九州大学学術情報リポジトリ
Kyushu University Institutional Repository
係留線敷設問題に用いる動的簡易計算法
川建, 和雄
九州大学応用力学研究所 : 教授
橋本, 良夫
九州大学応用力学研究所 : 講師
長浜, 智基
九州大学応用力学研究所 : 助手
石井, 秀夫
九州大学応用力学研究所 : 助手
他
https://doi.org/10.15017/4785153
出版情報：九州大学応用力学研究所所報. 66, pp.131-144, 1988-10. 九州大学応用力学研究所 バージョン：
権利関係：
係留線敷設問題に用いる動的簡易計算法
川 建 和 雄 ＊ 橋 本 良 夫
t 長 浜 智 基 ： 石 井 秀 夫 ：篠 崎 高 茂
II田 代 昭 正 ／ ／
概 要
係 留 線 を 錨 ・ 浮 玉 ・ 索 の2質 点1結合線から成る模型に置換え，この模型を用いて，
敷設問題を解いた．錨着地後，浮玉は下降上昇を繰返し乍ら，平衡位置に落着く．浮玉 下降時に索が緩む条件，及び浮玉上昇時の索張力が錨着地時の索張力を越える条件を導 し)ナこ．
Key words: Deployment of line, Slack and taut, Transient tension
1. 緒 ‑0
以前，係留線の運動に関し，ラムプドマス法に基く数値計算法を提案した．そして，これを図1に示 す種子島沖で用いた黒潮計測に用いた海中ブイの敷設問題に適用し，敷設時の張力及び形状変化を計算 した．系を11質点10結合線から成る模型に置換え計算した結果，図2及び3に示す張力，及び図4に 示すような形状変化を得た．これから，頂上部の質点が海面に没する時，係留線は略直線となっており，
以後，系は略鉛直に降下することが判かったI). これを基に，ナイロンロープに生ずる張力を模擬するた め，本論文では，全系を図5に示すような2質点1結合線模型 dualmass‑one connectionに置換し，
簡易解を求めることを試みた．長さ及び伸び剛性の異る2本の線を1本に置換えるに際しては，図6に 示すように，長さは各線長の和，そして伸び剛性は
/1
+
/2 .t＋ /2 EA E心 E凶 '
により求める便法を採った．尚，本報告で用いる記号等は掴めて付録に示した．
(1)
＊九州大学教授，応用力学研究所
t九州大学講師，応用力学研究所
：九州大学助手，応用力学研究所
/I文部技官，九州大学応用力学研究所
132 川建・橋本・長浜•石井・篠崎・田代
丁
E09—上↑
E9 9
l t
E 6 0 ￡
ーー￨上
→ー
￨ E 6 0 ￡ ー|—土↑
E9 l 1
b . Radio buoy Sphere 1 . 1 rn￠
ABS458
悶
x13
ABS3615 x3 CM
E
8 ￡ 6
AF‑146A
CM
CM
AR arachute 3 ‑ : Nylon 16mm￠‑
~~ ~、冷汐 Anchor 20m
鼻 T a n e g a s h i m a . , 1 9 7 9
図1 海中プイ 種子島沖 水 深1,000m 1979年10月‑11月
＊ ＋
1200
*
Radio buoy beginning to sink+ Anchor bottoming
＊
゜ ゜ ゜゜ ゜゜
8 4
g )
uo
,s
ua
t
ad
oJ
UOJAN
Parachute
△ Removed O Equipped
s‑
E)
p
aa
ds
6u
,p
ua
u s
ap
J0
4 u uv
5 4 3 2 1 0
400
Time after anchor release (s) 図2 張力変動
1200
999,.A￨to
□
︱
︱
︱
︱
゜
0 0 0 0
8ム
( ‑ g ) uo1sua1
ad
oJ
u o
J /; N
ヒ 井
〇
^•井口
800
