光通信工学
1. 復習
2. スネルの法則
3. 屈折率
4. 振幅反射（透過）率
5. フレネルの式
x
y
媒質１：n
1
媒質２：n
2
1
θ
θ
1
2
θ
1
1
2
2
1
2
1
2
sin
sin
n
n
n
n
θ
θ
θ θ
=
>
→ <
i
k
k
r
t
k
1
2
n
>
n
光通信工学２02－2
光波とは：式で書いた方が分かりやすいかも！
偏光：電場Eの振動方向
偏波面：電場Eベクトルと波数ベクトルからなる平面
進行方向：+z軸 x方向の直線偏光x軸
y軸
k
⊥
⊥
E
H
k
H
H：磁場の強さ +y軸(
)
(
)
, 0, 0
0,
, 0
x
y
E
H
=
=
E
H
平面波＆進行波：簡単・便利 電場Eベクトル 電場E（振動）ベクトル 磁場H（振動）ベクトル 磁場H ベクトル +x軸 偏波面：x-z平面 右ねじ：電場E（＋） →磁場H（＋） 波数ベクトルk
=
(
0, 0,
k
>
0
)
( )
(
)
( )
(
)
0
0
0
0
,
cos
,
cos
,
0
x
y
E
z t
t
kz
H
z t
t
k
E
H
E
z
H
ω
φ
ω
φ
η η
=
− +
=
− +
=
>
振幅一定 赤：正実数 振動ベクトルを記述するときのお約束（平面波の場合） • 電場Eベクトルと磁場Hベクトルの向きは「右ねじ」で設定 • 現実には、電場Eと磁場Hは振動しているから向きも変化する • 詳細は省略するが、上記関係式は電場Ｅと電束密度Dの向きが 一致する「等方性質媒質」に限定される。（例：ガラス） • 参考文献：末田「光エレクトロニクス」p.136（昭晃堂） 波動インピーダンス：205 注意：電場Eも磁場Hも同じ位相速度の波。振動方向と振幅が異なる平面波 Plane wave：波数ベクトル表示
複素振幅 複素数表示 実数表示 平面波：振幅・波数ベクトルの位置依存性無。k
( )
,
t
A
cos
(
t
)
ψ
r
=
ω
−
k r
+
φ
( )
,
exp
(
)
,
0
j
j
t
j
A
A
e
A
t
A
e
A
φ
φ
ψ
=
ω
−
=
=
>
r
k r
-30 -20 -10 0 10 20 30 -30 -20 -10 0 10 20 30k
振幅一定：赤：正実数、青：複素数 定数 厳密に言うと、平面波＆進行波 進行波 進行波λ
波長：µmオーダー 無限の拡がり 平面波近似の目安 太線の長さ＞＞波長 太線：実際に波が存在平面波近似
1. ビーム径が波長に比べて非常に大きければ近似可
2. 考えている領域でビームの拡がり（回折）が無視でき
ること
質問：どうして「平面波近似」しますか？
1. 振幅の位置依存性無（本講義では定数）
2. 波数ベクトルの位置依存性無
3. 数式的に簡単で取り扱いが容易
光通信工学２02－4
(
)
(
)
Re
exp
cos
j
j
e
e
j
t
A
A
A
kz
t
kz
A
A
φ
φ
ω
ω
φ
=
=
−
=
− +
波：基本的な表現
( )
,
cos
(
)
2
2
cos
z t
t
kz
t
z
T
A
A
ψ
ω
φ
π
π
φ
λ
=
− +
=
−
+
周期(s) 周波数：Hz 実数表示 振幅 角周波数（rad/s） 波数（m-1） 初期位相 波長(m)1
f
=
T
(
)
2
π
rad
=
360
°
複素数表示( )
(
)
(
)
,
exp
exp
0, arg
A
z t
A
j
t
kz
j
t
k
z
A
A
A
ψ
ω
φ
ω
φ
=
− +
=
−
= >
=
偏角：Argument 注意：実数表示と複素数表示 振幅：赤色（正実数） 青色（複素数） 絶対値 複素振幅Euler's formula
⇒
e
jθ=
cos
θ
+
j
sin
θ
ｊ：虚数単位：Imaginary unit 括弧内：位相
注意：波数を位相定数と呼ぶ場合もある。
光波に限定されない一般的な「波」の性質
周波数と波長（真空中）
p
v
k
ω
=
15
2
1
10
ω π
=
=
f
T
Hz
2
k
=
π λ
位相速度 Phase velocity 周波数 Frequency2
2 f
T
π
ω
=
π
=
角周波数 Angular frequency 波数 Wavenumber2
p
p
f
λ
=
v
→
ωλ
=
π
v
位相速度：周波数と波長の積 真空中の光速：位相速度 Speed of light in vacuum8
0
3 10
/
p
v
=
c
×
m s
10
-9
10
-6
10
-3
1
10
15
10
12
10
9
10
6
100
周波数 波長
Hz m
10
18
γ線
X線
紫外線
可視光線
赤外線
短波
遠赤外線 電磁波の種類 光は電磁波の一種マイクロ波
