スライド 1

(1)

光通信工学２03－1

通常のレンズ

フレネルレンズ

光通信工学

1. 復習

2. ポインティング・ベクトル

3. 光強度

4. 強度反射（透過）率

(2)

光波とは：式で書いた方が分かりやすいかも！

偏光：電場Eの振動方向

偏波面：電場Eベクトルと波数ベクトルからなる平面

進行方向：+z軸 x方向の直線偏光

x軸

y軸

k

⊥

E

H

k

H

H：磁場の強さ +y軸

(

)

(

)

, 0, 0

0,

, 0

x

y

E

H

=

E

H

平面波＆進行波：簡単・便利電場Eベクトル電場E（振動）ベクトル磁場H（振動）ベクトル磁場H ベクトル +x軸偏波面：x-z平面右ねじ：電場E（＋） →磁場H（＋）波数ベクトル

_k

=

(

_{0, 0,}

_k

>

₀

)

( )

(

)

( )

(

)

0

0 ,

cos

,

cos

,

0 x

y

E

z t

t

kz

H

z t

t

k

E

H

E

z

H

ω

φ

ω

φ

η η

=

− +

=

− +

=

>



振幅一定赤：正実数振動ベクトルを記述するときのお約束（平面波の場合） • 電場Eベクトルと磁場Hベクトルの向きは「右ねじ」で設定 • 現実には、電場Eと磁場Hは振動しているから向きも変化する • 詳細は省略するが、上記関係式は電場Ｅと電束密度Dの向きが一致する「等方性質媒質」に限定される。（例：ガラス） • 参考文献：末田「光エレクトロニクス」p.136（昭晃堂）波動インピーダンス：205 注意：電場Eも磁場Hも同じ位相速度の波。振動方向と振幅が異なる

(3)

前進波と後退波：光の場合

_電場E 磁場H

( )

(

)

( ) (

) (

)

0

0 ,

cos

,

cos

x

y

E

z t

t

kz

H

E

z t

E

t

kz

ω

φ

η

ω

φ

=

− +

=

− +

x

y

z

進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ）磁場H：ｋ→電場E

x

y

z

後退波前進波電場E 磁場H 前進波：直線偏光平面波：定数振幅（波の拡がり無限大、非現実的だけど）磁場Hを-y方向

(

)

( )

(

)

(

( )

)

(

)

1 ,

0 ,

, 0, 0 ,

0,

,

, 0 ,

0, 0,

,

0 ωµ

=

×

• =

=

±

>



E z t

_x

H

y

z t

k

H

k E

E

H

k

後退波：直線偏光ベクトル表示をしましょう！

0 k

>

係数：205：μ：透磁率磁場H：ｋ→電場E

( )

(

)

( )

(

) (

)

0

0 ,

cos

,

cos

x

y

E

z t

t

kz

H

z t

t

kz

ω

φ

η

ω

φ

=

+ +

= −

+ +

赤：正実数波動インピーダンス：205

(4)

ベクトル表示：光波の場合

電場E

x

z

進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ）磁場H：ｋ→電場E 前進波

(

)

(

)

(

)

,

x

y

z

x

y

z

x

y

z

E E E

H H

H

k k k

=

E

H

k

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

1 ,

0 ,

, 0, 0

0,

,

, 0

0, 0,

,

0 x

y

E z t

H

z t

k

ωµ

=

×

• =

=

±

>

H

k E

E

H

k

関係式：電場Eと磁場Hと波数ベクトル

y

電場E

E

k

前進波

H

磁場H 磁場H 一般化

(5)

(

0, 0,

E

_tz

)

=

t

E

反射と透過を考える：s偏光成分 senkrecht（垂直）

y

x

1 θ

θ

₁

2 θ

i

k

r

i

k

等位相面簡単のため電場E：境界面内方向成分（z軸）のみ波数ベクトル：紙面内方向成分のみ屈折率媒質１：n1 屈折率媒質１：n2

(

0, 0,

E

_z

)

,

(

k k

_x

,

_y

, 0 ,

)

k

0,

0 =

=

>

• =

E

k

E k

入射波：平面波近似波数ベクトルの位置依存性無反射波：平面波近似

t

k

(

)

(

)

0

1

1 ,

, 0

y

z

x

z

k E

ωµ

=

×

→

−

H

k E

境界面：z-x 磁場H：202-9 透過波：平面波近似非磁性体：ガラスなど真空中の透磁率

µ µ

=

0

z軸：奥から手前反射前後

i

k

→

k

_r

(

0, 0,

E

_rz

)