O Inextensible, assumed 口 Extensible, EA= 75・4x103 kgf t Anchor bottoming
井 Chainabove anchor pulled up and loaded
4 8
Timl'aftl'r anchor bottoming (s) 図3 錨着地後張力変動
゜
Distance (m)400 800
゜
(E)q五ao
400
800 * Radio buoy beginning to sink + Anchor bottoming
図4 形状変化
134 川建・橋本・長浜・石井・篠崎・田代
O T 片
I
一 1 1 叶 l 2 叶
I I
I
発ー―
‑0
丁
buoy E 1 A 1 E 2 A 2
l
。十△l EA
図6 伸び剛性の換算
anchor ふ 一
l図5 錨，浮玉，及び索
2. 計 算 式
上部浮玉・ブイ buoy及び下部錨anchorについて，運動方程式は，夫夫 閏 dvn
g dt ＝
‑ ‑ T‑B ‑k叫叫，
匹 dvA
g dt = ‑T+ W'‑kAVAIVAI, となる．但し，夫夫の位置の間には
XA = 邸+l。十△l,
△ l=
紋 ，
の関係がある．降下中，浮玉と錨間に働く張力，従って索の伸びが一定であれば，即ち
△
i
= 0, であり，ふ ＝ え8 或るいは VA= Vs, の場合は，
W dvs g dt
‑ ‑ = W'‑B‑k叫叫，
T = 閏(B+k叫叫） + Ws(W'‑kAvAlvAI)
w
, /︑ / 2 3
︵
︵
,
／ ︑/ 4 5 (︑¥
(6)
(7)
︶
︶ 8 9
︵
︵
が得られる． こ こ こ,,
W = W, 丘 WB, k =如 十kB, である．周知の公式を用いて加速度を
dvB = dxB . 屯!!̲= VB dVB = l.̲
呈
dt dt d店 dxB 2 dxB と表し，位置知について積分すると，時刻 f= t1において
VB= V1,
Xn = Xi, となる解は
vi= (vr‑Vf) exp [ ‑ Zgk(
靡 ― ふ ） 〕
+ Vl,(10) (11)
(12)
(13) (14)
(15)
で与えられる． こ こ ,． こ
V r = f
可 戸 ，
(16)は系の最終速度terminalvelocityである．
時間tは 位 僅 邸 を 用 い て
t‑t1 =
f x
dx'x, 卯(x')' (17) のように表すことが出来る．
前述図1に示した系に就いては W/2gk= 0.7164 m, 又それからパラシュートを除いた系に就いては W/2gk = 0.8164 mとなるから，何れの場合も，上部浮玉が海面に没し，数m下降すれば，系の下降速 度は
Vs与 Vr , (18)
となり，この時張力は
T = B +加V芦 =W'‑kAVi= 如B十加W' k
で与えられる．張力 Tは浮玉の浮力Bと浮玉に作用する抵抗力加界の和となっている．
一般には， W/2gkを計算して吟味する必要があるけれども，
珈2= Vr, になっているものとする．この時，
知 =h,
Xaz = h‑l
。―‑‑
EA んB lふEA' Vi(19)
これから先は，錨着地時t= lz, (20)
, ' , , ' 1 2 2 2
︵
︵
ここで
△l
口奏，
XBoo=h‑l
。 ― △
loo,(23)
(24)
136 川建・橋本・長浜・石井・篠崎・田代
と置けば
XHz
=
XBoo― l。加VlEA' (25)
となる．
以後，浮玉の運動及び索張力は WH dv危
2g dxH
‑ ‑ = T‑B‑k叫叫，
T~1 誓(h-la-x.),
…h‑1。
‑x,eC 0,0,
…
h‑l。―知く0,(26)
(27)
tf
t l
t l tz tc ttld t
図7 a錨着地後の浮玉の下降上昇運動模式図 遷移荷重大なる場合
f2 f3 f4 f2 fc f3 fd f4
