1
テ ン ソ ル 代 数
§1.ベ ク ト ル
テ ン ソ ル(tensor)と い う術 語 は,緊 張 を 意 味 す る ラ テ ン語 のtensioか ら き て い る.そ の 語 源 の よ う に,テ ン ソ ル は 弾 性 体 の 力 学 の 中 で 張 り合 う応 力(張 力)を 表 す た め に,ベ ク トル よ り一 般 の 量 と し て 初 め て 登 場 し た.そ の 後,各 種 の 力 学 や 電 磁 気 学 の 中 で い ろ い ろ の 量 を 表 現 す る た め に,テ ン ソ ル は 有 効 な 手 段 と し て 用 い ら れ て い る.
一 方 ,数 学 に おい ては テ ンソ ルの代 数 的 な定 式 化 が 行 われ,リ ー マ ン幾 何 学 に 始 ま る 現 代 微 分 幾 何 学 で は,非 常 に 優 れ た 表 現 方 法 と し て,縦 横 に 用 い られ て い る.
第1章 で は 普 通 の 空 間,す な わ ち3次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お い て,直 交 座 標 系 に 関 す る ベ ク トル お よ び テ ン ソ ル の
代 数 的 性 質 を 取 り扱 う.
空 間 内 に1つ の 直 交 座 標 系 を と り,そ の 原 点 をOと し,座 標 軸 上 の 単 位 ベ ク
トル をe1,e2,e3と す る,そ れ らを 座 標 系 の 基 本 ベ ク ト ル とい う.一 般 に, そ れ ぞ れ が 単 位 ベ ク トル で あ り,か つ 互 い に 直 交 す る よ うな ベ ク トル で 作 ら れ る 基 底 を 正 規 直 交 基 底 とい う.以 下,
簡 単 に 直 交 基 底 とい う.基 本 ベ ク トルe1,e2,e3で 作 られ る 基 底 は 直 交 基 底 で あ り,そ れ を Σ{e1,e2,e3}で 示 し,ま た 原 点 を 明 示 す る 必 要 が あ る と き は Σ{O,e1,e2,e3}で 示 す こ と に す る.
1‑1図
1つ の 直 交 基 底 Σ に 関 し て,点 の 座 標 は 普 通(x,y,z)が 用 い られ る が, 今 後 一 般 に 直 交 座 標 を 扱 う と き は
と お き,点 の 座 標 を(x1,x2,x3)ま た は 簡 単 に(xi)と 書 く.問 題 が 特 定 の 座 標 系 に 関 し て 特 別 な 形 で 記 述 さ れ て い る と き は,上 記 の よ うな 座 標 の 読 み 替
え を 随 時 行 う こ と に す る.
点P(xi)の 原 点Oに 関 す る位 置 ベ ク トルr=〓 は (1)
で 表 され る.
空 間 の ベ ク トルaは 基 底 Σ に 関 し て基 本 ベ ク トル の1次 結 合 (2)
で 表 さ れ,こ の 表 し方 は 一 意 的 で あ る.(a1,a2,a3)を ベ ク トルaの Σ に 関 す る 成 分 と い い,Σ が 定 ま っ て い る と き ベ ク トルaを
と 書 く.
ベ ク トルa=(ai)とb=(bi)に 対 し て ,内 積a・bは
(3)
で 与 え ら れ る.ベ ク トルaの 長 さ￨a￨は (4)
で 与 え られ る.内 積 の 記号 を用 い れ ば (5)
と表 す こ と が で き る.2つ の ベ ク トルaとbの な す 角 θ は (6)
で 与 え られ る.
ベ ク トルaが 単 位 ベ ク トル,す な わ ち そ の 長 さ が1で あ る こ と は
で あ り,ま たaとbが 互 い に 直 交 し て い る た め の 条 件 は
で あ る.し た が っ て,Σ{e1,e2,e3}が 直 交 基 底 で あ る こ と,す な わ ちe1,e2,e3 が 単 位 ベ ク トル で あ り,か つ 互 い に 直 交 し て い る こ と は
(7)
で 特 徴 づ け られ る.
(8)
で 定 義 さ れ る 記 号 δijを ク ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ と い い,こ れ を 用 い れ ば 式(7)を 一 ま と め に し て
(7')
と書 く こ と が で き る.
定 理1.1任 意 の ベ ク トルa,b,c,任 意 の ス カ ラ ーkに つ い て,内 積 は 次 の 性 質 を も つ.