=

r

E

(

0, 0,

E

_iz

)

=

i

E

これから反射波と透過波の振幅を求めましょう！但し、電場Eのみ。 Key words：振幅反射率、振幅透過率

(6)

( )

(

)

(

)

(

)

(

1 0

1 1 0

1 )

1 0

,

exp

,

, 0

sin

,

cos , 0

0 iz

ix

i

iy

ix

iy

i

E

t

j

t

j

t

k x k y

k

n k

E

ω

θ

=

−

=

−

=

−

=

>

i

r

k r

k





x

y

波数ベクトル透過波

1 θ

θ

₁

2 θ

i

k

_r

t

k

1

2 n

>

n

電場Eを複素数表示で記述：z成分のみ

入射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似反射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似

( )

(

)

(

)

(

1 0

1 1 0

1 )

,

exp

,

, 0

sin

,

cos , 0

rz

rx

ry

rx

ry

r

E

t

j

t

k x k y

k

n k

n

E

k

ω

θ

=

−

=

r

k

透過電場E（z成分のみ）：平面波近似

( )

(

)

(

)

(

2 0

2 2 0

2 )

,

exp

,

, 0

sin

,

cos

, 0

tz

tx

ty

tx

ty

t

E

t

j

t

k x k y

k

n k

n

E

k

ω

θ

=

−

=

−

t

r

k

注意

0

1

2

0

1

2 ,

c

,

c

k

n

c

ω

=



真空中の波数屈折率青：複素振幅（定数）媒質１：n1 媒質２：n2

(

0, 0,

)

,

( )

,

(

, , ,

)

i

=

E

iz

E

iz

t

≡

E

iz

x y z t

E

r

添え字：Incident（入射） Reflection（反射）, Transmission（透過）参照：202-10

(

0, 0,

E

_rz

)

=

r

E

(

0, 0,

E

_tz

)

=

t

E

(7)

( )

,

( )

,

( )

,

, @

0 iz

rz

tz

E

r

t

+

E

r

t

=

E

r

t

y

=

(

)

(

)

(

)

0

1 ,

, 0 ,

0, 0,

,

, 0

x

y

z

y

z

x

z

k k

E

k E

ωµ

=

−

k

E

H

x

y

波数ベクトル入射波波数ベクトル反射波波数ベクトル透過波

1 θ

θ

₁

2 θ

i

k

_r

t

k

1

2 n

>

n

境界条件：結論のみ

境界条件の導出：205 電場Eの境界条件：電場Eの面内方向成分（z成分）が一致媒質１側：入射波と反射波の合成波媒質２側：透過波磁場Hの境界条件：磁場Hの面内方向成分（ｘ成分）が一致

( )

,

, @

0 ,

,

ix

rx

tx

iy

iz

ry

rz

ty

tz

H

t

H

t

H

t

y

k E

t

k E

t

k E

t

+

=

+

=

r

求めたい関係？ • 複素振幅反射率と複素振幅透過率

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

,

exp

,

exp

,

exp

iz

ix

iy

rz

rx

ry

t

i

r

t

z

tx

ty

E

t

j

t

k x k y

E

t

j

t

k x k y

E

t

E

j

t

k x k y

ω

=

−

=

−

=

−

r

入射電場E z成分のみ反射電場E z成分のみ透過電場E z成分のみ

=

r

,

=

t

i

s

r

E

t

E

媒質１：n₁ 媒質２：n₂ 磁場Hは簡単！：202-12 注意：未知数が２個だから方程式が２個、

(8)

フレネルの式 Fresnel’s equation

( )

,

( )

,

( )

,

, @

0 iy

iz

ry

rz

ty

tz

k E

r

t

+

k E

r

t

=

k E

r

t

y

=

202-14

1 0

1 2 0

2 cos

cos

θ

+

=

= −

i

r

iy

ry

ty

iy

ry

ty

t

E

k

n k

k

n k

関係式：電場Eの複素振幅

+

=

i

r

t

E

複素振幅反射率と複素振幅透過率：実数フレネルの式 Fresnel’s Equation：ｓ偏光成分省略：p偏光成分：parallel（平行）参考文献：本宮「波動光学の風景」 O plus E, 29, 11, p.1168 (2007) O plus E, 29, 12, p.1286 (2007) 磁場Hの境界条件：磁場Hの面内方向成分（ｘ成分）が一致細かい計算手順は省略青：複素振幅（定数） 202-13