電場E 磁場H 進行方向k
H：磁場の強さ 約束：下ツキ「０」＝真空中 波長 Wavelengthλ
m
1
µ
注意：色は周波数（角周波数）で異なる光通信工学２02－6
単位 １０の乗数を表す接頭語
呼び方
呼び方
10
18
exa
E
10
-3
milli
m
10
15
peta
P
10
-6
micro
µ
10
12
tera
T
10
-9
nano
n
10
9
giga
G
10
-12
pico
p
10
6
mega
M
10
-15
femto
f
10
3
kilo
k
10
-18
atto
a
可視光スペクトル400nm 500nm 600nm 700nm 1.3-1.55
µm
600THz
光ファイバ通信 低損失帯(0.2-0.3dB/km) 真空中の波長 屈折率 = 1 注意： • 「色は周波数（角周波数）で異なる」と覚えましょう。 • 「波長（波数）で異なる」としても構いませんが、本講義では「角周波数」を頻繁に使用します。2
p
p
f
λ
=
v
→
ωλ
=
π
v
µｍ：マイクロメートル進行波：前進・後退波
( )
z t
,
A
cos
(
t
kz
)
ψ
=
ω
− +
φ
ψ
( )
z t
,
=
A
cos
(
ω
t
+ +
kz
φ
)
波の速度
等位相位置が移動する速度なので位相速度と呼ぶ場合もある。 位相速度：2010
lim
ω
∆ →
∆
=
=
→
≡
∆
p
p
t
z
v
v
c
t
k
前進（進行）波：Forward traveling wave
k
>
0
後退（進行）波：Backward traveling wavek
>
0
注意：符号 光速の場合：記号cで表わす場合が多い。 ラテン語 で速さを意味するceleritasの頭文字 平面波なら：振幅一定 注意：実数表示と複素数表示 振幅：赤色（正実数） 青色（複素数）光通信工学２02－8
前進波と後退波：光の場合
電場E 磁場H( )
(
)
( ) (
) (
)
0
0
,
cos
,
cos
x
y
E
z t
t
kz
H
E
z t
E
t
kz
ω
φ
η
ω
φ
=
− +
=
− +
x
y
z
進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ） 磁場H：ｋ→電場Ex
y
z
後退波 前進波 電場E 磁場H 前進波：直線偏光 平面波：定数振幅（波の拡がり無限大、非現実的だけど） 磁場Hを-y方向(
)
( )
(
)
(
( )
)
(
)
1
,
0
,
, 0, 0 ,
0,
,
, 0 ,
0, 0,
,
0
x
y
E
z t
H
z t
k
k
ωµ
=
×
• =
=
=
=
±
>
H
k E
k E
E
H
k
後退波：直線偏光 ベクトル表示をしましょう！0
k
>
係数：205：μ：透磁率 磁場H：ｋ→電場E( )
(
)
( )
(
) (
)
0
0
,
cos
,
cos
x
y
E
E
E
z t
t
kz
H
z t
t
kz
ω
φ
η
ω
φ
=
+ +
= −
+ +
赤：正実数 波動インピーダンス：205ベクトル表示：光波の場合
電場Ex
z
進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ） 磁場H：ｋ→電場E 前進波(
)
(
)
(
)
,
,
,
,
,
,
x
y
z
x
y
z
x
y
z
E E E
H H
H
k k k
=
=
=
E
H
k
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
1
,
0
,
, 0, 0
0,
,
, 0
0, 0,
,
0
x
y
E z t
H
z t
k
k
ωµ
=
×
• =
=
=
=
±
>
H
k E
k E
E
H
k
関係式：電場Eと磁場Hと波数ベクトルy
電場EE
k
前進波H
磁場H 磁場H 一般化光通信工学２02－10
x
y
波数ベクトル 入射波 波数ベクトル 反射波 波数ベクトル 透過波1
θ
θ
1
2
θ
i
k
k
r
t
k
1
2
n
>
n
スネルの法則 Snell's law ：屈折
思い出してみましょう！
入射波：波数ベクトルの大きさ（201-13） 反射波：波数ベクトルの大きさ 透過波：波数ベクトルの大きさ スネルの法則1
1
2
2
1
2
1
2
0
0
1
2
1
2
sin
sin
,
,
n
n
n
n
c
c
n
n
c
c
θ
=
θ
>
→ <
θ θ
=
=
約束：下ツキ「０」＝真空中 真空中の光速（位相速度）0
1 0
0
1
1
0
0
0,
c
n k
k
c
c c
c
ω
ω
ω
=
=
=
>