(i)対 称 性 (ii)双1次 性
(iii)正 定 値 性
こ こ で 等 号 が 成 り立 つ の はa=0の と き,そ し て そ の と き に 限 る.
直 交 座 標 系(x1,x2,x3)のx1軸 の 正 方 向 か らx2軸 の 正 方 向 へ90° 回 転 す る 向 き がx3軸 の 正 方 向 に 対 し て 右 回 転 に な る と き そ の 座 標 系 は 右 手 系 で
1‑2図
あ る とい い,左 回 転 に な る と き 左 手 系 で あ る とい う.空 間 内 で そ の い ず れ か 一 方 の 回 転 の 向 き を 固 定 す る と き ,空 間 に 方 向 を 付 け る と い う.普 通,右 手 系 を 選 ぶ こ と に す る.
3つ の ベ ク トルa=(ai),b=(bi),c=(ci)に 対 し て,そ れ らの 成 分 で 作 られ る 行 列 式 を
(9)
で 表 す.a,b,cが 互 い に1次 独 立 で あ る た め の,し た が っ て{a,b,c}が 基 底 を な す た め の 必 要 十 分 条 件 は
で あ る.そ し て 行 列 式￨abc￨の 値 が 正 で あ る か 負 で あ る か に 従 っ て,基 底 {a,b,c}は(基 底 Σ に 関 し て)正 ま た は 負 の 向 き で あ る と い う.
零 ベ ク トル で な い2つ の ベ ク トルa,bに 対 し て,次 の 性 質 を も つ ベ ク トル vをaとbの 外 積 ま た は ベ ク ト ル 積 とい い,記 号v=a×bま た は[a,b]で 表 す.
(i)
(ii)
vの 長 さはaとbの 作 る平 行 四辺 形 の 面 積 に 等 し い.
(iii){a,b,v}は こ の 順 序 で 正 の 向 き を も つ.a//bの と き は,aとbに 垂 直 な 方 向 は 定 ま ら な い が,そ れ ら の 作 る 平 行 四 辺 形 は 退 化 し て 面 積 は0で あ る か ら,a×b=0と 定 義 す る.そ の と き
定 理1.2ベ ク トルa=(ai)とb=(bi)の ベ ク トル 積v=(vi)の 成 分 は 次 の 式 で 与 え られ る.
3つ の ベ ク トルa,b,cに 対 し て,ベ ク トル 積a×bとcの 内 積 は
1‑3図2
直 交 テ ン ソ ル 解 析
§1.テ ン ソ ル 関 数
第1章 に 引 き 続 い て,3次 元 空 間 で 直 交 テ ン ソ ル に つ い て 考 察 す る.テ ン ソ ル と い え ば 直 交 テ ン ソ ル を 指 す も の とす る.
あ る 区 間 を動 く変 数tの お の お の の 値 に 対 し て ベ ク トルv(t)が 定 ま る と き, v(t)を ベ ク ト ル 関 数 と い う.直 交 基 底 Σ{e1,e2,e3}に 関 し て,
と 表 す と き,成 分vi(t)はtの 関 数 で あ る.同 様 に 変 数tの お の お の の 値 に 対 し て テ ン ソ ルT(t)が 定 ま る と き,T(t)を テ ン ソ ル 関 数 と い う.た と
え ばT(t)が2階 の テ ン ソ ル 関 数 で あ る と き
と表 せ ば,す べ て の 成 分Tij(t)はtの 関 数 で あ る.tの 変 化 に 対 し て 変 わ ら な い テ ン ソ ル を 定 テ ン ソ ル とい う.そ の 成 分 は す べ て 定 数 で あ る.
変 数tの 増 分 Δtに 対 し て
が 存 在 す る な ら ば,こ の 極 限 の テ ン ソ ル を 値tに お け るT(t)の 微 分 係 数 とい い,
で 表 す.tの お の お の の 値 に 対 し てdT(t)/dtが 存 在 す る と き,こ れ を テ ン
ソ ル 関 数 と 考 え て,T(t)の テ ン ソ ル 導 関 数 とい う.eiは 定 ベ ク トル で あ
る か ら,
で あ り,直 交 基 底 に 関 し てT(t)を 成 分(Tij(t))で 表 す と き,そ の テ ン ソル 導 関 数 は 成 分 の 導 関 数
で 表 され る.
