光 フ ァ イ パ ス プ ラ イ ス の 解 析

長崎大学工学部研究報告第13号 昭 和54年7月 53 

光 フ ァ イ パ ス プ ラ イ ス の 解 析

松 橋 正 道 * ・ 田 中 和 雅 *

Analysis of  Optical Fiber Splices 

by 

Masamichi MATSUHASHI and Kazumasa TANAKA 

(Department of Electrical Engineering) 

Some losses of optical fibers are caused by the misalignment of fiber  axes.  These  misalignments may be longitudinal separation

， 

， 

， 

We first  consider  the case of misalignment between two optical fibers， and  then  discuss the problem of fiber connector using a fiber of a different kind. 

N umerical results are shown mainly for  foundamental modes. 

トはじめに

光通信に用いられるファイバについてはこれまでに 詳しく研・究されているが，実用上重要となる低損失の スプライスを製作するのにはまだいくつかの困難な点 が残っている.スプライスでの損失の原因として，フ ァイバの伝搬軸に平行な方向〈縦方向〉のずれ，垂直 方向(横方向)のずれ(以下この横方向のずれを軸ず れと呼ぶ)，あるいは軸の傾きなどが考えられる.

このようなスプライスでの損失あるいはファイパの モード結合などの議論を，スプライスが屈折率整合し た液に浸されているとして反射を無視した方法で行な われている1)しかし現実にはこの整合液を使うとい

う条件が常に満たされるとは限らない.

本論文ではこの問題をより一般に取り扱かうために スプライスを誘電体をはさんだ二つのファイパで置き かえ，二つの境界面で生じる多重反射をも考慮した議 論を行う.まずファイノミから誘電体に入射するピーム

昭和54年4月26日受理 本電気工学科

波を考え，境界面で生じる反射波，透過波をそれぞれ ファイパの固有モードおよび誘電体中での任意のモー ドの重ね合わせとして表わす.このとき重ね合わせの 係数は境界条件より求まる.この係数より反射係数お よび透過係数が計算出来る.

この方法を使づて誘電体をはさんだ二つのファイバ の結合問題を，軸ずれや傾きも含めて議論する.最後 にこの誘電体を第3のファイパで、置きかえたとき，基 本モードの透過係数を最大にする条件を導波管に対応 させながら考察する.

2.  ビームモード展開

本論文では電磁界はすべて直線偏波しているとして スカラーで議論し， TEM波近似を使うことにする.

まず媒質I より入射波 fi:~n が z=zo にある境界面に 入射するとする. このとき反射波をF₁(r)，透過波を F₂₍f)とすれば (Fig. 1)，境界条件より

Z呂Zレ

Medium I

ﾃμんσr

・ﾍ

rα・X

Medium 1［

ﾃ，，蕉，（垣

f，F 季，

《r，

F、

e。rY

Fig．1 The illcident， reflected， and     transmitted fields．

ff島n十F1（「）＝＝F2（f）

 1 ∂f壬霊・ 1

十

∂F1α）

jωε1   ∂z    jωε1

＿  1  ∂F2（f）・

∂z

1⑦ε2 ∂z

＼

（1）

z

を得る．この反射波F、（「），透過波F2（f）を次のよう にビーム波の重ね合わせとして表わす．

Eω

ﾏ動f撒 ／⑫）

瑞ω

嵩¥f瓶  ／

ここでf鑑、，fゑ｛孟nはそれぞれ媒質1， II中でのビー ムモードを表わす・いまFig・1において媒質1を光 ファイバ，IIを誘電体とし， f鑑nとしてファイバの 固有モード，f塩nとして誘電体中の任意のモードと すれば，これら各モードの直交性より次式を得る．

