e^x)の密度関数を求めなさい．

(b) X ∼N(50,100)とする．Pr[X >70]を標準正規分布表を利用して求めなさい．

(c) U[0,1]の積率母関数を求めなさい．ただしU[0,1]は区間[0,1]上の一様分布を表す．

3. （50点）2次元確率ベクトル(X, Y)は以下の同時分布をもつ．

X\Y 0 1

0 1/4 1/4 1 1/3 1/6 (a) XとY の周辺分布をそれぞれ求めなさい．

(b) XとY の期待値をそれぞれ求めなさい．

(c) XとY の分散をそれぞれ求めなさい．

(d) XY の分布を求めなさい．

(e) XとY の共分散を求めなさい．

1. 確率の基本用語

(a) 試行において起こりうる結果（標本点）全体の集合．

• 「事象の集合」は0点．

• 「全事象」は定義ではないので0点．

(b) P(A|B) =P(A)なら事象AとBは独立．

• P(A∩B) =P(A)P(B)でもOK．

• 「Aが起こる確率がBに無関係」はOK.

• 「AとB（の結果）が（集合として）無関係」は0点．

• 「AとBが無関係に起こる」は2点．

例：白と黒のサイコロを投げる．Aは「白が奇数」，Bは「白と黒の合計が奇数」とする．Bが 起こる状況（黒が奇数か偶数か）はAの結果に依存しており，無関係に起こるわけではない．

(c) 試行の結果によって値が決まる変数．

• 「確率的に値が決まる変数」でもOK.

• 「確率分布をもつ変数」もOK．

(d) FX(x) := Pr[X≤x]．

• Pr[X < x]は2点．

• 逆符号等は0点．

• 累積相対度数は0点．

• 確率関数による定義（離散），密度関数による定義（連続）は2点．

2. 1変量分布の理論 (a)

f(x) := F⁰(x)

= e^x(1 +e^x)−e^xe^x (1 +e^x)²

= e^x

(1 +e^x)².

• f(x) :=F⁰(x)だけで5点．

(b) Z ∼N(0,1)とすると

Pr[X >70] = Pr

·X−50

10 > 70−50 10

¸

= Pr[Z >2]

= .022750.

• 標準化して5点．

(c) U ∼U[0,1]とすると

MU(t) := E¡ e^tU¢

= Z ₁

0

e^tudu

2

=

·e^tu t

¸₁

0

= e^t−1 t .

• MU(t) := E¡ e^tU¢

だけで5点．

3. 最も単純な2変量分布 (a)

X =

½1 with pr. 1/2 0 with pr. 1/2 , Y =

½1 with pr. 5/12 0 with pr. 7/12 . (b)

E(X) := 1 2 ·1 + 1

2·0

= 1 2, E(Y) := 5

12·1 + 7 12·0

= 5

12. (c) 簡単な求め方は

V(X) = E¡ X²¢

−E(X)²

= E(X)−E(X)²

= E(X)(1−E(X))

= 1 4,

V(Y) = E(Y)(1−E(Y))

= 35 144. 同時分布または周辺分布から定義通りに求めてもよい．

(d)

XY =

½1 with pr. 1/6 0 with pr. 5/6 . (e) 簡単な求め方は

Cov(X, Y) = E(XY)−E(X)E(Y)

= 1 6 −1

2· 5 12

= −1 24. 同時分布または周辺分布から定義通りに求めてもよい．

※答案は返却します．採点や成績に関する質問にも応じます．オフィスアワーの時間（水・金の昼休み）

に研究室まで来てください．

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