直 交 基 底 変 換 (1)
の も と で,成 分 の 変 換 法 則 は (2)
で あ る.aijは 定 数 で あ る か ら
で あ り,こ れ はdT/dtの 成 分 も テ ン ソ ル の 成 分 の 変 換 法 則 に 従 う こ とを 示 し て い る.し た が っ て テ ン ソ ル の 導 関 数 の 計 算 を 成 分 の 導 関 数 の 計 算 に よ っ て 行 う こ と が で き る.
普 通 の 関 数 の 微 分 と 同 様 に,次 の 微 分 の 公 式 が 成 り立 つ.
定 理1.1S(t),T(t)を テ ン ソ ル 関 数,Kを 定 テ ン ソ ル,f(t)をt の 関 数 とす る と き 次 の 式 が 成 り立 つ.
(零 テ ン ソ ル)
ま た
定 理1.2縮 約 ・縮 合 と微 分 の 順 序 は 交 換 で き る.た と え ば
で あ る.し た が っ て,ベ ク トル 関 数u(t),v(t),w(t)に つ い て 次 の 公 式 が 成 り立 つ.
第2式,第3式 に お い て 因 数 の ベ ク トル の 順 に 注 意 し な け れ ば な ら な い.
[証 明]
(u×v)i=εijkujvkで あ り,εijkは 定 数 で あ る か ら
第3式 は￨uvw￨=εijkuivjwkを 微 分 す れ ば よ い. ◇
定 理1.3ベ ク トル 関 数v=(vi)と 交 代 テ ン ソ ル 関 数V=(Vjk)が 互 い に 付 随 し て い る な ら ば,そ れ ら の 導 関 数 も互 い に 付 随 し て い る.
ベ ク トル 関 数 が 変 数tの 任 意 の 値 に 対 し て単 位 ベ ク トル で あ る と き 単 位 ベ ク ト ル 関 数 とい う.ま た2つ の ベ ク トル 関 数 がtの 任 意 の 値 に 対 し て つ ね に 直 交 し て い る と き 直 交 で あ る と い う.
定 理1.43つ の ベ ク トル 関 数b1(t),b2(t),b3(t)が 単 位 ベ ク トル 関 数 で 互 い に 直 交 し て い る な ら ば,す な わ ち Σ(t){b1(t),b2(t),b3(t)}
が つ ね に 直 交 基 底 を 作 っ て い る な らば,そ の ベ ク トル 導 関 数 に つ い て
3
テ ン ソ ル 解 析 の 応 用
§1.流 体 力 学
流 体 は 質 点 の 連 続 体 で あ る か ら,そ の 運 動 を 記 述 す る た め に ま ず 次 の 方 法 が 考 え ら れ る.各 質 点 を 区 別 す る た め に 標 識(ai)
=(a1,a2,a3)を 付 け,そ の 質 点 の 座 標 を 標 識 と時 間tの 関 数 と し て
と表 す.こ こ に 標 識(ai)は 時 刻t=0に お け る 各 質 点 の 座 標 な ど が 用 い られ る.こ の 場 合,各 質 点 の 速 度 ベ ク トル は
で与 え られ る.
も っ と一般 的 に 用 い られ る有効 な方 法 は,
各 質 点 に 標 識 を 付 け る こ と は や め て,流 体 の 中 で 各 点 に お い て 各 時 刻 に 一 定 の 速 度 が 結 び つ い て い る とい う考 え を 出 発 点 に す る.い い 換 え れ ば,各 時 刻tに 対 し て速 度 ベ ク トルv=(vi)の 分 布 が あ り,し た が っ て 速 度 ベ ク トルvは 点 の 座 標(xi)と 時 間tの 関 数 と し て
で 与 え ら れ て い る と考 え る.そ の と き,流 体 の 運 動 は ベ ク トル 場vの 流 線, す な わ ち 微 分 方 程 式
(1)
の積分 曲 線 と して得 られ る.
関 数fを 流体 の 各点 に結 び つ け られ 時 間 と ともに変 化 す る量 で あ る とす る.
3‑1図
fは 一 般 に 点 の 座 標(xi)と 時 間tの 関 数f(xi,t)で あ り,こ の 量 が 式(1) で 表 さ れ た 流 体 の 運 動 と と も に,ど う変 化 す る か を 調 べ よ う.