・跳 一叢（φ（・），，，φ（f） 1，m 丑    1，mn）。一恥

脳講転（ψ（f），，，φ（f） 2，mn  1，mn）、一恥

ここでφ瑠nは入射ビームを表わし，

         （f，9）一∫∫f・gd・dy

（3）

（4）

（5）

と定義した．ファイバあるいは誘電体中のビニムモー ドは良く知られており，2） 3）次のように与えられる．

誘電体中では

ψ一（・・…）一／。、ml論！・ψ｛一jk

ここで

（Z＋Z・）｝η（ηr）凪L牙（η2r2）ゆ｛一一穿 η2σ2r2＋j（2n＋m＋1） αガ1ξ｝

co∫（mθ）       （6）

・m一

oll認・

ξ一聖譜）・

   ＿  ／2   η一』Ws1／1十ξ2 

  σ2＝1＋jξ

であり、，L詔（x）はLaguencの陪多項式で Lr（・） 一蕩僻）≒X）

（7）

（8）

で与えられる．ヒのビーム波はz＝一Zsに最小のスポ ットサイズWsを持っている．

ファイバの固有モードは一般に

φ一（・・…）一 ﾁ多W，／，m（留m）！

    （〆2r 「Wf）mL押（詳）吻｛一三

   一jβ即Z｝ヒ0∫（mθ）      （9）

で与えられる．4）ここで

燦箒訓鵡噛・ρ）

であり，ファイバの屈折率nは次のように変化すると している。

  n2＝n。2−n。n、r2      （11）

 3．ファイバスプライス

 ファイ バスプライスの例をFig．2に示す．（a），（b）

において，二つのファイバ間に誘電体がはさまれてい るが，このモデルがほとんどのスプライスに対して適 用出来る，この二つの境界面では一般に多重反射が生 じる。この誘電体として屈折率整合液を考えればこの 多重反射が生じなくなり，議論は非常に簡単になる．1）

 本論文ではこの問題をより一般的に，さきに述べた ビームモード展開法を用いて議論する．

 前節の（7），⑩式を（3），（4）式に代入すれば反射波と透 過波の展開係数が得られるが，この方法を第2の境界 面（Fig．2（a）において，誘電体とファイバIIIの境界 面）にも適用し，これをくり返してやることにより多 重反射の議論が行える．このとき誘電体中でくり返し 反射する界はすべてその中での任意ビームモードリ重 ね合わせとなっているが，このビームモ｝ドのパラメ

ータを適当に選べば唯一個のモードで表わされる．そ のためには展開に用いるビームモードのパラメータは

光ファイバスプライスの解析 ⁵⁵

r

Fiber工 Fiber皿

（w，βの ^{（w，β．．｝} Z

A病響ゐ（一・織匠訊！

（ト2

     ←d→

（a） longitud三nal dispIacement

冥

X

      〜

@      ／zFiber皿 

  S ^{（w，，β。。）}

  w、η1。Al     ノ

（・一響汗kδ一 ・

w1η1。Al

T・一i2k・）（β・輸k・）Z（βrk・）Z（2β・）

 ノ

）n依

（12）

FiberI

（w，，βm）

／

／ ^／

（b）tilt

z

Fiber皿 FiberI _lber

馳輔 宙鼈齡ｦ 一 一 ＿ 輌 一 剛  一  一  卿   一  一  ＿ b ⁹

，（WIβ。． （w，，β，。）

（w鞠β…）

       ←一、d一一→

（c） three optical fibers with lateral    displacements

Fig．2Misalignment of fiber splices．

z「

今考えている境界面について入射ビームと対称になる ように選ばれる．これにより各境界面での入射波はた だ一つのビームモードで表わせることになり，議論は 簡単になる．計算方法は前節と伺様であるのでその結 果のみを示す．

 3．1軸ずれ，傾きのない場合

 入射ビーム波のモードを（m，n）とすれば反射波，

透過波の（m，，n），（M， N）モードの展開係数は次 式で与えそれる．

R・一i2k2β1十k2）（瀦）1（碧葦母y−1

   （2β1β1十k2）》（m＋織蓋＋。）！2m・・

   ε」ゆ｛一3k2 zls−j（m＋2n＋1）カαガ1ξlo｝

         し

   （1＿2 ＿w・η・・  w3η乙dAz  Az）k（1一 ）N一k

   （・一w去1 d）n『kδ   （・3）

ここでZ（1＝0，1，2，……）は第2の境界卿での反 射回数を示し，β1，β3，k2およびW1， W3はファイバ 1，III内あるいは誘電体内での波数およびスポットサ イズを示す．また，

