解析学特論（担当：小森）演習問題（４月２６日）
次回５月１０日の講義は出張のため休講とします。
今後この授業で配布した演習問題やその解答例、講義ノートは順次 http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~komori/duality2011.html に更新してゆきます（アップしました）。
問題1. 拡張された実数[−∞,∞] 内の数列{an}n∈N に対し、
lim infan ≤lim supan となることを示せ。
問題2. 拡張された実数[−∞,∞] 内の数列{an}n∈N が収束列ならば、
liman= lim infan= lim supan となることを示せ。
問題3. 拡張された実数[−∞,∞]内の数列{an}n∈Nがlim infan= lim supan
を満たすならば、{an}n∈N は収束列であることを示せ。
またこのときliman = lim infan = lim supan となることを示せ。
問題4. 拡張された非負の実数 [0,∞]内の数列 {an}n∈Nと {bn}n∈Nが収束 列とする。このとき{an+bn}n∈Nも収束列で、liman+bn= liman+ limbn となることを示せ。
問題5. 拡張された非負の実数 [0,∞]内の数列 {an}n∈Nと {bn}n∈Nが収束 列とする。
1. このとき {anbn}n∈N が収束列であってもlimanbn = limanlimbn を 満たさない例を挙げよ。
2. もし{an}n∈N と{bn}n∈N が単調増加列ならば、{anbn}n∈Nも収束列 となり、limanbn = limanlimbn となることを示せ。
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