時 刻tに 座 標xi(t)に あ っ た 点 の 時 刻t+dtに お け る 座 標 は,高 次 の 項 を 無 視 す れ ば
で あ る.し た が っ て,時 間dtに 対 す る 量f(xi,t)の 変 化 は
こ れ は 時 間tの 変 化 に 対 す る 量f(xi,t)の 実 質 的 な 変 化 の割 合 で あ っ て, Df/Dtな ど の 記 号 で 表 さ れ る こ とが 多 い.こ こ で はdf/dtで 示 す こ と に す
る.ベ ク トル の 記 号 を 用 い れ ば
(2)
で 表 す こ とが で き る.
速 度v自 身,点(xi)と 時 間tに 関 係 す る 量 で あ る か ら,加 速 度 ベ ク トル a=(αi)は
(3)
で 与 え られ る.ま た流 体 の密度 ρ は単位 体 積 あた りの質 量 で あ り,一 般 に点 (xi)と 時 間tの 関 数 で あ り,時 間 に 対 す る 実 質 的 変 化 は
で あ る.
い ま,Vを そ の 流 体 の 中 の1つ の 立 体 と し, そ の 境 界 の 閉 曲 面 をSと す る.Sは 流 体 の 運 動 と と も に 動 き,つ ね に 同 じ 粒 子 か らで き て い
3‑2図
る も の とす る.流 体 が 動 くに 従 っ て,曲 面S上 の 粒 子 は 一 般 に は 法 線 方 向 で は な し に 斜 め に 移 動 す る.そ の 速 度vの 法 線 方 向 の成 分 はv・n=viniで あ る.
ゆ え に 微 小 時 間dtに 対 し て,時 刻tに お け る 曲 面Sと 時 刻t+dtに お い て 同 じ粒 子 で 作 られ る 曲 面S'と の 間 の 薄 い 部 分 の 体 積 は
で あ る.こ れ は 時 間tに 対 す る体 積Vの 増 分 で あ る か ら,
で あ り,こ れ に 第2章 の ガ ウ ス の 発 散 定 理6.5を 適 用 す れ ば,
(4) を 得 る.
1点Pで 時刻tに お け る単位 体 積 あた りの体 積 変化 率 は,Pを 含 み か つP に収 縮す る よ うな 立体Vを 考 え て,そ の極 限 を考 えれ ば
(5)
で あ る.こ れ が 発 散 ∇・v=∇iviの1つ の 物 理 的 な 意 味 を 与 え て い る.
ニ ュ ー ト ン 力 学 の 基 礎 的 原 理 と し て 質 量 不 変 の 原 理 が あ る .ど の よ う な 質 点 系 も,そ れ が つ ね に 同 じ 質 点 か ら成 り立 っ て い る な ら ば,質 量 は 不 変 で あ る.
流 体 の 速 度 ベ ク トル 場 がv(x,t)で あ り,各 点 の 密 度 が ρ(x,t)で あ る と き, 流 体 の 体 積 素dVに 対 応 す る 質 量 は ρdVで あ る.流 体 が 動 く と き,体 積dV
は 変 化 す る か も 知 れ な い が,ρdVは 不 変 で あ る.流 体 内 の 任 意 の 立 体Vの 体 積 は
と表 され,こ れ の 時 間 に対 す る変化 率 は
で あ る.こ の 単 位 体 積 あ た りの 変 化 率 は 式(5)を 求 め た と 同 様 に し て,
4
一 般 の テ ン ソ ル 代 数
§1.反 変 ベ ク ト ル,共 変 ベ ク ト ル い ま ま で,ベ ク トル や テ ン ソ ル を 記 述 す る た め に,空 間 の 中 に 直 交 基 底 を と り,そ れ に 関 す る成 分 に よ っ て 表 現 し,ま た 直 交 基 底 を 取 り換 え た 場 合 の 成 分 の 間 の 関 係,す な わ ち 成 分 の 変 換 法 則 を 調 べ,さ
ら に ど の 直 交 基 底 に も通 用 す る形 で の テ ン ソ ル 解 析 を 行 っ て き た.
の ち に 空 間 内 で の 曲 線 座 標 を 用 い て の テ ン ソル 解 析 を 行 う準 備 と し て,一 般 の 基 底 を 用 い た 場 合 に,ベ ク トル や テ ン ソ ル が ど の よ う に 表 現 さ れ る か を 見 る こ と に し よ う.