2

1

1 2 / 1

1

2

1

2

2 ₁

₁

2 / 1

1

2

1

2

2 ₁

₁

cos

sin

cos

_cos

_sin

2 ₂

_cos

_{2 cos}

cos

_cos

_sin

θ

_θ

θ

_θ

≡

−

₋

−

=

→



→

+

₊

₋

=

→



→

+

₊

₋

iy

ty

n n

n

s

iy

ty

iy

n n

r

i

t

n

y

i

s

i

t

k

n

r

k

n

_n

k

_n

t

k

n

_n

E

n

(

i

r

)

t

iy

ty

k

E

−

E

=

k

E

(9)

光通信工学２03－9 入射波反射波入射波反射波位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山

反射光の位相変化（s偏光）

屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相は不変

屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相がπシフト

位相シフトがなければ、入射波と反射波は反射点で位相ずれ無し。山なら山、谷なら谷実はp偏光でも状況は同じであるが、やや座標系が複雑になるためちょっと解釈が難しい。参考文献：河合「光学設計のための基礎知識」p.145、オプトロニクス社屈折率低い屈折率高い屈折率高い屈折率低いこれから光強度について考えましょう！なんとなく、明暗情報は振幅に比例しそうですが。透過波

(10)

定義：ポインティング・ベクトル（平面波に限定されない）

(

)

(

)

, 0, 0

0,

, 0

x

y

E

H

=

Ε

H

(

)

2 {

(

)

}

0

2

0 cos

1 cos 2

2

2 z

S

E

ω

t

kz

φ

E

ω

t

kz

φ

η

=

− +

=

+

−

+

S

光強度について考える：簡単な例向き：エネルギー流大きさ：単位断面積・単位時間当たりのエネルギーの流量

10 -9

10 -6

10 -3

1

10

15

10

12

10

9

10

6

100 周波数波長

Hz m

電磁波の種類光は電磁波

10

18 (

0, 0,

S

_z

)

= × =

S

E H

γ線

X線

紫外線

可視光線

赤外線

マイクロ波

短波

15

2 f

10 Hz

ω

=

π

_

注意：ポインティング・ベクトルは光強度ではありません

ポインティング・ベクトル（Poynting vector）：平面波の場合

高速振動項：検出不可

(

)

(

) (

)

0

0 cos

cos

x

y

E

t

kz

H

E

t

z

E

k

ω

φ

η

ω

φ

=

− +

=

− +

平面波：振幅・波数ベクトルに位置依存性無電場Eベクトル：x成分のみ磁場Hベクトル：y成分のみ赤：正実数進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ）

(11)

(

)

{

}

2

0

2

0

0 1 cos 2

2

2 z

z

E

S

E

t

k

E

z

S

ω

φ

η

=

+

−

+

→

S

=

電場E振幅の自乗に比例：直感的

(

0, 0,

S

_z

)

= ×

=

S

E H

２．単位時間当たりのエネルギー流量ポインティング・ベクトルとは１．単位断面積を通過する３．ポインテイング・ベクトルの向き４．高速に振動する項を周期時間平均して除去５．単位断面積当たり光強度が求められる周期時間平均：零本講義では、波数ベクトルの向きとポイティング・ベクトルの向きが必ず一致するような場合「等方性媒質（ガラスなど）」のみを扱う。異方性媒質では等位相面の進行方向とエネルギーの進行方向は一致しない：参考：末田「光エレクトロニクス」p.136、昭晃堂（省略） z軸進行方向復習 • 波数ベクトル：電場E→磁場H（右ねじ） • 波数ベクトルの向きは波の進行方向 • 波数ベクトルの大きさは位相速度と関係単位断面積当たりの光強度は電場E振幅の自乗に比例

k

(

0, 0,

)

ω

=

p

k

v

k

平面波：振幅一定赤：正実数青：複素数

0

2

0 E

E

∝

=

平面波と光強度の関係：暗い赤から明るい赤に注意：色は変化しない。色は角周波数で異なる。（201）ポインティング・ベクトルの大きさから高速に振動する項を除くと単位断面積当たりの光強度：単位：W/ｍ２位相速度：201-13

光強度（単位：Ｗ）：平面波近似

(12)

