経済統計：前期追試験

経済統計：前期追試験

村澤 康友

年

月

日

注意：3問とも解答すること．

1.（20点）以下の用語の定義を式または言葉で書きなさい（各20字程度）．

（a）対立仮説

（b）有意水準

（c）回帰

（d）通常の最小2乗法（OLS） 2.（30点）

（a）「大阪府民の過半数は橋下知事を支持している」という仮説を確かめたい．検定問題を定式化しな さい．

（b）検定統計量のp値が0.30だったとする．有意水準5％の検定の結果を判定しなさい．

（c）誤差と残差の違いを説明しなさい．

3.（50点）府大生の（1日平均）勉強時間の分布を男女で比較したい．以下の通り記号を定義する．

男子 女子

母集団分布 N(

µX, σ_X²) N(

µY, σ_Y²) 標本 (X1, . . . , Xm) (Y1, . . . , Yn) 標本平均 X¯ Y¯ 標本分散 s²_X s²_Y すべての母数は未知とし，無作為標本を仮定する．

（a）次の検定問題を考える．

H0:σ²_X=σ²_Y vs. H1:σ²_X̸=σ²_Y.

i. 検定統計量を定義し，そのH0の下での分布を示しなさい（証明不要）．

ii. m=n= 10として有意水準5％の検定の棄却域を定めなさい．

（b）前問でH0が採択されたとする．そこでσ_X² =σ²_Y =σ²と仮定して次の検定問題を考える．

H0:µX =µY vs. H1:µX < µY. i. ¯X−Y¯ の分布を求めなさい．

ii. 検定統計量を定義し，そのH₀の下での分布を示しなさい（証明不要）．

iii. m=n= 10として有意水準5％の検定の棄却域を定めなさい．

解答例

1. 統計学の基本用語

（a）帰無仮説を棄却するとき代わりに採択する仮説．

（b）許容する第1種の誤りの確率．

（c）E(Y|X)を求めること．

（d）残差2乗和を最小にするように回帰係数を定める方法．

2. 統計学の基礎知識

（a）母集団における支持率をpとして

H0:p=.5 vs. H1:p > .5.

（b）p値＞有意水準なのでH₀は採択．

（c）説明変数をx，被説明変数をy，回帰係数をβ，その推定値をbとすると，誤差はu:=y−βx，残 差はe:=y−bx．

3. 2標本の検定

（a）分散の比の検定 i.

(m−1)s²_X

σ_X² ∼χ²(m−1), (n−1)s²_Y

σ_Y² ∼χ²(n−1).

両者は独立だから

s²_X/σ²_X

s²_Y/σ²_Y ∼F(m−1, n−1).

検定統計量は

F :=s²_X s²_Y . H0の下で

F ∼F(m−1, n−1).

ii. H0の下でF,1/F ∼F(9,9)．F分布表より

Pr[F ≥4.026] =.025, Pr

[1

F ≥4.026 ]

=.025, すなわち

Pr [ 1

4.026 ≤F ≤4.026 ]

=.05.

したがって棄却域は[0,1/4.026]∪[4.026,∞)．

（b）平均の差の検定

2

i.

X¯ ∼N (

µ_X,σ² m

) , Y¯ ∼N

( µY,σ²

n )

. 両者は独立だから

X¯−Y¯ ∼N (

µ_X−µ_Y, σ² (1

m+1 n

)) . ii. 標準化すると

X¯ −Y¯ −(µ_X−µ_Y)

√σ²(1/m+ 1/n) ∼N(0,1).

プールした標本分散をs²とすると，

s²:= 1 m+n−2



∑^m

i=1

(Xi−X)¯ ²+

∑n j=1

(Yj−Y¯)²





= (m−1)s²_X+ (n−1)s²_Y m+n−2 . σ²をs²に置き換えると

X¯ −Y¯ −(µ_X−µ_Y)

√s²(1/m+ 1/n) ∼t(m+n−2).

検定統計量は

t:=

X¯−Y¯

√s²(1/m+ 1/n). H₀の下で

t∼t(m+n−2).

iii. H₀の下でt∼t(18)．t分布表より

Pr[t≤ −1.734] =.05.

したがって棄却域は(−∞,−1.734]．

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