b錨着地後の浮玉の下降上昇運動模式図 遷移荷重小なる場合
によって定められる．錨着地後，浮玉は下降を続け卯>0, 速 度 を 減 し 乍 ら 加 <0, 最下端に達しt=
如 そ こ で 速 度 零VB3= 0となる．次いで浮玉は上昇匹く0に転ずる．上昇速度の絶対値は一度増加し た 後 ， 減 少 し む >0, 浮玉が上端に達すればf= f4, 速度零Vn4= 0となる．これを繰返し乍ら，浮玉 はその運動を徐々に減じ，遂には静止する．この時，索張力は浮玉の浮力と同じになる T
=
B. この間 の様子を，模式的に図7に示す．ここで
LB=
w l i
2gk8' 砒 ＝ EA g
l
。
Ws' 防？＝ ＝ EA LB l。 加 2砒L，危
, '
)
︶ 8 9 0 2 2 3
︵
︵
︵
と置き，
Vi
r=
―
LB ‑'‑‑t =1 2
叫，T J
= XB‑XBoo LB' (
J = 血 ‑ = 直 dr Vi'
によって，無人元化した時間，位置，及び速度を定義する．張力は
T ‑ 1
EA舟
(a,可），…""""'・゜ …
7Jc < TJ,但し
T/c = h‑l
。
‑xsoo △loo Ln ＝ Ln'と表される．そして， Heavisideの単位階段函数H及び符号函数sgn H(x) = 1, x
>
0;½,
x = 0; 0, x < 0,sgn(x) = H(x)‑H(‑x) = 1, x > O; 0, x = O; ‑1,x < O; を用いると，運動方程式は
噌＝信＝一
[TJ‑H(TJ‑7/c)(TJ一
7/c)]‑sgn(a)a月ヽ｀’／‘‘,'‘~
1 2 3 3 3 3
︵
︵
︵
(34)
(35)
(36) (37)
(38) と書くことが出来る．この式を例えばRunge‑Kultta‑Gill法を用いて積分すれば，簡単に数値解を求め ることが出来る．又一方，索の弛緩及び遷移張力を取扱うためには，以下に述べる解析解を用いるのが，
便利である．即ち， J7= 7Joの時は(J= (Ji。となる解は， 7J至7Jc及び6奎0に応じて，
a2
=
[aJ‑(1‑TJo)] exp [ ‑(TJ一TJo)] + 1‑T}, T}~T}c, 下降 (J~0,<J2
=
(a6+ TJc) exp [ ‑(7J‑7Jo)] ‑TJc, T}c< TJ, 下降 (J~0, が＝ (a6‑TJc)exp[(TJ‑TJo)] +TJc, TJc< TJ, 上昇 (J~0,(39) (40) (41)
138 川建・橋本・長浜・石井・篠崎・田代
62 = [<JJ‑(1 + 7Jo)] exp [ (77‑7/o)] + 1 + 7], 7J~7Jc, 上 昇 。 ~0, のようになるから，これを利用する．
(42)
3. 索 張 力 の 弛 緩
さて，
r = VT Vi、9
(43)
と置けば，
︐ 2 r ︐ 2 r
＝
＝
2 2 2
6 n '
(44) (45) で あ る ． 又 ， 浮 力 が 最 下 端 に 達 し て も 張 力 は 正TJ
<
T/cと仮定すれば，(53 = (54 = ... = 0, で あ る か ら ， 前 式 (39)及 び (42)から
exp [ ‑(り3十戸）］＋刀3十戸ー(1十戸） = 0, exp [ ‑(り3一刀4)]+(り3一刀4)/(1十刀3)‑l= 0, exp [ ‑(r;sー叫］＋（刀5‑7J4)/(l一刀4)‑l= 0, を 得 る ． こ れ を 解 き 遂 次 刀3,刀4,…を求める．
まず
X = T/3十戸，
と置き
/(X) = exp (‑X)+ X‑(1十戸）= 0,
か ら ， 例 え ばNewton‑Raphson法を用いて， Xを求める．これから，刀3を 決 定 す る ． 尚 /'(X) = ‑exp(‑X)+l;;;:; 0, X > 0,
/(1十戸）
