経済統計：期末試験

経済統計：期末試験

村澤 康友 2015 年 8 月 3 日

注意：3問とも解答すること．結果より思考過程を重視するので，途中計算等も必ず書くこと（部分点は大 いに与えるが，結果のみの解答は0点とする）．

1.（20点）以下の用語の_定˙義を式または言葉で書きなさい（各˙ 20字程度）．

（a）複合仮説

（b）有意水準

（c）単回帰モデル

（d）t値

2.（30点）大きさnの1変量データを(x1, . . . , xn)とする．µ:= E(xi)をOLSで推定したい．

（a）OLS問題を書きなさい．

（b）µのOLS推定量を求めなさい．

（c）OLS残差の和が0となることを示しなさい．

3.（50点）某大学経済学部2回生の男女について，どちらが平均的に経済学をよく理解しているかを知り たい．そこで（復元）無作為抽出した男子64人，女子32人に対して試験を行い，次の結果を得た．

平均点 （標本）標準偏差 男子 50 28 女子 60 24 母数と統計量の区別に注意して，以下の問いに答えなさい．

（a）検定問題を定式化しなさい（問題意識を踏まえること）．

（b）平均点の差の漸近分布を求めなさい．

（c）検定統計量を与えなさい．

（d）H₀の下で検定統計量の漸近分布を求め，有意水準5％の検定の棄却域を定めなさい．

（e）検定を実行し，結果を説明しなさい．

解答例

1. 統計学の基本用語

（a）複数の分布を許容する仮説．

（b）許容する第1種の誤りの確率．

•「許容する」がなければ2点（第1種の誤りの確率は検定の「サイズ」という）．

（c）定数項以外に説明変数が1つしかない線形回帰モデル．

（d）H0:β= 0を検定するt統計量の値．

•^「H₀:β = 0を検定する」がなければダメ．

• b/s.e.(b)は定義でないので0点．

2. OLS

（a）

minm

∑n

i=1

(xi−m)² and m∈R

（b）1階の条件は

∑n

i=1

(−2)(xi−m^∗) = 0 正規方程式は

∑n

i=1

xi−nm^∗= 0

したがって

m^∗= 1 n

∑n

i=1

x_i

• ^{正規方程式で}5点．

（c）OLS残差はe_i:=x_i−m^∗．したがって

∑n

i=1

ei=

∑n

i=1

(xi−m^∗) 正規方程式より右辺は0．

• OLS残差で5点．

• OLS残差を示さなければ0点．

3. 2標本問題

（a）母平均をµX, µY，母分散をσ²_X, σ_Y² とすると

H0:µX ≥µY,σ²_X, σ_Y² >0 vs. H1:µX < µY,σ²_X, σ_Y² >0

• σ_X², σ²_Y >0はなくてもOK．

• H0は等号でもよい．

• H1の不等号は逆向きでもよい．

• ^{両側検定は}5点．

2

• 2種類の不等号の混同は0点．

（b）標本の大きさをm, n，標本平均をX,¯ Y¯ とすると

X¯ ∼^a N (

µ_X,σ²_X m

)

Y¯ ∼^a N (

µY,σ²_Y n

)

X¯ −Y¯ ∼^a N (

µX−µY,σ_X² m +σ_Y²

n )

• ^{母数と統計量の混同は}0点．

（c）標本分散をs²_X, s²_Y とすると，検定統計量は

Z:=

X¯ −Y¯

√s²_X/m+s²_Y/n

• ^{標準化のみは}5点．

（d）Z∼^a N(0,1)よりZに関する棄却域は(−∞,−1.65]．

• H1の不等号が逆向きなら棄却域は[1.65,−∞)．

• ^{漸近分布で}5点，棄却域で5点．

（e）標本平均の差の分散の推定値は s²_X

m +s²_Y n = 28²

64 +24² 32

= 784 + 2·576 64

= 1936 64

= 121 4 検定統計量の値は

Z := 50−60

√121/4

=− 10 11/2

≈ −1.82

Z ≤ −1.64より有意水準5％でH0はH1に対して棄却される．すなわち女子の方が平均的によ く理解していると結論できる．

• ^{検定統計量で}5点，解釈で5点．

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