経済統計：期末試験
村澤 康友 2018 年 8 月 6 日
注意：
3
問とも解答すること．結果より思考過程を重視するので，途中計算等も必ず書くこと（部分点は大 いに与えるが，結果のみの解答は0
点とする）．1.
（20
点）以下の用語の定˙
義を式または言葉で書きなさい（各˙ 20
字程度）．（
a
）片側検定問題（
b
）χ
2検定（
c
）重回帰モデル（
d
）F
値2.
（30
点）回帰分析について，以下の問いに簡潔かつ正確に答えなさい．（
a
）回帰の誤差と残差の違いは何か？（
b
）ガウス＝マルコフ定理は何を主張するか？（
c
）ある回帰係数のOLS
推定値は3
，標準誤差は1
であった．t
値と両側p
値を求めなさい（標準正 規分布による近似でよい）．3.
（50
点）ある大学で祝日の授業実施を検討している．そこで無作為に抽出した10
人の学生に意見を求 めたところ8
人が反対であった．祝日の授業実施に反対の学生の割合をp
として，次の検定問題を考 える．H
0: p = 0.5 vs H
1: p > 0.5
（
a
）（漸近検定）i.
無作為標本を(X
1, . . . , X
n)
とする．標本比率X ¯
の漸近分布を導出しなさい．ii. H
0の下でPr [ X ¯ ≥ 0.8 ]
を求めなさい．
iii.
有意水準5
％の検定の結果はどうなるか？（
b
）（厳密な検定）i.
標本和S := X
1+ · · · + X
nの（厳密な）分布を導出しなさい．ii. H
0の下でPr[S ≥ 8]
を求めなさい．iii.
有意水準5
％の検定の結果はどうなるか？解答例
1.
統計学の基本用語（
a
）H
0: θ ≤ θ
0vs H
1: θ > θ
0 またはH
0: θ ≥ θ
0vs H
1: θ < θ
0．•
検定問題として書かなければ0
点．（
b
）χ
2統計量を用いる検定．• χ
2統計量の定義は2
点．•
「χ
2分布（表）に基づく検定」は何がχ
2分布か不明確なので0
点．•
「母分散の検定」は定義でないので0
点．（
c
）定数項以外に説明変数が複数ある線形回帰モデル．•
回帰の説明のみは1
点．線形回帰の説明のみは2
点．（
d
）H
0: β = 0
を検定するF
統計量の値．•
「H
0: β = 0
を検定する」がなければ1
点．2.
回帰分析の基礎（
a
）例えば単回帰モデルの場合，誤差はu
i:= y
i− E(y
i| x
i)
= y
i− α − βx
iただし
(α, β)
は真の係数．残差はe
i:= y
i− a − bx
iただし
(a, b)
は仮の係数．•
各5
点．（
b
）古典的線形回帰モデルの回帰係数のOLS
推定量はBLUE
．• BLUE
で5
点．（
c
）t
値は3
．標準正規分布表よりZ ∼ N(0, 1)
ならPr[ | Z | ≥ 3] = 2 Pr[Z ≥ 3]
= 2 · .0013499
= .0026998
したがって両側p
値は.0026998
．•
各5
点．3.
母比率の検定（
a
）（漸近検定）i.
中心極限定理よりX ¯ ∼
aN (
p, p(1 − p) n
)
• p = .5
としたH
0の下での分布は5
点．• N (
µ, σ
2/n )
は
5
点．2
ii. Z ∼ N(0, 1)
とするとPr [ X ¯ ≥ .8 ]
= Pr
[ X ¯ − .5
√ .5(1 − .5)/10 ≥ .8 − .5
√ .5(1 − .5)/10 ]
≈ Pr [
Z ≥ .3 √ 40
]
= Pr [
Z ≥ √ 3.6
]
≈ Pr[Z ≥ 1.90]
≈ .028717
•
検定統計量（z
値）のみは5
点．iii. p
値≦有意水準よりH
0は棄却．•
前問のp
値と整合的ならOK
．•
検定統計量と棄却域を用いてもOK.
•
棄却域のみは2
点．（
