１．ベクトル
ベクトル：方向を持つ量。
ベクトルには、
①方向
②大きさ(長さ)
という２つの属性がある。
ベクトルの例： 物体の移動速度、移動量 物体の移動速度、移動量 電場、磁場の強さ 風速 力 トルク など２．ベクトルの表現
２．１ 矢印で表現される。 ○ 矢印の長さ： ベクトルの大きさ ○ 矢印の向き： ベクトルの方向 ２．２ 2個の点を用いて表現する。 ○ 始点(A)と終点(B)を結ぶ半直線の向き： ベクトルの方向 ○ 2点間の距離がベクトルの大きさを表す。B
A
V
３．ベクトルの足算
ベクトルUとVの和を求めるために、ある点AにUの始点を 持っていく。次に、ベクトルVの始点をUの終点に持っていく。 この時のVの終点をCとする。 Aを始点とし、 C を終点とする ベクトルWはUとV の和、つまりU+Vとし、次の式で表す。 上記の操作において、UとVを入替えW=U+V
C
W
上記の操作において、UとVを入替え ても、最後の終点の位置は同じなので、 が成り立つ、つまり交換律が成立つ。A
B
V
V
U
W
W=U+V=V+U
４．ベクトルの引算
引算は足算の逆計算として定義される。W=U+Vなら、 VはWとUの差として定義され、次の式で表す。V=W
－
－
－
－
U
C
W=U+V
A
B
V=W-U
V
U
５．ベクトルと数値との掛算（スカラー積）
ベクトルAと数値kとの積Cは、Aの方向を変えずに、その長 さをk 倍であるベクトルであり、次の式で表す。 C＝＝＝＝ kAC
=kA
|A|
k|A|
C
=kA
A
|A|
６．ベクトルの内積
ベクトルAとBとの内積は、 Aの長さとBの長さと、 AとB の間の角度の余弦との積である。次の式で表す。θ
cos
|
||
|
A
B
B
A
⋅
=
A
B
θθ
cos
|
| B
=
l
内積の性質
１
１
１
１：
：
：
：
が成立つので、定義により
特例：
２：
A
と
B
が直交している場合、
2|
| A
A
A
⋅
=
)
cos(
cos
θ
=
−
θ
A
B
B
A
⋅
=
⋅
B
A
B
A
A
B
A
B
⋅
=
|
||
|
cos(
−
θ
)
=
|
||
|
cos
θ
=
⋅
２：
A
と
B
が直交している場合、
0
)
90
90
cos(
|
||
|
−
=
=
⋅
o o或いは
B
A
B
A
７．ベクトルと3次元座標
ベクトル
A
の
X, Y, Z
座標はそれぞれ
，
, とし、
X,
Y, Z
軸の単位ベクトルをそれぞれ
i, j, k
とすれば、
A
の
X, Y,
Z
成分
は次のように表現できる。
Ax
y
Az
A Y Z Y Xv
v
v
,
,
=
=
j
v
i
v
A Y A Xy
x
したがって、
A
Ax
Ay
X v Y v i j X
v
Z=
z
Ak
k
j
i
v
v
v
A
=
X+
Y+
Z=
x
A+
y
A+
z
A８
3次元ベクトルの足し算、引き算
足し算
+
+
+
=
+
B A B A B B A Az
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
引き算
+
z
Az
Bz
Az
B
−
−
−
=
−
B A B A B A B B B A A Az
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
９
直線のベクトル表現
点
と
を結ぶ直線を、その直線上の任意の点
を用い
て表現する。
ベクトル
は
と同じ向きなので、その間の
違いは大きさ（長さ）だけである。従って、両者の関係は
次の式で表現できる。
2p
1p
1 2p
p
−
p
1p
p
−
)
(
2 1 1p
p
p
p
−
=
t
−
ここで、
、
は
の長さ、
は
の長さである。
とすれば、
が得られ、
P
P1
P2
|
|
|
|
1 2 1p
p
p
p
−
−
=
t
|
p
−
p
1|
|
p
2−
p
1|
1 2p
p
−
1p
p
−
1p
v
p
=
t
+
)
(
2 1 1p
p
p
p
−
=
t
−
1 2p
p
v
=
−
p
−
p
1=
t
v
v
１０
3次元ベクトルの内積
一方、
k
j
i
A
=
x
A+
y
A+
z
AB
=
x
Bi
+
y
Bj
+
z
Bk
k
k
j
k
i
k
k
j
j
j
i
j
k
i
j
i
i
i
B
A
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
