経済統計：前期中間試験

(1)

経済統計：前期中間試験

村澤康友

2007

年

5

月

30

日

注意：

3

問とも解答すること．

1.

（

20

点）以下の用語の定義を式または言葉で書きなさい（各

20

字程度）．

（

a

）確率関数

（

b

）（確率変数の）標準化

（

c

）

2

項分布

（

d

）共分散

2.

（

30

点）

（

a

）

X

は次の

cdf

をもつ．

F

_X

(x) :=

{

0 for x < 1 1 − 1/x for x ≥ 1 . Pr[2 < X ≤ 3]

を求めなさい．

（

b

）

Z ∼ N(0, 1)

とする．

Pr [

Z

²

≤ 4 ]

を標準正規分布表を利用して求めなさい．

（

c

）

X, Y ∼ N(1, 2)

は独立とする．

X − Y

の分布を求めなさい．

3.

（

50

点）赤いサイコロの目を

X

，青いサイコロの目を

Y

とする．

2

つの目の合計を

Z

とする．

（

a

）

X, Y

の確率関数をそれぞれ式で書きなさい．

（

b

）

X, Y

の平均と分散をそれぞれ求めなさい．

（

c

）

Z

の確率関数を式で書きなさい．

（

d

）

Z

の平均と分散を求めなさい．

（

e

）

X = 3

のときの

Z

の条件つき確率関数を式で書きなさい．

(2)

解答例

1.

確率の基本用語

（

a

）

p

X

(x) := Pr[X = x]

．

•

「確率の関数」だけでは意味が不明確なので

0

点．

•

「頻度」は確率とは異なるので

1

点減．

（

b

）確率変数から平均を引き標準偏差で割る変換．

•

^「平均

0

，分散

1

にする」のみは

3

点．

•

^{「平均を引く」}「標準偏差で割る」のどちらか一方のみなら

2

点．

（

c

）独立かつ同一な

n

回のベルヌーイ試行における成功回数の分布．

•

確率関数で定義しても

OK

（ただし書き間違いは

0

点）．

•

「成功回数」がなければ

0

点．

• 2

項定理は

0

点．

（

d

）

cov(X, Y ) := E((X − E(X ))(Y − E(Y )))

．

•

^{データの共分散でも}

OK

．

•

^{定義でなければ}

0

点．

• cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X) E(Y )

は定義でないので

0

点．

•

^{相関係数は}

0

点．

2.

確率分布の基礎

（

a

）

Pr[2 < X ≤ 3] = Pr[X ≤ 3] − Pr[X ≤ 2]

= F

X

(3) − F

X

(2)

= (

1 − 1 3

)

− (

1 − 1 2

)

= 1 2 − 1

3 = 1 6 .

• Pr[X ≤ 3] − Pr[X ≤ 2]

までで

2

点．

• F

X

(3) − F

X

(2)

までで

5

点．

（

b

）

Pr [

Z

²

≤ 4 ]

= Pr[ − 2 ≤ Z ≤ 2]

= Φ(2) − Φ( − 2)

= (1 − .02275) − .02275

= .9545.

• Pr[ − 2 ≤ Z ≤ 2]

までで

2

点．

• Φ(2) − Φ( − 2)

までで

5

点．

2

(3)

（

c

）

E(X − Y ) = E(X ) − E(Y )

= 0,

var(X − Y ) = var(X + ( − Y ))

= var(X ) + var( − Y )

= var(X ) + ( − 1)

²

var(Y )

= 4.

したがって

X − Y ∼ N(0, 4)

．

3.

多変量離散分布の例

（

a

）

X

の確率関数は

p

_X

(x) = {

1/6 for x = 1, . . . , 6 0 elsewhere . Y

についても同様．

•

^「

for 1 ≤ x ≤ 6

」「

for 1 ≤ y ≤ 6

」は各

1

点減．

•

^{確率関数でなければ}

0

点．

（

b

）

E(X) =

∑

6 x=1

x · 1 6

= 1 + · · · + 6 6

= 3.5, var(X) =

∑

6 x=1

(x − 3.5)

²

· 1 6

= (1 − 3.5)

²

+ · · · + (6 − 3.5)

²

6 = 2 (

2.5

²

+ 1.5

²

+ .5

²

) 6

= 6.25 + 2.25 + .25 3

= 8.75 3 . Y

についても同様．

（

c

）

Z

の確率関数は

p

_Z

(z) =

 

 

 

 



1/36 for z = 2, 12 2/36 for z = 3, 11 3/36 for z = 4, 10 4/36 for z = 5, 9 5/36 for z = 6, 8 6/36 for z = 7 0 elsewhere

.

•

5

点．

3

(4)

（

d

）

E(Z) = E(X + Y )

= E(X) + E(Y )

= 7,

var(Z) = var(X + Y )

= var(X) + var(Y )

= 17.5 3 .

•

^{定義から計算しても}

OK.

• E(Z) = (2 + · · · + 12)/11 = 7

は考え方が間違いなので

0

点．

（

e

）

Z

の条件つき確率関数は

p

_Z_|_X=3

(z) = {

1/6 for z = 4, . . . , 9 0 elsewhere .

•

5

点．

※答案は返却します．採点や成績に関する質問にも応じます．オフィスアワーの時間（月・金の

2

限）に研究室まで来てください．

4