解析学 II （ 2021 年度前期）演習問題 1

解析学 II （ 2021 年度前期）演習問題 1

問題1.1. 第n項が以下で与えられる数列は収束するか，発散するかを答え よ．収束するものは，極限を求めよ．

(1) n²−n−6

2n²+ 3n+ 6 (2) n²−n (3) 1

√n (4) (−1)ⁿ (5) (−1)ⁿ

n

問題1.2. 以下の命題は正しいか？正しくない場合には，反例を挙げよ．

(1) lim

n→∞a_n=∞, lim

n→∞b_n=∞ならば，lim

n→∞(a_n−b_n) = 0 (2) lim

n→∞an=∞, lim

n→∞bn=−∞ならば，lim

n→∞anbn=−∞

(3) lim

n→∞an=−∞, lim

n→∞bn =∞ならば，lim

n→∞

an

b_n =−1 問題1.3. a_n = 1

2ⁿ とする．

(1) ε >0とする．不等式an< εをnについて解け．

(2) ε-N論法を用いて，lim

n→∞an = 0を証明せよ．

問題1.4. an =2n+ 1

n+ 3 とする．

(1) ε >0とする．不等式|a_n−2|< εをnについて解け．

(2) ε-N論法を用いて，lim

n→∞a_n = 2を証明せよ．

問題1.5. a >1とする．

(1) a= 1 +hとする．(1 +h)ⁿの 2 項展開を用いて，n≥3ならばaⁿ >

n(n−1)(n−2)

6 h³であることを示せ．

(2) lim

n→∞

n²

aⁿ = 0を示せ．

問題1.6. a >1とする．

(1) a < N < nを満たす自然数N, nに対し，aⁿ n! ≤a^N

N! · a

nを示せ．

(2) lim

n→∞

aⁿ

n! = 0を示せ．

問題1.7. ε-N 論法を用いて，数列{a_n}={1,0,1,0,1,0, . . .}が収束しない ことを示せ．

解析学 II （ 2021 年度前期）演習問題 1 （解答例）

注意 以下はあくまでひとつの解答例である．誤植も含め，解答に誤 りが存在するかもしれないので，鵜呑みにせず各自で検証すること．

問題1.1. (1) 1

2 (2) ∞ (3) 0 (4) 発散する (5) 0

問題1.2. 正しいのは(2)のみ．反例は幾らでもあるが，例えば (1) an=n+ 1, bn =n (3) an=−2n, bn =n 問題1.3.

(1) n > log(1/ε) log 2

(2) 任意のε >0に対し，Nをlog(1/ε)

log 2 より大きい自然数とすると，n≥N ならば，

1 2ⁿ −0

= 1

2ⁿ ≤ 1

2^N < εが成り立つ．

問題1.4.

(1) n > 5 ε−3

(2) 任意のε >0に対し，Nを 5

ε −3より大きい自然数とすると，n≥N ならば，|a_n−2|= 5

n+ 3 ≤ 5

N+ 3 < εが成り立つ．

問題1.5.

(1) h >0だから，n≥3ならば，

aⁿ = (1 +h)ⁿ= 1 +nh+n(n−1)

2 h²+n(n−1)(n−2)

6 h³+· · ·

> n(n−1)(n−2)

6 h³

(2) (1)より0< n² aⁿ < 6

h³

n²

n(n−1)(n−2)である．lim

n→∞

n²

n(n−1)(n−2) = 0より， lim

n→∞

n²

aⁿ = 0である．

問題1.6.

(1) aⁿ n! =a^N

N! · a

N+ 1· · · a n−1· a

n ≤ a^N

N! ·1· · ·1· a n =a^N

N! ·a n

(2) (1)より0< aⁿ

n! ≤ a^N+1 N! · 1

nである．lim

n→∞

1

n = 0より，lim

n→∞

aⁿ n! = 0 である．

問題1.7. aを任意の実数とする．任意のN ∈Nに対し，n≥Nなる自然数 nが存在して，|an−a| ≥1/2が成り立つ．