解析学特論（担当：小森）演習問題（５月３１日）

解析学特論（担当：小森）演習問題（５月３１日）

この授業で配布した演習問題やその解答例、講義ノートは順次

http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~komori/duality2011.html

に更新してあります。教育実習等で授業を欠席した際に利用してください。

問題

1.

測度空間

(X, M , µ)

に対し

M ^∗ := { E ⊂ X | ∃ A, B ∈ M s.t. A ⊂ E ⊂ B

かつ

µ(B − A) = 0 }

とする。

1. M ^∗

は

σ

代数になることを示せ。

2. E ∈ M ^∗

に対し、µ(E) :=

µ(A)

と定義すると、well-defined、すなわ ち

µ(E)

の値は、A

⊂ E ⊂ B

かつ

µ(B − A) = 0

を満たす

A

の取り 方に依存しないことを示せ。

3.

このように定義した

M ^∗

上の関数

µ

は測度になることを示せ。

4. E ∈ M ^∗

が

µ(E) = 0

を満たせば、

E

の任意の部分集合

N

に対し、

N ∈ M ^∗

かつ

µ(N ) = 0

となることを示せ。

問題

2. (X, M , µ)

を測度空間とする。可測関数

f : X → [0, ∞ ]

と可測集合

E ∈ M

が

∫

E f dµ = 0

を満たすとする。このとき

f = 0 a.e. on E

を次の 順番で示せ。

1. n ∈ N

に対し、

A n := { x ∈ E | f (x) > 1/n }

とすると、

µ(A n ) = 0

を 示せ。（ヒント：

_n ¹ ∫

A

_n

1 dµ ≤ 0

を示す。）

2. ∪ ^∞ n=1 A _n = { x ∈ E | f (x) > 0 }

を示せ。

3. f = 0 a.e. on E

を示せ。

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