解析 I ・演習問題ヒント

解析 I ^{・演習問題ヒント}

(2020

)

はじめに

 この資料はホームページ掲載の演習問題  

http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/%7Eshinkato/kaiseki1 2020.pdf

のヒント集です。

 この演習問題は長年にわたって出題して来たレポートまたは試

験問題のほとんど全てを集めたものなので、かなりたくさん類題

が並んでいます。この問題を利用して学習したい人は、全ての問

題に解答する必要は全くありません。どれとどれが同じタイプ

で、どれとどれが違うタイプか、見極めながら問題を選んで解答

してみて下さい。 ( ただし、式が似ているからと言って同じタイプ

とは限りません。そこは注意が必要です。 )

 この演習問題の中で、特に重要もしくは典型的と思われる問題 については、講義ノートでも取り上げ、その解き方や解答につい て解説しますが、残りの問題にについては、解答例は公開しない 方針をとっています。

 実際、皆さんがこれから大学で取り組む研究課題や、世の中に 出て直面する問題には解答例はありません。そう言った課題に直 面した時、自分の出した解答がその過程も含めて正しいと言える かどうか、問題を様々な角度から眺めて自ら検証して行く工夫を する必要があります。

 その練習台として、講義のオプションであるこれらの演習問題 を活用してほしいと言うのが、解答例を公開しない理由です。

  ( たとえば、一旦解けたら、次に他の解法を考えてみるとか…。

その方が、類題をたくさんこなすより、余程効果的です。 )

 と言っても、ほとんどの問題は、教科書 ( ^{今回指定のものとは限}

りません ) またはインターネット上の解説頁に出ているような例 題の類題なので、それらを参考にすれば解答できると思います。

また、難しめの問題には既にヒントをつけてありますが、今回は

WebClass による遠隔講義と言うことで、通常の講義の際やその後

の休憩時間、或いはオフィスアワーなどでの皆さんからのご質問 に対応する代わりとして、もう少しだけ、解答のヒントをあらか じめご提供しておこうと思います。

 なお、講義ノートの方にも書きましたように、演習問題に関す

る質問も、掲示板で受け付けます。

教科書との対応  

演習問題の項目 教科書 関数の極限と連続性 § 2, § 3

１変数関数の微分 § 4- § 8

不定積分 § 9, § 11

定積分 § 10, § 11

関数の極限と連続性

１ 関数 y = f (x) の逆関数を求めるとは、 x ^{に関する方程式と}

思って解く。つまり x ^を y の式で表すと言うことです。

 最初の 3 ^{問に登場する関数}

tanh x, sinh x, cosh x

は三角関数とよく似た性質を持つ双曲線関数 ( ^教科書 41 ^頁参照 )

と呼ばれる関数たちです。左から順に、ハイパボリックタンジェ ント、ハイパボリックサイン、ハイパボリックコサインと読み ます。

tan hx, sin hx, cos hx

とは別物ですから、手書きの際は特に注意しましょう。

 これらの逆関数を求めるのは、まず e ^x = X ( ^従って

e ^{− x} = 1/X ) ^{とおいて、} X ^{について解いた後に} x = log X ^に代入

すればよいでしょう。

２ 関数の極限値を求める問題ですが、一般に分数式において微 妙なのは分母・分子が 0 ^{に収束するか、または} ±∞ ^{に発散する}

場合です。そこで基本方針としては、分母分子を同じもので割る ことにより、少なくとも一方は 0 でない有限な値に収束するよう、

極限をとる前の関数を変形しておくことです。例えば

(1a) (x + 2)(3x − 4)

5x ² + 6x − 7 = (1 + _x ² )(3 − _x ⁴ ) 5 + _x ⁶ − _x ⁷

(2a) e ^x+2 + 3

4e ^x+5 + 6 = e ² + 3e ^{− x} 4e ⁵ + 6e ^{− x} (3a) a log 2x + b

c log x + d = a(log x + log 2) + b

c log x + d = a + ^{a log 2+b} _{log x}

c + _log ^d _x

 三角関数がらみの問題は

x lim → 0

sin x

x = 1

が基本です。これから、

tan x

x = sin x

x × 1

cos x → 1 × 1

1 = 1 (x → 0)

も使えます。なお、 a, b ̸ = 0 ^に対して

sin ax

bx = sin ax

ax × a

b → 1 × a

b = a

b (x → 0)

が成り立つことに注意しましょう。極限を取る前に ax = X ^と置

き換えておけば、 x → 0 ^のとき X → 0 のため、上の結果が導け

ます。ちなみに、ここで sin が連続であることが効いています。

 自然対数の底 ( ^{ネピアの数} ) e がらみの問題は、教科書 16 ^頁の

公式

x → lim + ∞





1 + 1 x





x

= e

が基本です。ここでも置き換えが重要です。例えば (6a) ^なら x/a = X ^{と置き換えれば}

(

1 + a x

)

bx

=





1 + 1 X





abX

=











1 + 1 X





X



ab

で、 x → + ∞ ^のとき X → + ∞ ですから、もう答は出たようなも

のです。

 他のもう少し難しそうな問題も、よい置き換えを見つければ解 けます。対数を取ってから極限を求め、指数関数に代入する、つ まり

x lim → a f (x) = e ^lim

^{(log f (x))}

など、連続関数と極限の関係を用いる方法もあります。

 それらを個別にヒントに書いてしまうと、後はただの機械的な

計算になり、皆さんの考える処が無くなってしまうので、少なく

ともここではこれ以上ヒントは出さないことにします。

３〜５ _d  これらの問題は全て、連続関数に関する重要な定理で ある中間値の定理に関係する問題です。

 基本的な例は講義ノート第３回でもお話した「実係数の３次方 程式 a ₃ x ³ + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0 ^{は必ず、少なくとも} 1 ^{個の実数解}