光強度：整理しましょう！

ポインティング・ベクトル（Poynting vector）向き：エネルギー流大きさ：単位断面積・単位時間当たりのエネルギー流量勘違いし易い：光強度ではありません。

= ×

S

E H

周期時間平均：高速振動項の除去

= ×

S

E H

単位断面積当たりの光強度：単位：W/ｍ２光強度：単位：W

D S



参考：光エネルギー（真空中） 0 0

1

2

em

U

=

ε

E E



+

µ

H H



ある時刻、ある空間に蓄積された単位体積当たりのエネルギー光ビーム単位体積光ビームベクトルの向き em

U

断面積真空中の誘電率真空中の透磁率光検出器光強度：単位：W 単位：W = VA 電場E：V/m 磁場H：A/m 光エネルギーについては後日説明：208

S

(13)

強度反射・透過の考え方

ビーム的に扱う

0

2

2 D

D

E

I

η

=



S

=

断面積 光強度 媒質１：n₁ 媒質２：n₂

1 θ

2 θ

i

k

_r

t

k

1

2 n

>

n

i

D

_r

t

D

0 D

0

1

0

2 cos

cos

i

r

t

D

θ

=

(

₍

)

₎

(

)

2

1

2

1

2

2 η

η

=

i

r

i

r

t

I

D

I

D

I

D

E

青：複素振幅断面積光強度：ビーム径を考慮

D

後日説明、波動インピーダンスの屈折率依存：205

η

∝ n

−

1

光強度：電場E振幅の自乗、断面積に比例、波動インピーダンスに反比例注意：同じ光強度でも電場E振幅、断面積、波動インピーダンスが異なる場合もある。反比例 平面波近似 強度反射・透過率：フレネルの式を思い出しましょう！

2

1

2

1 r

s

i

t

s

i

r

i

t

i

I

R

I

D

n D

E

T

D

_E

I

D

n

_E

η

=

≠

強度透過率：入射波と透過波のビーム径と屈折率の違いに注意！

(14)

2

1

1 2 / 1

1

2

1

2

2 ₁

₁

2 / 1

1

2

1

2

2 ₁

₁

cos

sin

cos

_cos

_sin

2 ₂

_cos

_{2 cos}

cos

_cos

_sin

θ

_θ

θ

_θ

≡

−

₋

−

=

→



→

+

₊

₋

=

→



→

+

₊

₋

iy

ty

n n

n

s

iy

ty

iy

n n

r

i

t

n

y

i

s

i

t

k

_n

n

r

k

n

_n

k

_n

t

k

n

_n

E

n

複素振幅反射率と複素振幅透過率：実数フレネルの式 Fresnel’s Equation：ｓ偏光成分

フレネルの式 Fresnel’s equation

2

1

1 cos

,

cos

t

r

s

i

r

t

i

I

n D

I

n

R

E

r

T

E

t

E

I

n D

n

θ

=

強度反射率：入射波と反射波で断面積は同じ強度透過率：入射波と透過波のビーム径と屈折率の違いに注意！

強度反射率・透過率

0 cos ,

1

0 cos

2 i

r

t

D

=

D

=

D

θ

D

=

D

θ

断面積：203-14 強度透過率：媒質１と２のビーム径と屈折率の違いに注意しましょう！

(15)

全反射：Total internal reflection

臨界角 Critical angle

x

y

媒質１：n₁ 媒質２：n₂ 波数ベクトル入射波波数ベクトル反射波波数ベクトル透過波仮想的な扱い

1 θ

θ

₁

2

2 π

θ

=

1

2

1

2

1

2

1 sin

sin

2 sin

sin

_c

n

n n

θ

π

θ

>

=

≡

i

k

_r

スネルの法則 Snell's law フレネルの式 Fresnel’s Equation

2

1

2

1

2

1

2

1 cos

sin

cos

sin

2 cos

cos

sin

θ

−

=

+

−

=

+

−

≡



r

i

t

i

s

E

n

r

n

t

n

n n

E

全反射条件

1

2

1

2 sin

sin

c

n n

n

θ θ

θ

>

→

>

→

>

_

>

1

2

1 sin

1,

2 s

s

n

n n

r

t

θ

= =

=

臨界角：平方根が零全反射条件：フレネルの式では平方根が零か虚数虚数の意味（説明省略）：エバネセント波参考文献：M.ボルン、E.ウォルフ（著）、草川・横田訳「光学の原理Ｉ」p.73（東海大学出版会）全反射：複素振幅反射率100%：あたりまえの結果複素振幅透過率200％：非直観的！透過率200%?