B A B A B A B A B A B A B A B A B Az
z
y
z
x
z
z
y
y
y
x
y
z
x
y
x
x
x
一方、
が成立するため、
0
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
j
i
k
j
i
j
k
k
i
k
j
i
1
=
⋅
=
⋅
=
⋅
i
j
j
k
k
i
B A B A B Ax
y
y
z
z
x
+
+
=
⋅
B
A
１０
3次元ベクトルの内積（続き）
とすると、
B A B A B Ax
y
y
z
z
x
+
+
=
⋅
B
A
=
=
B B A Ay
x
y
x
B
A
z
Az
BA
B
B
A
B
A
⋅
=
T=
T１１
3次元空間内の平面
平面の性質：
１．平面上にある平行でない直線と直交する直線は
平面上のすべての直線と直交する。
その直線のことを法線という。
平面
plane
の法線ベクトルを
n
とし、平面上の既知の１つ
plane
p0
p
平面
plane
の法線ベクトルを
とし、平面上の既知の１つ
の点を
とし、
を平面上の任意の点とする。
ベクトル
と
と直交するために、
あるいは、
0p
0
)
(
p
−
p
0⋅
n
=
n
n
p
0p
p
−
n
0
0=
⋅
−
⋅
p
n
p
n
１２
平面と直線との交差点
直線の方程式：
平面の方程式：
交差点は平面と直線の両方にあるために、両方の方程式
を満たしている。
0
0=
⋅
−
⋅
p
n
p
n
1p
v
p
=
t
+
p
=
t
v
+
p
1この連立方程式より、
したがって、
=
⋅
−
⋅
+
=
0
0 1p
n
p
n
p
v
p
t
0
0 1−
⋅
=
⋅
+
⋅
v
n
p
n
p
n
t
v
n
p
p
n
⋅
−
⋅
=
(
1 0)
t
1 0 1)
(
p
v
v
n
p
p
n
p
+
⋅
−
⋅
=
練習問題１
１．１ 点 と点 を通る直線の方程式 を求めなさい。 １．２ 点 と点 を通る直線の方程式 を求めなさい。 = 4 3 2 1 p = 8 6 4 2 p = 0 0 0 1 p = 4 3 2 2 p 2 4 1 １．３ 点 と点 を通る直線と点 を通り、ベクトル と垂直する平面との交差点を求めなさい。 = 4 3 2 1 p = 8 6 4 2 p = 3 2 1 3 p = 1 1 4 nベクトル、座標軸と座標
P 原点 座標軸 X x iθθθθ
θ
cos
|
| P
=
x
P
i
i
P
=
⋅
=
|
||
|
cos
θ
x
P
i
P
i
⋅
=
T=
x
３次元座標系とベクトル（点）の座標
ベクトル（点）P の x, y, z 座標は、P と X, Y, Z 軸の単位ベ クトル i, j, k との内積を表すことができる。
=
⋅
=
=
⋅
=
P
j
P
j
P
i
P
i
T Ty
x
=
⋅
=
=
⋅
=
P
k
P
k
P
j
P
j
T Tz
y
(1)回転変換
PがO-XYZにおける座標が既知 O’-X’Y’Z’座標系におけるPの座標を求める問題である。 Y P= (x, y, z) = (x', y', z') Y' y X X' O = (x', y', z') y' x' x回転変換
前提条件： ● PがO-XYZにおける座標 x,y,z ● O’-X’Y’Z’座標系の各軸の単位ベクトルがO-XYZにおける 座標が既知であること。P
k'
j'
i'
P
k'
P
j'
P
i'
'
'
'
=
=
T T T T T Tz
y
x
=
=
=
P
k'
'
P
j'
'
P
i'
'
T T Tz
y
x
とすると、
=
=
=
'
'
'
k'
,
'
'
'
j'
,
'
'
'
i'
z y x z y x z y xj
j
j
j
j
j
i
i
i
x
'
i
'
i
'
i
'
x
=
z
y
x
k
k
k
j
j
j
i
i
i
z
y
x
z y x z y x z y x'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
回転行列は変換先の座標軸の単位ベクトルのである[
]
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
k'
k'
j'
k'
i'
k'
k'
j'
j'
j'
i'
j'
k'
i'
j'
i'
i'
i'
k'
j'
i'
k'
j'
i'
RR
TT T T
回転行列の性質
T
R
R
-
1
=