>
0' であるから，X < l+r汽
(46)
(4 7) (48) (49)
(50)
(51)
(52) (53)
(54) 即ち
加く1' (55)
であることが判かる．
又
T
J
、
< 0 , i = 2, 4, ・・・ TJ;>
0 , i = 3, 5, ・ ・ ・(56) (57) であるから，
X =
I
TJ、
+1‑T/、 I ,
i = 3, 4,…
/3=1+1叫，
(58) (59)
と置き，
exp(‑X)+X//3‑1 = 0,
を，例えばNewton‑Raphson法を用いて，解く．得られたXを用いて
加 I= 7};+(‑)ix , i = 3, 4, … , が求められる．
し一
1.0 0. B 0. 6 D. 4‑
0.2 0.0
undershooi:
↑ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ , . , ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲
‑
‑
一
‑ ‑
, , , , , " ↓
/ overshoot
：
＇
taut
゜
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
TJ C
図 8 索弛緩条件及び遷移荷重が錨着地時張力となる条件
(60)
(61)
浮玉が最下端に位置する時の張力を考察する．先ず 7/c~1 の場合は， 7/3く 1 であるから， 7/3く 7/c と なる．即ち，最下端において，張力は正tautである．次に7/cく1の場合，最下端において張力零の条 件は/73= 7/c, 63 = <Jc = 0即ち
exp [ ‑(TJc+戸） ] + 1/c‑l = 0 , 刀cく1, 又は，これを解いて
だ ＝ 一ln(l‑刀c)‑1/c , 1/cく1, で与えられる．これを図8に実線を用いて示す．そして
戸 <‑ln(l‑T/c)‑1/c , 1/cく1'
(62)
(63)
(64) の時は，最下端において張力正tautである．運動を決定するには，前出 (51)及び (60)を用いれば良 い．一方
戸 ＞一ln(l‑7/c)‑7Jc , 7Jcく1, (65) の時は，最下端に達する前に伸び零張力零slackとなる．
この場合は，伸び零の位置J7= J7cにおける下降速度(J= <Jc, 速度零(J= (53 = 0となる最下端位置 7
J
= 7]3, 浮玉が上昇に転じ伸び零の位置7J= 7Jcにおける上昇速度(5= 6d, 及び速度零(5= (54 = 0と なる最上端位置7J= 7}4を
140
に従って解く．即ち
川建・橋本・長浜・石井・篠崎・田代
6名＝一exp[ ‑(1Jc+戸） ] + 1‑l}c, 0 = (6各+7Jc) exp [ ‑7J3 + l}c] ‑l}c, 品 ＝ ーl}cexp [ lJc ‑1J3] + lJc,
0 = [6か一(1+ 7Jc) ] exp (7}4 ‑7Jc) + 1 + 7}4,
6名＝一exp[ ‑(1Jc+戸）]+l‑7Jc, 0 < 6~< 1, 7}:1 = l}c+ ln[(C5炉+lJc) /7Jc] , lJc < 7}3,
品 =7Jc6名/(C5f+ lJc) , 63 <品
[1 + 1JU(1J叶品）]exp(‑X)+X‑(l+l}c) = 0, 7J4 = lJc‑X, から 6c, lJc, (54, 及び7}4を順次求める．
4. 遷 移 荷 重
(66) (67) (68) (69)
(70) (71) (72) (73)
錨着地後，浮玉は下降上昇を繰返し，平衡位置に近付くことは，前に述べた．この間の変動荷重が，
着地時の張力を越えることもあれば，越えないこともある．ここでは，遷移荷重の最大値が，錨着地時