t

k

複素振幅透過率：我々の直観とはマッチしない！

(16)

強度反射・透過率？：全反射

媒質１：n₁ 媒質２：n₂

1 θ

2 θ

i

k

_r

t

k

1

2 n

>

n

i

D

_r

t

D

0 D

強度反射・透過率

2

1

2

1

1 cos

1,

0 cos

t

r

t

r

s

i

s

i

t

I

D

I

n

R

r

T

t

I

D

n

E

η

θ

η

θ

=

→

=

→

光強度：断面積を考慮

(

)

(

)

(

)

2

1

2

1

2

2 η

η

=

i

r

i

r

t

I

D

I

D

I

D

E

複素振幅反射率と複素振幅透過率 • フレネルの式 • 断面積を考慮していない • 直感と矛盾

1

2 =

→

=

→

r

i

t

i

s

r

t

E E

2

0

1

2

0

2 cos

cos

θ π

0 θ

θ

=

→

=

i

r

t

D

全反射の場合：透過光の断面積は零青：複素振幅透過光の断面積は零：強度透過率も零（直感と一致）強度反射率は100％（直感と一致）

(17)

直感的な理解：光のエネルギーは保存される

透過光の断面積は零：強度透過率も零（直感と一致）強度反射率は100％（直感と一致）全反射の場合全反射でなくても

R

_s

+ =

T

_s

1

振幅反射・透過率ではダメ

_1,

2

2 ₁

s

r

+ ≠

t

r

+

t

≠

重要

1. 振幅反射・透過率ではビーム断面積が考慮されていない。

2. 強度反射・透過率ではビーム断面積が考慮されている。従ってビーム断面積が考慮されている強度反

射・透過率の方が我々は馴染みやすいかもしれない。

2

1

2

1

1 cos

1,

0 cos

t

r

_t

r

s

i

s

i

t

I

D

I

n

R

r

T

t

I

D

n

E

η

θ

η

θ

=

→

=

→

「反射率が50%なら透過率も50%だね」と言えるのは、強度反射・透過率

(18)

10

20

30

40

0

0.5

1

1.5

2

2.5 n1

1.5, n21, n1



1.5

1 θ

s

t

s

r

10

20

30

40

0.2

0.4

0.6

0.8

1 n1

1, n21.5, n1.5

1 θ

Brewster s

R

s

T

強度反射・透過率振幅反射・透過率

1 s

s

R

+ =

T

全反射媒質１：n₁ 媒質２：n₂

1 θ

2 θ

i

k

_r

t

k

1

2 n

>

n

i

D

_r

t

D

0 D

全反射透過側：ビーム径が零

入射側屈折率が大：全反射あり

垂直入射計算例光強度

(

)

(

)

(

)

2

1

2

1

2

2 η

η

=

i

r

is

i

rs

r

ts

t

I

D

I

D

E

D

E

I

E

p

t

p

r

p

T

p

R

説明省略：p偏光成分 s偏光成分

1

2 n

>

n

詳細省略：透過波の断面積は常に小さい

1 =

1.5,

2 =

1,

=

1 1.5

n

全反射：振幅透過率200%? ビーム径を考慮していない反射・透過率我々の直感とマッチしている理由：ビーム径を考慮しているから参考資料：授業では割愛

(19)

光通信工学２03－19 媒質１：n₁ 媒質２：n₂

1 θ

2 θ

i

k

r

t

k

i

D

_r

t

D

0 D

透過側屈折率が大：全反射なし

計算例

n

₁

<

n

₂

1

2

1

2

1

2

1

2 sin

sin

i

r

t

n

D

θ

θ θ

=

<

→ >

<

→

=

<

スネルの法則：屈折率の大小関係に注意

20

40

60

80 -0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1 n1

1, n21.5, n1.5

1 θ

p

t

s

t

p

r

s

r

振幅反射・透過率全反射無：透過率＜１説明省略：p偏光成分 s偏光成分：負

20

40

60

80

0.2

0.4

0.6

0.8

1 n1

1, n21.5, n1.5

p

T

s

T

s

R

p

R

Brewster 強度反射・透過率

,

1 s p

s p

R

+

T

=

1 θ

詳細省略：透過波の断面積は常に大きい。透過側：ビーム径は非零（θ１＝π/2を除く）我々の直感とマッチしている水平入射非現実的