=
i
k
0
1 0
1
1
0
0
c
n k
c
c c
ω
ω
=
=
=
>
r
k
0
2 0
2
2
0
0
c
n k
c
c c
ω
ω
=
=
=
>
t
k
媒質１：n1 媒質２：n2 媒質中の光速（位相速度）：波数ベクトルの大きさ1
>
2
→ <
1
2
⇔
=
>
n
n
c
c
k
i
k
r
k
t
ω
=
p
v
k
教えてくれること • 入射波、透過波：波数ベクトル情報のみ。 • つまり、屈折率が異なる媒質の境界で透過波がどちらの方向に進むのかを教えてくれる。
スネルの法則で教えてくれないこと：
「光」の特徴である波としての電場Ｅや磁場Hの振る舞い（振幅情報）？
スネルの法則が教えてくれること、教えてくれないこと
y
x
1
θ
θ
1
2
θ
i
k
k
r
i
k
等位相面 屈折率 媒質１：n1 屈折率 媒質１：n2 入射波：平面波近似 波数ベクトルの位置依存性無 反射波：平面波近似t
k
境界面：z-x 透過波：平面波近似 z軸：奥から手前 電場E：境界面内方向成分（z軸）のみ光通信工学２02－12
(
0, 0,
E
tz
)
=
t
E
反射と透過を考える：s偏光成分 senkrecht（垂直）
y
x
1
θ
θ
1
2
θ
i
k
k
r
i
k
等位相面 簡単のため 電場E：境界面内方向成分（z軸）のみ 波数ベクトル：紙面内方向成分のみ 屈折率 媒質１：n1 屈折率 媒質１：n2(
0, 0,
E
z
)
,
(
k k
x
,
y
, 0 ,
)
k
0,
0
=
=
=
>
• =
E
k
k
E k
入射波：平面波近似 波数ベクトルの位置依存性無 反射波：平面波近似t
k
(
)
(
)
0
1
1
,
, 0
y
z
x
z
k E
k E
ωµ
ωµ
=
×
→
−
H
k E
境界面：z-x 磁場H：202-9 透過波：平面波近似 非磁性体：ガラスなど 真空中の透磁率µ µ
=
0
z軸：奥から手前 反射前後i
k
→
k
r
(
0, 0,
E
rz
)
=
r
E
(
0, 0,
E
iz
)
=
i
E
これから反射波と透過波の振幅を求めましょう！但し、電場Eのみ。 Key words：振幅反射率、振幅透過率( )
(
)
(
)
(
)
(
1 0
1
1 0
1
)
1 0
,
exp
exp
,
, 0
sin
,
cos , 0
0
iz
ix
i
iy
ix
iy
i
E
t
j
t
j
t
k x k y
k
k
n k
n k
n k
E
E
ω
ω
θ
θ
=
−
=
−
−
=
=
−
=
>
i
i
i
r
k r
k
k
x
y
波数ベクトル 透過波1
θ
θ
1
2
θ
i
k
k
r
t
k
1
2
n
>
n
電場Eを複素数表示で記述：z成分のみ
入射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似 反射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似( )
(
)
(
)
(
1 0
1
1 0
1
)
,
exp
,
, 0
sin
,
cos , 0
rz
rx
ry
rx
ry
r
E
t
j
t
k x k y
k
k
n k
n
E
k
ω
θ
θ
=
−
−
=
=
r
r
k
透過電場E（z成分のみ）：平面波近似( )
(
)
(
)
(
2 0
2
2 0
2
)
,
exp
,
, 0
sin
,
cos
, 0
tz
tx
ty
tx
ty
t
E
t
j
t
k x k y
k
k
n k
n
E
k
ω
θ
θ
=
−
−
=
=
−
t
r
k
注意0
0
0
1
2
0
1
2
,
c
,
c
k
n
n
c
c
c
ω
=
=
=
真空中の波数 屈折率 青：複素振幅（定数） 媒質１：n1 媒質２：n2(
0, 0,
)
,
( )
,
(
, , ,
)
i
=
E
iz
E
iz
t
≡
E
iz
x y z t
E
r
添え字：Incident（入射） Reflection（反射）, Transmission（透過） 参照：202-10(
0, 0,
E
rz
)
=
r
E
(
0, 0,
E
tz
)
=
t
E
光通信工学２02－14
( )
,
( )
,
( )
,
, @
0
iz
rz
tz
E
r
t
+
E
r
t
=
E
r
t
y
=
(
)
(
)
(
)
0
1
,
, 0 ,
0, 0,
,
,
, 0
x
y
z
y
z
x
z
k k
E
k E
k E
ωµ
=
=
=
−
k
E
H
x
y
波数ベクトル 入射波 波数ベクトル 反射波 波数ベクトル 透過波1
θ
θ
1
2
θ
i
k
k
r
t
k
1
2
n