空 間 の 中 で 互 い に1次 独 立 な3個 の ベ ク トルe1,e2,e3の 組 Σ{e1,e2,e3}
が 与 え られ た と き,任 意 の ベ ク トルvを そ れ ら の1次 結 合 で 表 す こ とが で き る.こ の 意 味 で ベ ク トル の 組 Σ を1つ の 基 底 と い う.e1,e2,e3が 単 位 ベ ク トル で な くて も,あ る い は 互 い に 直 交 し て い な くて も よ い か ら 斜 交 基 底 と い う こ と も あ る.直 交 基 底 に 関 す る 成 分 を(v1,v2,v3)の よ う に 下 付 き の 指 標 で 表 し て き た が,今 後 ベ ク トル を 扱 う と き
(1)
の よ う に,ベ ク トル の 成 分 を 上 付 き の 指 標 で 表 す の が 便 利 で あ る.こ れ ら はv の 成 分 の 番 号 を示 す も の で あ っ て,累 乗 を 表 す も の で は な い.こ れ らの 成 分 を ま と め てviで 書 き,1つ の 基 底 に 関 し て 話 を 進 め て い る と き,簡 単 に
と 書 く.
い ま ま で,直 交 基 底 に 関 し て,1つ の 項 の 中 に2度 現 わ れ て い る 指 標 に つ い
て は 総 和 を と る と い う,ア イ ン シ ュ タ イ ン の 総 和 の 規 約 を 用 い て き た.し か し
今 後 一般 の基 底 に関す る場 合 に は,1つ の項 の 中 で上 側 と下 側 とに1度 ず つ現 わ れ て い る よ うな指 標 につ い て総 和 の規 約 を適 用す る.た とえば,ベ ク トルv
につ い て式(1)は
と 表 さ れ る.
1つ の 基 底 Σ に 関 し て,2つ の ベ ク トル が 成 分
を も つ と き,そ の 和 お よ び ス カ ラ ー 倍 は そ れ ぞ れ
で 与 え ら れ る.
さ て,2つ の 基 底 Σ{e1,e2,e3},基 底 Σ'{e'1,e'2,e'3}に つ い て,そ の 間 に ど ん な 関 係 が あ り,ま た そ れ ぞ れ の 基 底 に 関 す る ベ ク ト ル の 成 分 の 間 に ど の よ う な 関 係 が あ る か を 見 よ う.Σ'が 基 底 で あ る か ら,基 底 Σ の ベ ク トルe1, e2,e3はe'1,e'2,e'3の1次 結 合 と し て
と 表 され る.こ れ ら を 一 ま と め に し て
(2)
と書 く こ と が で き る.も ち ろ ん 指 標aに つ い て は 総 和 を と っ て い る.e1,e2, e3は 互 い に1次 独 立 で あ る か ら,行 列
は正 則 で あ る.
Aの 逆 行 列 を
とす る.そ の と き 関 係 式
が 成 り立 つ.こ れ をAai,〓iaを 用 い て 書 き くだ せ ば (3)
と 表 す こ と が で き る.式(2)に 〓ibを 掛 け てiに つ い て1か ら3ま で の 和 を と れ ば
で あ る か ら (4)
と な る.こ れ は Σ'の 基 本 ベ ク トル を Σ の 基 本 ベ ク トル の1次 結 合 で 表 し た 式 で あ る.関 係 式(2)お よ び(4)を 基 底 の 変 換 と い う.
逆 に,任 意 の 正 則 行 列A=(Aai)と こ の 逆 行 列A‑1=(〓ia)が 与 え られ た と き,式(4)で 定 め られ る ベ ク トルe'1,e'2,e'3は 互 い に1次 独 立 で あ り, そ れ ら は1つ の 基 底 Σ'{e'1,e'2,e'3}を 構 成 す る.
ベ ク トルvが Σ お よ び Σ'に 関 し て そ れ ぞ れ 成 分(vi),(v'a)を も つ と す る.そ の と き
(5)
で あ る か ら,eiに 式(2)を 代 入 す れ ば
と な る.e'1,e'2,e'3は1次 独 立 で あ る か ら,両 辺 の 係 数 を 比 較 し て
(6)
を 得 る.ま た 式(5)のe'aに(4)を 代 入 し て,eiの 係 数 を 比 較 す れ ば (7)
を 得 る.こ れ ら の 式(6),(7)を 基 底 の 変 換(2),(4)に よ る ベ ク ト ルvの
成 分 の 変 換 法 則 とい う.
5