=
=
'
'
'
'
'
'
'
'
'
1 z z z y y y x x x T-k
j
i
k
j
i
k
j
i
R
R
=
'
'
'
1z
y
x
z
y
x
-R
回転行列の性質
したがって、
=
=
=
'
'
'
,
'
'
'
,
'
'
'
z z z y y y x x xk
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
座標変換
PがO-XYZにおける座標が既知 O’-X’Y’Z’座標系におけるPの座標を求める問題である。 Y X' Y' P'= P-O' X O P' O' P(
)
(
)
(
)
−
⋅
=
−
⋅
=
−
⋅
=
O'
P
k'
O'
P
j'
O'
P
i'
'
'
'
z
y
x
したがってi'
i'
'
T Tx
並進ベクトルO'
k'
j'
i'
P
k'
j'
i'
'
'
'
−
=
T T T Tz
y
x
回転行列の計算
3次元ベクトルの外積
=
=
z y x z y xb
b
b
a
a
a
B
A
、
とすると、 したがって、 したがって、(
) (
)
k
k
k
j
k
i
j
k
j
j
j
i
i
k
i
j
i
i
k
j
i
k
j
i
B
A
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
=
+
+
×
+
+
=
×
z z x y z x x z y y y x x z x y x x z y x z y xb
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
iとj, jとk, そしてkとiは垂直である。したがって、
0
=
×
=
×
=
×
i
j
j
k
k
i
j
k
i
j
i
k
i
j
k
i
k
j
k
i
j
k
j
i
−
=
×
=
×
−
=
×
=
×
−
=
×
=
×
i, j, kはX, Y, Z 軸の単位ベクトルで、iとi, jとj, そしてkと kは平行である。だから、 したがって、
j
k
i
j
i
k
×
=
×
=
−
k
j
i
B
A
)
(
)
(
)
(
−
a
zb
y+
a
yb
z+
a
zb
x−
a
xb
z+
−
a
yb
x+
a
xb
y=
×
z y x z y x
b
b
b
a
a
a
k
j
i
B
A
×
=
簡単な記述法として、ベクトルの表現なら 行列の表現なら、まず A[×] を下記のように定義すると 行列の表現なら、まず A[×] を下記のように定義すると
−
−
−
=
×0
0
0
] [ x y x z y za
a
a
a
a
a
A
+
−
−
+
−
=
=
×
× y x x y z x x z z y y zb
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
B
A
B
A
[ ]定理： ] [ ] [
0
0
0
0
0
0
× ×=
−
−
−
−
=
−
−
−
=
A
A
x y x z y z x y x z y za
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
T T ] [ ] [×=
−
A
×A
T 証明： 定理：Aが単位ベクトルの場合、 証明： 宿題にするI
AA
A
A
× ×=
T−
] [ ] [Y X O P’=(x’,y’) P=(x,y) y’ x’ x y θ α ρ ρ
3次元の回転変換：
回転軸がZ軸の場合
=
=
=
z
z
y
y
x
x
'
'
'
回転後の
回転後の
+
=
+
=
−
=
+
=
θ
α
ρ
θ
α
ρ
θ
α
ρ
θ
α
ρ
θ
α
ρ
θ
α
ρ
sin
)
cos
(
cos
)
sin
(
)
sin(
'
sin
)
sin
(
cos
)
cos
(
)
cos(
'
y
x
+
=
−
=
θ
θ
θ
θ
cos
sin
'
sin
cos
'
y
x
y
y
x
x
したがって一般的な場合における回転変換
１．まず、回転軸を Z 軸とする座標系の 設定 ２．点の座標をその座標系に変換する ３．Z 軸まわりの回転変換を行う ４．変換した後の座標を元の座標系に戻 k P’ 回転後 ４．変換した後の座標を元の座標系に戻 す O θ 回転軸 i j k P 回転前ω：回転軸の単位ベクトル、k：新しい座標系のZ軸の単位ベクトル 点Pの新しい座標系でのZ座標は θ 回転軸 j k P P’