 β1十k2 β3十k2 β1十k3 k：2十β3

（M＋謂！婆㍍＋。）！2・・吻｛jβ・・d

−lk2（d−Zzs）十j（M十2n十1）嬬哨1ξ d｝

A㍉．謝p却（一・）k（長窪圭野描k翫

   2      2   w3η乙dAz    w3η乙dA乙

ξ卜一

  σ13＝・1−」ξIo

ξ 2・j・・ 話裂、d、・

  σ逸d2＝＝1十jξ乙（！

AF（w轟、、＋wザ d・・d2）・

Al一（・，＋事の

   W1η乙0

（14）

で，第2の境界で1回反射後のビームウ エイストの位 置Z狗zlSは次式で与えられる，

  zls ＝ 21d， z己s ＝＝ 一2Zd      ．（15）

 ⑫および⑬式をすべての1について加えれば，ファ イバ1内での反射波およびII内の透過中の（m，， n）

モードあるいは（M，N）モードの係数が求まる，す なわちそれらをRおよびでとすれば，l

  R＝Ro十R1十R2十…十R乙十…      （16）

  T＝To十T1十T2十…十T乙…    （17）

ただし

峠鶉δmm 耐  （・8）

は第1の境界面での反射係数を表わす．

 3．2傾きのある場合

 第1の境界面での反射回数，透過係数はそれぞれ次 式で与えられる．

・跳 口縄δ秘画  ・（・9）

・跳一轟、δ・・δ・・ ．（2・）

反射をZ甘くり返した後の第1および第2の境界面で の反射係数はそれぞれ次式となる．

、r画一畿、。読21，）δ・・δ・・． （2・）

  跳・一編1、㏄（12卜1）θδ画、δ面（22）

透過係数も同様に，第1の境界面では・

塩 一轟〆2m，＋藷！1，隔．

    θ偲力｛一jγ（2乙のZ s＋jう「（彦απ一1ξ1μ。

∴器嘱）等㈲

      C

    H一 ［ （〆2Bziw12B乙i2−2）雪］

    ゆ｛一jα・2・の（a己十X，     S）一

    一考η漏2σ獄研無｝（24）

＿需；1∵の 「

  C・一j・・2…＋η1，。2σ1，。2…

   ，    2Zノ   ξ ＝    zs   ziQ k2 w、2 c・∫（2Zθ）

      〆万、。、（2Zθ）   （25）

ηあ㍉／・＋ξ獄

面識鋸

  σ島山1＋jξ1、。

  Xノ＝一Z 5勿（21θ）

   zs

       乙s   Z ＝一Z／co5（2Zθ）

  zs      zs   α（2乙θ）＝k2吻（2Zθ）

  γ（2己θ） ニ＝k2 co5（2Zθ）      、

雲簸二画調紬纏繋濡窩毒鷲

を表わす．第2の境界面では

愚一k識〆四轟N！㎎

    ／，。鍛鍔，f・・（M・・MN・・）

    θ⑫｛jβMN d−」γ（（2乙＋1）θ）（d十Zzs）

    ＋jう一（ αη隔1ξzμd＋古απ隔1ξ乙μd）｝  （26）

    轍・）一重（・議1号     唖聾（毒一2）壱］

    ゆ［一」α（（2乙。、）・）（a乙＋X乙。）一罪・！、d

    ㌦幽（2Z＋1W＋竃（27）

Bl、一毒＋吉・！、d・1、d

  C・＝」・・（2・・1）θ）＋・1，d・1，d

    ｛a 一d彦αη（2Z＋1）θ｝，

ξ・id− 求C読・1艶妾、），・

      （28）

伽＝

伽マ・＋ξ蓄

  Xzs＝・一Z乙s∫ゴη（2Z十1）θ，

  zεs＝ 一一Z乙soo5（21十1）θ，

製麻麟諜瓢㌻野難嚇

光ファイバスプライスの解析 57

・イストの位置に関してはZl・一ノ・劉・1・2・Z檸一 Zls， xls＝x（乙一1）s， zls＝zd十z（z−1）s等となる．

 以上よりZ回反射後にファイバIIIへ透過していく 波，ファイバ1へ反射していく波のビームモード展開 係数T乙，R乙は次のようになる

  Ro＝rooノ，，

     Inn

  R乙＝too lro弓，1roo……zro9，乙too，，

     pq  pq  pq    pq  Dユn        （Z＝1，2，…）

これらの結果を得るとき，我々はビーム波の伝搬軸と ある角度をなす座標系で記述したビーム波の表現式を

用いた．5）

      ｝⑬の

 3．3軸ずれのある場合

 ここではFig．2（c）に示すように，誘電体の代りに ファイバIIで置きかえて議論する．これは⑪式で与え られるn、を0とおけばただちに一様な屈折率分布の媒 質となるから誘電体に対する議論の一般化となってい る．ファイバIIの軸をZ軸にとり，それからファイバ 1，IIIのずれをそれぞれa， bとする．このときファ イバ1とIIIの基本モード間の結合T。bはこれまでと同 様に求められ，次式となる．