>
n
境界条件：結論のみ
境界条件の導出：205 電場Eの境界条件：電場Eの面内方向成分（z成分）が一致 媒質１側：入射波と反射波の合成波 媒質２側：透過波 磁場Hの境界条件：磁場Hの面内方向成分（ｘ成分）が一致( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
,
, @
0
,
,
,
ix
rx
tx
iy
iz
ry
rz
ty
tz
H
t
H
t
H
t
y
k E
t
k E
t
k E
t
+
=
=
+
=
r
r
r
r
r
r
求めたい関係？ • 複素振幅反射率と複素振幅透過率( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
,
exp
,
exp
,
exp
iz
ix
iy
rz
rx
ry
t
i
r
t
z
tx
ty
E
t
j
t
k x k y
E
t
j
t
k x k y
E
t
E
E
E
j
t
k x k y
ω
ω
ω
=
−
−
=
−
−
=
−
−
r
r
r
入射電場E z成分のみ 反射電場E z成分のみ 透過電場E z成分のみ=
r
,
=
t
i
i
s
s
r
E
t
E
E
E
媒質１：n1 媒質２：n2 磁場Hは簡単！：202-12 注意：未知数が２個だから方程式が２個、計算：電場E
( )
,
( )
,
( )
,
, @
0
iz
rz
tz
E
r
t
+
E
r
t
=
E
r
t
y
=
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
0
0
0
,
exp
exp
,
exp
exp
,
exp
exp
y
iz
ix
iy
ix
y
rz
rx
ry
rx
i
y
tz
tx
t
i
r
r
t
y
tx
t
E
t
j
t
k x k y
j
t
k x
E
t
j
t
k x k y
j
t
k x
E
E
E
E
E
E
E
t
j
t
k x k y
j
t
k x
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
=
−
−
→
−
=
−
−
→
−
=
−
−
→
−
r
r
r
1 1 2 21 0
1
1 0
1
sin
sin
2 0
2
1 0
1
sin
sin
sin
sin
ix
rx
n
n
tx
tx
ix
rx
tx
k
n k
k
n k
k
n k
θ
θ
k
n k
k
k
k
θ
θ
θ
=
θ
=
=
=
→
=
→
=
=
202-13 スネルの法則+
=
i
r
t
E
E
E
関係式：電場Eの複素振幅 波数ベクトル：面内方向成分（x成分）が一致 電場Eの境界条件：電場Eの面内方向成分（z成分）が一致 青：複素振幅（定数） 添え字：Incident（入射） Reflection（反射）, Transmission（透過） 202-13光通信工学２02－16
フレネルの式 Fresnel’s equation
( )
,
( )
,
( )
,
, @
0
iy
iz
ry
rz
ty
tz
k E
r
t
+
k E
r
t
=
k E
r
t
y
=
202-141 0
1
2 0
2
cos
cos
θ
θ
+
=
= −
= −
= −
i
r
iy
ry
ty
iy
ry
ty
t
E
E
E
k
k
k
k
k
n k
k
n k
関係式：電場Eの複素振幅+
=
i
r
t
E
E
E
複素振幅反射率と複素振幅透過率：実数 省略：p偏光成分：parallel（平行） 参考文献：本宮「波動光学の風景」 O plus E, 29, 11, p.1168 (2007) O plus E, 29, 12, p.1286 (2007) 磁場Hの境界条件：磁場Hの面内方向成分（ｘ成分）が一致 細かい計算手順は省略 青：複素振幅（定数） 202-132
2
1
1
2 / 1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2 / 1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
cos
sin
cos
cos
cos
cos
cos
sin
2
2
cos
2 cos
cos
cos
cos
sin
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
≡
≡
−
−
−
−
=
=
→
→
+
+
+
−
=
=
→
→
+
+
+
−
iy
ty
n n
n
s
iy
ty
iy
n n
r
i
t
n
y
y
i
s
i
t
k
k
n
n
n
r
k
k
n
n
n
