解析学
II
（2021
年度前期）演習問題3
問題
3.1.
数列{ a n } , a n = 1
n 2
がコーシー列であることを，定義により証明 せよ．(
ヒント：ε
を任意の正の数とする．n, m ≥ N
のとき| a n − a m | ≤ A
をみたすA
をN
を用いて書き，A≤ ε
を満たすようにN
を定める．)問題
3.2.
連分数a 1 = 4, a 2 = 4 + 1
4 , a 3 = 4 + 1 4 + 1
4
, a 4 = 4 + 1 4 + 1
4 + 1 4
, . . .
a n+1 = 4 + 1 a n
, n = 1, 2, . . .
で定まる数列{ a n }
を考える．(1) { a n }
がコーシー列であり，収束することを示せ．(2)
極限値4 + 1 4 + 1
4 + 1 . . .
を求めよ．
問題
3.3.
数列{ a n }
をa n =
3 + 1
n
（nが偶数のとき）0
（nが奇数のとき）で定める．
(1) sup
n ≥ k
a n
とinf
n ≥ k a n
を求めよ．(2) lim sup
n →∞ a n
とlim inf
n →∞ a n
を求めよ．問題
3.4.
以下の数列{ a n }
について，収束する部分列をひとつ求めよ．(1) a n = cos nπ (2) a n = n cos nπ 2
問題
3.5.
以下の数列{ a n }
について，収束する部分列をひとつ求めよ．(1) a n = − 1 − ( − 1) n+1 − ( − 1) n+2 2 − ( − 1) n+1 (2) a 1 = 3 − √
5
6 , a n+1 = 3a n (1 − a n )
で定まる数列(
ヒント：(2) a 2 , a 3 , a 4
を求めよ．)
問題
3.6.
数列{ a n } = 1
2 , 1 3 , 2
3 , 1 4 , 2
4 , 3 4 , 1
5 , 2 5 , 3
5 , 4 5 , 1
6 , 2 6 , 3
6 , 4 6 , 5
6 , . . .
を考える．一般項は，
a m(m − 1)/2+k = k
m + 1 (k = 1, . . . , m ; m = 1, 2, . . .)
で 与えられる．(1)
上極限および下極限を求め，それらに収束する部分列をつくれ．(2) log 2 = 0.693147 · · ·
に収束する部分列をひとつつくれ．必要なら，実 数が10
進数展開できることを用いてよい．(3) a ∈ (0, 1)
とする．aに収束する部分列をひとつつくれ．必要なら，実 数が10
進数展開できることを用いてよい．問題
3.7. a n = 1
1 · 2 · 3 + 1
2 · 3 · 4 + · · · + 1
n(n + 1)(n + 2)
とする．(1)
数列{ a n }
がコーシー列であることを，定義に従って証明せよ．(2)
極限値lim
n →∞ a n
を求めよ．(
ヒント：1
(j − 1)j(j + 1) = 1 2
1 j − 1 − 2
j + 1 j + 1
)
問題
3.8.
有界な数列{ a n } , { b n }
に対し，lim sup
n →∞ (a n + b n ) ≤ lim sup
n →∞ a n + lim sup
n →∞ b n
lim inf
n →∞ (a n + b n ) ≥ lim inf
n →∞ a n + lim inf
n →∞ b n
が成り立つことを示せ．また，等号が成り立たない例をつくれ．
問題
3.9.
以下の数列{ a n }
がコーシー列であることを，定義により証明せよ．(1) a n = 1 n sin √
n (2) a n = 1 + 1
2 2 + · · · + 1
n 2
解析学
II
（2021
年度前期）演習問題3
（解答例）注意 以下はあくまでひとつの解答例である．誤植も含め，解答に誤 りが存在するかもしれないので，鵜呑みにせず各自で検証すること．
問題
3.1.
任意のε > 0
に対し，N をp
2/ε
より大きな自然数とすると，n, m ≥ N
ならば，| a m − a n | = 1
m 2 − 1 n 2
≤ 1 m 2 + 1
n 2 ≤ 2
N 2 < ε
が成り 立つ．問題
3.2.