を持つ」と言う事実の証明でしょう。

 要は、定義域のつながっている部分 ( ^{連結成分と言います} ) ^で、

正の値をとる所と、負の値をとる所の両方があれば、途中のどこ かで必ず符号が入れ替わると言うことです。

 以下の問題は皆、多少の準備は必要にせよ、基本的には同様の 議論に持ち込めば、解答できます。

 ちなみに、対数を取ってから極限を求める方法は、ここでもい

くつかの問題で有効です。

１変数関数の微分

６〜７ 公式のことは忘れて、平均変化率の極限値と言う微分係 数の定義に戻って、導関数を求めて下さいと言う問題です。

８〜 10  定義域を場合分けしたり、定義されていなかった所でも 連続になるよう拡張するなどして、定義した関数の微分の問題で す。場合分けの境目以外では、高校で学んだ公式を用いれば、微 分の計算は ( ^面倒でも ) 難しくはありませんから、問題は境目の部 分です。

 これらの問題の内、８と９ (a)(d) については講義ノート第４回 で、 10(c)(d)(e)(g)(h)(i) については第６回でより一般的な形で、そ れぞれ解説していますから、それらを参考に解いてみて下さい。

11  見た目の通り、合成関数の微分の公式の練習問題です。

12  高階微分の練習問題です。基本的な公式を繰り返し使えばで きる問題ばかりです。

 ちょっとした合成関数でも、 n 回導関数を一般に求めるのは結 構難しかったりしますが、中には規則性を持つものもあります。

この問題は一応３回までの出題ですが、規則性のありそうなもの については、一般の n 回も考えてみて下さい。

13  見た目の通り、逆関数の微分の公式の練習問題です。逆関数

を扱うとき、 x ^と y は入れ替えないで計算した方が、公式を適用

するとき間違えにくいでしょう。

14  ２次導関数まで用いた、極値と凹凸の問題です。

15  対数微分法の練習問題と、増減を調べて数列へもちょっと応 用です。

16  S _n ^{を求めたら、} n ^を x に置き換えて、関数と思って増減を 調べてみて下さい。

17  極限、微分、中間値の定理の複合問題です。

18  講義ノート第３回で３次方程式が少なくとも１個の実数解を 持つことについて、その解答篇で４次方程式で実数解を持たない 例について、それぞれ触れていますが、ここに並んでいるのは、

３〜４次方程式の実数解の個数の判別を、３〜４次関数の極値と 中間値の定理を用いて考えようと言う問題です。

 特に３次方程式については、対応する３次関数のグラフの横方 向の平行移動によって、 18 _a の形に持ち込むことができるので、結 構一般的な問題になっています。

19 ^〜 20  テーラー級数展開の基本問題です。

不定積分

21  有理関数は部分分数分解、その他は概ね適当な置換積分に よって計算できます。難しめの問題にはヒントが付けてありま す。代表的なものについては、講義ノート第 11 ^{回でも解説してい}

ます。

22 ^〜 23  部分積分を用います。 22 の各問は大学入試でもしばしば 出題されるタイプの問題ではないでしょうか？  23 ^{は具体的な関}

数ではないので、一見難しそうですが、三角関数や双曲線関数に

関する問題 22(5) ^〜 (8) をちょっと一般化しただけなので、同様に

してできます。

定積分

24  不定積分同様、適当な置換積分または部分積分の仕方を考え ます。

25  回転体の体積ですから、断面の円または円環領域 ( ^大きい

円−小さい円 ) の面積を正しく求めて積分して下さい。

26  (1) ^〜 (5) は三角関数の性質、例えば

sin(x + π

2 ) = cos x, sin(π − x) = sin x

などに着目して、置換積分すると示せます。

  (6) ^〜 (9) は、他の偶関数、奇関数、またはそれらに似た対称性

を持つ関数に関する類題です ( ^教科書 § 10 ^・ 3 ^参照 ) ^。

27 ^〜 28  開区間、無限区間などで定義された広義積分の問題で す。 27 は定義に従って計算するだけ。 28 は定義に戻って計算でき なければ、計算できる他の関数との大小比較で判定します ( ^教科書

§ 12 ^・ 1 ^{と講義ノート第} 10 ^回参照 ) ^。

29 ^〜 30 ^{曲線の長さの公式} ( ^教科書 122 ^頁参照 ) ^{を適用すれば、後}

は定積分の計算問題です。

31 ^〜 32  回転体でない場合も、区間を分けて正しく断面積を求 め、積分するだけです。

 なお、 31 の表面積は、直円柱面の一部について求めればよいの で、展開図を考えれば、曲面の面積の公式 ( ^教科書 233 ^〜 234 ^頁参

照 ) を用いなくても計算できます。