k
n
t
k
k
n
n
E
E
E
E
n
(
i
r
)
t
iy
ty
k
E
−
E
=
k
E
入射波 反射波 入射波 反射波 位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反 射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山
フレネルの式が教えてくれること（一例）：反射光の位相変化
屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において
位相は不変
屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において
位相がπシフト
位相シフトがなければ、入射波と反射波は反 射点で位相ずれ無し。山なら山、谷なら谷 屈折率低い 屈折率高い 屈折率高い 屈折率低い 入射波と透過波は屈折率の大小に係わらず位相シフト無し。 これを、入射波と透過波の位相は連続であると言う。 透過波 スネルの法則のみでは分かりません光通信工学２02－18
複素振幅反射率と屈折率の関係
x
y
媒質１：n1 媒質２：n2 波数ベクトル 入射波 波数ベクトル 反射波 波数ベクトル 透過波1
θ
θ
1
2
θ
i
k
k
r
t
k
フレネルの式 Fresnel’s equation2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
cos
sin
cos
sin
2 cos
cos
sin
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
−
−
=
=
+
−
=
=
+
−
≡
r
i
t
i
s
s
E
E
E
n
r
n
t
n
n
n n
E
2 2 11
2
2
1
1
sin
0
2 cos
cos
sin
0
θ
θ
θ
θ
−
>
=
+
−
→
>
s
n
t
i
E
E
t
n
注意：屈折率の大小に係わらず成立 但し、青色（複素振幅）、複素数/複素数 = 正実数 複素振幅透過率：全反射を除く1
2
2
1
2
cos
1
sin
1
0
θ
θ
<
>
→
>
−
=
r
i
>
n
s
n
n
n
E E
r
複素振幅反射率：屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射する場合 複素振幅反射率：屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射する場合1
2
2
1
2
cos
1
sin
1
0
θ
θ
>
<
→
<
−
=
r
i
<
n
s
n
n
n
E E
r
複素数/複素数 = 正実数 複素数/複素数 = 負実数( )
(
)
(
)
,
exp
cos
,
0
i iiz
ix
iy
ix
iy
i
i
i
i
i
i
j
i
j
E
t
j
t
k x
k y
t
k x
E
E
E
e
e
E
E
k y
E
φ
φ
ω
ω
φ
=
−
−
→
−
−
+
=
=
>
r
x
y
波数ベクトル 入射波 波数ベクトル 反射波 波数ベクトル 透過波1
θ
θ
1
2
θ
i
k
k
r
t
k
1
2
n
>
n
反射光の位相変化：複素数表示と実数表示
媒質１：n1 媒質２：n2 202-13 複素振幅反射率：屈折率の 高い媒質から低い媒質へ入 射する場合 複素振幅反射率：屈折率の 高い媒質から低い媒質へ入 射する場合 青色（複素数） 赤色（正実数）( )
(
)
(
)
,
exp
cos
,
0
r rrz
rx
ry
rx
ry
r
r
r
r
r
r
j
r
j
E
t
j
t
k x
k y
t
k x
E
E
E
e
e
E
E
k y
E
φ
φ
ω
ω
φ
=
−
−
→
−
−
+
=
=
>
r
=
r
s
i
r
E E
φ
φ π
→
r
= +
i
位相がπシフト 位相は不変（連続）φ
φ
→
r
=
i
=
r
s
i
r
E E
複素数/複素数 = 正実数 複素数/複素数 = 負実数 入射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似 反射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似光通信工学２02－20 入射波 反射波 入射波 反射波 位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反 射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山