(1) a 1 = 4, a n+1 = 4 + 1 a n
である．
a n > 4
より，| a n+1 − a n | = 4 + a 1
n
− 4 + a 1
n−1
= | a n − a n − 1 | a n a n − 1
< | a n − a n − 1 | 16
より，数列{ a n }
はコーシー列であり，従って収束する．(2) a = lim
n →∞ a n
とすると，a = 4+ 1
a
が成り立つ1
．これを解いてa = 2 ± √ 5
を得る．従って，lim
n →∞ a n = 2 + √
5
である．問題
3.3.
(1) sup
n ≥ k
a n =
3 + 1
k + 1
（kが奇数）3 + 1
k
（k
が偶数）および
inf
n ≥ k a n = 0 (2) lim sup
n →∞ a n = 3, lim inf
n →∞ a n = 0
問題3.4.
(1) a 2n = 1
より，{ a 2n }
は収束する部分列である．(2) a 4n+1 = (4n + 1) cos
2nπ + π 2
= 0
より，{ a 4n+1 }
は収束する部分列 である．問題
3.5.
(1) a 2n = − 1
3
より，{ a 2n }
は収束する．(2) a 2 = 1
3 , a n = 2
3 (n ≥ 3)
である．従って，{ a n }
は収束する．1ここで，収束する数列について，和・差・積・商の極限が，極限の和・差・積・商に等しい ことを用いている．
問題
3.6.
(1) 0 < a n < 1
より，数列{ a n }
は（上にも下にも）有界である．上極限お よび下極限は，それぞれlim sup
n →∞ a n = 1, lim inf
n →∞ a n = 0
である．部分列1 2 , 2
3 , 3 4 , . . .
は
1
に収束する．部分列1
2 , 1 3 , 1
4 , . . .
は
0
に収束する．(2)
例えば，6 10 , 69
100 , 693 1000 , 6931
10000 , 69314
100000 , 693147 1000000 , . . .
などである．
(3) a ∈ (0, 1)
の10
進数展開を利用して，(2)
のようにつくればよい．問題
3.7.
1
(j − 1)j(j + 1) = 1 2
1 j − 1 − 2
j + 1 j + 1
より，
2(a m − a n ) = 1
n + 1 − 1
n + 2 − 1
m + 1 + 1 m + 2
= m − n
(n + 1)(m + 1) − m − n (n + 2)(m + 2)
= (m − n)(m + n + 3) (n + 1)(m + 1)(n + 2)(m + 2)
である．よって，k ∈ N
として，2 | a n+k − a n | = k(k + 2n + 3)
(n + 1)(n + 2)(k + n + 1)(k + n + 2)
= 1 + 2n+3 k
(n + 1)(n + 2)(1 + n+1 k )(1 + n+2 k )
< 1 + 2n + 3
(n + 1)(n + 2) = 2 n + 1
である．従って，任意の
ε > 0
に対し，Nを1/ε − 1
より大きな自然数とす ると，n≥ N
かつk ∈ N
ならば，| a n+k − a n | < 1
n + 1 ≤ 1 N + 1 < ε
が成り立つ．従って，数列{ a n }
はコーシー列である．また，a n − a 1 + a 1 = (n − 1)(n + 4) 12(n + 1)(n + 2) + 1
6
より，lim
n →∞ a n = 1
4
である．3.8.
a k = sup
n ≥ k
a n , b k = sup
n ≥ k
b n , c k = sup
n ≥ k
(a n + b n )
とおく．上限の定義より，任意の
ε > 0
に対し，自然数m ≥ k
が存在し て，ck − ε < a m + b m ≤ a k + b k
が成り立つ．よって，ck ≤ a k + b k
で ある．この両辺で，k → ∞
の極限を考えればよい．等号が成り立たない 例としては，a, b >0
として，an = ( − 1) n a, b n = ( − 1) n − 1 b
など．実際，lim sup
n →∞ a n = a, lim sup
n →∞ b n = b, lim sup
n →∞ (a n + b n ) = | a − b |
である．問題
