解析学 II （ 2021 年度前期）演習問題 5

(1)

解析学 II （ 2021 年度前期）演習問題 5

注意極限や級数に関してこれまでに学んだ事柄はすべて用いてよい．

例 (1) a >1ならば，任意のk∈Rに対し lim

n→∞

n^k aⁿ = 0 (2)

∑∞ n=1

1

n は発散する．

∑∞ n=1

1

n² は収束する．

問題5.1. 以下の無限級数の収束，発散を判定せよ．

(1)

∑∞ n=1

2n²+ 2ⁿ 4n⁴+ 2ⁿ (2)

∑∞ n=3

( n−2 3n−5

)n

(3)

∑∞ n=1

e⁻ⁿ⁺ⁿ¹ (4)

∑∞ n=1

1 n²+ 1

問題5.2. 以下の無限級数の収束，発散を判定せよ．

(1) 1 1·2 + 1

2·3 + 1

3·4+· · · (2)

∑∞ n=2

1 (logn)ⁿ

(3)

∑∞ n=1

(0.99)ⁿn⁹⁹ (4)

∑∞ n=1

1 1 + logn

問題5.3. 無限級数

∑∞ n=1

n²

aⁿ を考える．

(1) 自然数N をうまく選んで，n≥Nならば，n² 3ⁿ < 1

2ⁿ が成り立つようにできることを示せ．

(2) 無限級数

∑∞ n=1

n²

3ⁿ は収束することを示せ．

(3) a >1のとき，無限級数

∑∞ n=1

n²

aⁿ は収束することを示せ．

問題5.4. 以下の問に答えよ．

(1) 無限級数

∑∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n² = 1− 1 2² + 1

3² − 1

4² +· · · は絶対収束することを示せ．また，

∑∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n² =1

2

∑∞ n=1

1

n² を示せ．

(2) 無限級数

∑∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹

2n−1 = 1−1 3+1

5−1

7+· · · は絶対収束しないことを示せ．

(2)

解析学 II （ 2021 年度前期）演習問題 5 （解答例）

注意以下はあくまでひとつの解答例である．誤植も含め，解答に誤りが存在するかもしれないので，鵜呑みにせず各自で検証すること．

問題5.1.

(1) lim

n→∞

2n²+ 2ⁿ

4n⁴+ 2ⁿ = 1̸= 0より発散する．

(2) lim

n→∞

√n

an= lim

n→∞

n−2 3n−5 = 1

3 <1より収束する．

(3) lim

n→∞

e⁻ⁿ⁻¹⁺ⁿ⁺¹¹ e⁻ⁿ⁺ⁿ¹ = lim

n→∞e⁻¹⁻ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾¹ =e⁻¹<1より収束する．

(4) 0≤ 1

n²+ 1 < 1

n² であり，無限級数

∑∞ n=1

1

n² は収束するから，無限級数

∑∞ n=1

1

n²+ 1 は収束する．

問題5.2.

(1)

∑∞ n=1

1 n(n+ 1) =

∑∞ n=1

(1 n− 1

n+ 1 )

= lim

n→∞

( 1− 1

n+ 1 )

= 1より収束する．

(2) lim

n→∞

√n

an= lim

n→∞

1

logn = 0<1より収束する．

(3) lim

n→∞

|a_n+1|

|an| = 0.99<1より収束する．

(4) 0≤1 + logn≤nより，1

n ≤ 1

1 + lognである．調和級数

∑∞ n=1

1 nは発散するから，無限級数

∑∞ n=1

1

1 + lognは発散する．

問題5.3.

(1) lim

n→∞

n² (₃

2

)n = 0が成り立つ（問題 ?? を参照）．従って，自然数N が存在して，n≥Nならば， n²

(₃

2

)n <1が成り立つ．

(3)

(2) s_m=

∑m

n=1

n²

3ⁿとする．n²

3ⁿ >0だから，数列{s_m}は単調増加である．また，(1)より，m≥Nならば，s_m<

N∑−1

n=1

n² 3ⁿ+

∑m

n=N

1 2ⁿ <

N∑−1

n=1

n² 3ⁿ+ 1

2^N⁻¹ であるから，数列{sm}は上に有界である．従って，無限級数

∑∞ n=1

n² 3ⁿ は収束する．

(3) sm=

∑m

n=1

n²

aⁿ とする．数列{sm}は単調増加である．また，1< b < a を満たすbに対し，自然数N が存在して，n≥Nならば，bⁿn²

aⁿ <1 が成り立つ．従って，m≥N ならば，s_m <

N∑−1

n=1

n² aⁿ + 1

b^N 1 1−1/b であるから，数列{sm}は上に有界である．従って，無限級数

∑∞ n=1

n² aⁿ は収束する．

問題5.4.

(1) 無限級数

∑∞ n=1

1

n²は収束するから，

∑∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n² は絶対収束する．よって，

∑∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n² = 1− 1 2² + 1

3² − 1 4² +· · ·

= (

1 + 1 2² + 1

3² + 1 4² +· · ·

)

−2 (1

2² + 1 4² +· · ·

)

=

∑∞ n=1

1 n² −1

2

∑∞ n=1

1 n² = 1

2

∑∞ n=1

1 n²

(2) 無限級数

∑∞ n=1

1

2n−1が収束しないことを示せばよい．

∑∞ n=1

1 2n−1 >

∑∞ n=1

1 2n = 1

2

∑∞ n=1

1 n

であり，調和級数

∑∞ n=1

1

nは発散するから，

∑∞ n=1

1

2n−1は発散する．