経済統計：期末試験

経済統計：期末試験

村澤 康友 2016 年 8 月 1 日

注意：3問とも解答すること．結果より思考過程を重視するので，途中計算等も必ず書くこと（部分点は大 いに与えるが，結果のみの解答は0点とする）．

1.（20点）以下の用語の_定˙義を式または言葉で書きなさい（各˙ 20字程度）．

（a）t統計量

（b）正規方程式

（c）線形推定量

（d）標準誤差

2.（30点）2変量データを((y1, x1), . . . ,(yn, xn))とする．yiのxi上への定数項のない古典的正規線形回 帰モデルは

yi=βxi+ui

{ui} ∼IN( 0, σ²) βをOLSで推定したい．

（a）OLS問題を書きなさい．

（b）βのOLS推定量を求めなさい．

（c）OLS推定量の分布を求めなさい．

3.（50点）某大学経済学部2回生の男女について，どちらが経済学の理解度のばらつきが大きいかを知り たい．そこで（復元）無作為抽出した男子64人，女子32人に対して試験を行い，次の結果を得た．

平均点 （標本）標準偏差 男子 50 28 女子 60 24

正規母集団を仮定し，母数と統計量の区別に注意して，以下の問いに答えなさい．

（a）検定問題を定式化しなさい（問題意識を踏まえること）．

（b）標本分散の比の分布を求めなさい．

（c）検定統計量を与えなさい．

（d）H0の下で検定統計量の分布を求め，有意水準5％の検定の棄却域を定めなさい．

（e）検定を実行し，結果を説明しなさい．

解答例

1. 統計学の基本用語

（a）H0の下でt分布にしたがう検定統計量

•^「H0の下で」がなければ1点減

•^{「検定」がなければ}0点

（b）OLS問題の1階の条件を整理した式

（c）被説明変数の線形関数で表される推定量

（d）推定量の標準偏差の推定値 2. OLS

（a）OLS問題は

min

b

∑n

i=1

(yi−bxi)² and b∈R

• minがなければ0点

（b）OLS問題の1階の条件は

∑n

i=1

(−xi)2(yi−b^∗xi) = 0 すなわち

∑n

i=1

x_i(y_i−b^∗x_i) = 0 正規方程式は

∑n

i=1

xiyi−b^∗

∑n

i=1

x²_i = 0 OLS推定量は

b^∗=

∑n i=1x_iy_i

∑n i=1x²_i

（c）βのOLS推定量は

b=

∑n i=1x_iy_i

∑n i=1x²_i

=

∑n

i=1xi(βxi+ui)

∑n i=1x²_i

=β+

∑n i=1xiui

∑n i=1x²_i

2

したがって

E(b) = E (

β+

∑n i=1x_iu_i

∑n i=1x²_i

)

=β+

∑n

i=1xiE(ui)

∑n i=1x²_i

=β var(b) = var

( β+

∑n i=1x_iu_i

∑n i=1x²_i

)

= var (∑n

i=1x_iu_i

∑n i=1x²_i

)

= var(x1u1) +· · ·+ var(xnun) (∑n

i=1x²_i)²

= x²₁var(u1) +· · ·+x²_nvar(un) (∑n

i=1x²_i)²

= σ²∑n i=1x²_i (∑n

i=1x²_i)²

= σ²

∑n i=1x²_i

bは(y1, . . . , yn)の線形変換だから正規分布．したがって b∼N

(

β, σ²

∑n i=1x²_i

)

3. 2標本問題

（a）母平均をµ_X, µ_Y，母分散をσ²_X, σ_Y² とすると

H0:σ_X² ≤σ_Y²,µX, µY ∈R vs H1:σ²_X> σ²_Y,µX, µY ∈R

• ^{両側検定は}0点

• 逆の不等号の片側検定は明らかにH₀が棄却されないので0点．

（b）標本の大きさをm, n，標本分散をs²_X, s²_Y とすると (m−1)s²_X

σ²_X ∼χ²(m−1) (n−1)s²_Y

σ²_Y ∼χ²(n−1) s²_X/s²_Y

σ²_X/σ_Y² ∼F(m−1, n−1) F(m−1, n−1)のcdfをF(.)とすると，任意のxについて

Pr [s²_X

s²_Y ≤x ]

= Pr

[s²_X/s²_Y

σ_X²/σ_Y² ≤ x σ²_X/σ_Y²

]

=F ( x

σ²_X/σ_Y² )

• s²_X/s²_Y ∼F(m−1, n−1)はH0の下でなければ間違いなので0点

3

（c）検定統計量は

F := s²_X s²_Y

（d）H0の下でF ∼F(63,31)．F分布表よりFに関する棄却域は[1.726,∞)．より正確には p:= 1/63−1/120

1/60−1/120

= 57/(63·120) 1/120

= 57 63 として

F_.05(63,31) =pF_.05(60,31) + (1−p)F_.05(120,31)

= 57

63·1.726 + 6 63·1.670

≈1.721 と補間する．

（e）検定統計量の値は

F := 28² 24²

= 7² 6²

= 49

≈1.36136

F <1.726より有意水準5％でH0はH1に対して棄却されない．すなわち男子の方が理解度のば らつきが大きいとは言えない．

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