Tab＝    4β2β3    （β1十β2）（β2十β3）

4wlw22w3

（W、2＋W22）（W22＋W32）

b2

ここで

    a2    b2

θ⑫｛一      ＋jβ＜3＞d    W12＋W22 W22＋W32

一jβ・・＞d｝・⑫［A−Bあ（」，）

｛4・bw22・勿（j号）一響（・・〔w・Lw・・〕

＋b・〔W・LW・・〕）鋤（j・）｝］

A＝・（w12十w22）（w22十w32）

B ＝（w22−w12）（w22−w32）

・一2d》号

（32）

／㈹

で，β＜2＞はファイバII内の基本モードの伝搬定数，ま たこのファイバの屈折率はn2＝n22ko−n2n2，（x2＋y2）

であるとしている．

 ここでファイバ1，IIIが与えられたとき， lT。bIを 最大にするファイバIIの条件を，軸ずれのない場合に ついて求めてみると，

  w2＝：レ／wlw3      （34）

が求められ，よく知られた三つの導波管の結合問題の とき現われる関係式と同じ表現となっている，

θ⑫｛一 a2

努

，

W、2＋W22 W22＋W32

（2q）！

十」β＜3＞d｝

pq＝02P＋2qp！（q！）2

｛1驚辮謝P㌢q

      〆W、LW、・

    θ彫・｛一jβP（2q）d｝       （31）

ここでβ〈3＞はファイバIII内での（0，0）モードの伝搬 定数を表わす．ファイバII内での伝搬定数βpqを，通 常用・・られる近臓βpq一口》：嘉（P＋q＋・）を

用いれば（31）式は次のように簡単になる．

H・｛ 〆2aw乳｝H・・｛〆幾宅｝

覧・一 ^{i  4β2β3}ﾀ1十β2）（β2十β3）A惣譜θ）

 4．数値例

 スプライスでの損失としては縦方向のずれ，横方向 のずれ（軸ずれ），および傾きが主なものであること はよく知られており，6）本論文でも多重反射の影響に 注目してこれらの誤調整について考察する．

 Fig．3（a）に縦方向のずれがある場合，ファイバ1と IIIの固有のスポットサイズの比W1／W3によって基 本モード間の結合係数の絶対値lT！がどのように変 化するかを示す．これより，2つのファイバの固有ス ポットサイズが等しいとき（w、／w3＝1．0），縦方向の ずれの大きさに拘らずIT；が最大となることがわか る．（b）は縦方向のずれの大きさに対するlTlの変 化を調べたもので，ずれの大きさが波長のほぼ500倍 以下ではlTlはほとんどそのずれの大きさに関係し ない．（c）は多重反射の項を1回だけ考慮したときの 補正量を示すもので，これより通常のファイバでは多 重反射は1回のみ考慮するだけで十分と思われる．

 Fig．4に傾きに対するlTlの変化を示す．この図 は多重反射を考慮しない場合を示すが，これを1回考 慮に入れてもその変化分は10％以下となっている．こ れは傾きがあるとき，多重反射をくり返すことにより

反射波の軸がファイバの軸からずれるため，その寄与 が急速に小さくなるためである．また縦方向のずれと 傾きが同時に存在する場合，iTlはファイバ1とIII の屈折率分布，スポットサイズの比，傾き，あるいは ずれの量などによって複雑に変化する．

 Fig．5は横方向のずれ（軸ずれ）の影響を示す．こ こでは二つのファイバの間にはさまれた誘電体の代り

1 1−1

1．0

0．9

O，8

0。7

0．6

O．5

0，4

o．3

O．2

0．1

       ／／

      ／／

        ／／

       ／／

     ∠／

    ／／

／／

〃

7

       N／L4        ＼ミ          も

か・・試＼＼

       、

      ＼    ＼＼

＼＼

    ＼

    N，冑1．5     N3器L5    −D雪卜5（IO弔m｝

一一一・一c21｛mm｝

lTl LO

O

0，9

O．8

O．7

O．6

Q．5

o．4

o．3

O．2

o．1

o

r暑丁6十丁，

肘．需L5 N乙写1．0 臨胃1，5 D31〜5〔1σ隔m｝

 O．2   0．4   0．6   0．8    LO   l．2   1．4  ylム       W

（a）coupling coefficient as a function of    the ratio w1／w30f the obtical fibers    Iand III．

lT1 1，0

    Nl曾N・8L5     N231．4  ＿．＿N3冒し。

瀞L。

0．9

0，8

0．7

O，6 0．2

凧 Lo

O．5

O．5 16

一●一・一鱒｝■一● _帰、

  」＼

o．o lO      IOO      looo−  u  【oooo     （b）couplibg coefficient as a function of        the longitudinal displacement U＝D／λ．

Fig．3 Coupling coefficient lTi between        fundamental modes for the case of        longitudinal displacement，

o．4

O．3

0，2

O．1

O．4   0，6 0．8 1．0 L2 ^1．4 毘_W，

O

（c） effect of multiple reflections．

器2．・

3

1．0

N書1．4 N，＝15 臨＝16 u・臭・。一5。

Fig．4

1    2    3    4    5    6

coupIing coefficient betweell mental modes as a function angleθ．

e（deg〕

funda−

of tilt

光ファイバスプライスの解析 ⁵⁹

LO

岡

0．9

O．8

0．7

O．6

o．1

聾し。

   〜 鴨〜軸

  1．2      〜一〜r

Q．8〜胃〜一〜＿〜句          〜葡、

   L4        L6

〜

●一一｝一一暢一噂〜

      ロヘロ

     o，6      〜一〜輯

       〜r、

0

O，4

配βN、，冒眺馨し5 D＝1｛mm｝

鴇1．・

〜o〜鼎

O       ．05         ．90         」5    ∫コ貞    20

      悌  Fig，5 Coupling coefficient！Tao i as a      function of the Iateral displacement      in three fibers．

にもう一つのファイバを考えている．図より軸ずれの 大きさが中間のファイバのスポットサイズの1／10以下 であれぽ透過係数はほとんど変化しないことがわか る．同図はまた三つのファイバの固有スポットサイズ と軸ずれが透過係数におよぼす影響を示している．軸 ずれがないとき，w3／w2＝w2／w1（＝1．0）のとき IT・olは最大となり・軸ずれよりζのスポットサイ ズの条件からのずれの方がIT、olにおよぼす影響が 大きいことがわかる．

5．むすび

ファイバスプライスの多くは二つのファイバとその

間にはさまれた誘電体というモデルで置きかえられ る．この二つのファイバ間のモード結合問題を一般的 に議論するにはごつの境界面での多重反射を考慮しな ければならない．このために，ビームモード展開法を 用いて，誘電体内のビームモードを唯一個のモードで 表わすことにより，議論は非常に簡単になり，軸ずれ や傾きの影響をも取り扱かうことが出来る．

 数値計算の結果より，縦方向のずれ，横方向のず れ，あるいは傾きなど実際上出会う誤調整を十分小さ くすればそれらの影響より誘電体内の多重反射の効果 が大きいことがわかった．

 最後に日頃御指導御鞭画いただく九州大学福光教授 に感謝します．

参考文献

1）D．Marcuse：璽工oss Analysis of Single−Mode  Fiber Splices ， B． S． T． J．，Vol，56， No．5，

 pp．703−718（May−June 1977）．

2）D、Marcuse：Light Transmission Optics，

 Van Nostrand Reinhold， New York，1972．

3）K．Tanaka， M． Shibukawa， and O． Fuku−

 mitsu：ヒ聖Diffraction of a Wave Beanl by an  Aperture ， IEEE Trans． Microwave Theory  Tech．， Vo1． MTT−20， No．11， pp．749−755  （Nov．ユ972）．

4）松橋：更聖光ファイバスプライスの解析 ，長崎大  学大学院工学研究科 修士論文（昭和54年3月）．

5） K：．Tanaka： qDiffraction of an Obliquely  Incident Wave Beam by a Rectangular Aper−

 ture ， Opt． Commun．， Vol．12， No．2， pp．

 168−174 （Oct． 1974）．

6） D．Gloge：ヒeOffset and Tilt Losses in Optical  Fiber Splices ， B． S． T． J．， Vo1．55， No．7，

 pp．905−915 （Sept．1976）．