張力と同じになる条件をまず求める．図7参照のこと．
錨着地後，浮玉が下降し，最下端7)3に到達した時，索の伸びが丁度零7)3= T}cになっているものとす る．この条件は， TJc< lの時に成立する (62)を用いて，
1‑TJc = exp [ ‑(TJc十戸）］， (74) と書くことが出来る．ここで浮玉は上昇に転じ，最上部刀4に達する．その位置が，錨着地時の位置と等 しい1}4=一戸条件は， (48)を用いて，
exp [ ‑(TJc+戸）]+(TJc+戸）/(l+TJc)‑1 = 0, となる．この2つの条件7}3= T}c及び7}4=—戸から
TJ~= ‑ln(l ‑TJc)‑TJc, が導かれる．これを解き， T}c= 0.6838を得る．この時
r = 7Jc = 0.6838 である．そして
r
>
0.6836(75)
(76)
(77)
(78) の時は，最上端における張力は，着地時の張力を越えない刀c一刀4< 7/c + r2, undershootであり，
r
>
0.6836 (79)の時は，最上端における張力が着地時の張力を越える 7/c‑7/4 >刀c+ r2, overshootとなることが判かる．
又7/c
>
0.6838であれば， r= 0.6838の時，浮玉最下端位誼mにおいて索は緊張tautしており，且 つ浮玉最上端位置刀4 での索の伸びは錨着地時の伸びに等しい刀4= —戸ことが判かる．従って，上の条 件式を適用することが出来る．更に，刀C< 0,6838の場合，例えばr= 0.6838とすれば，浮玉最下端位憤7/3で，索は弛緩slackして いる．改めて，浮玉最下端位置で弛緩している場合の公式を用いることにする．浮玉が上昇し，最上端
位置T/4に達したところで，錨着地時と同じ伸びになっているものT/4=—戸とすれば， (70) 及び (73) を用いて
咲 ＝ 一exp[ ‑(TJc+戸） ] + 1‑T}c
[1 + TJ各l(TJc+6） ] 名 exp (‑X) + X ‑(1 + T}c)
=
0 , X=
T}c +戸，(80) (81) を得る．これから，ある T}cに就いて， Xを求め，次いでrを計算する．この結果を図8中に破線で示す．
併せてundershoot及びovershoot領域を示す．
5. 計 算 例 と 考 察
図1に示した種子島沖の黒潮計測に用いた海中ブイに就いて， B = 909 kgf, W'= 1,437 kgf, ks=
200.6 kgf s2m ‑2, kA = 886.9 kgfs両， Wn= 1,882 kgf, WA = 13,387 kgf, /。=938 m, h = 1,000 m, EA = 2,829 x 106 kgfと置いて計算すれば， T/c= 0.623及びr= 0.260を得る．これを図8中，口印で示 した．索は緊張状態tautを保つこと，及び浮玉上昇位置において索張力は，錨着地時索張力を越えるこ とが判かる．相平面軌道及び位置或るいは張力の時間変化を，夫夫図9及び10に示す．これは， Runge‑
Kutta‑Gill法に基き， PC9800を用いて描いた．
又，パラシュートを取除いた系を考え， kA= 52.4 kgf s2m―2, WA = 2,167 kgf, 他は同じとすれば， T/c
= 0.623 (同じ）及びr= 0.538を得る．相平面軌道及び位置の時間変化を，夫夫図11及び12に示す．
tension (kg f l
1600 1200 800 400
゜
I I I I
elongation (m)
0 . 5 0 . 4 0 . 3 0.2 0 . 1 0.0
coCl)
ヽ
‑0E C QJ co
‑ ‑ ゜
．の 0
‑c a:,
゜
ID Cユー CCココ en ., コC aコ
Ql
O
ら
en
Ql
てコ co
• .J
図9 相平面軌道パラシュート付
142 川建・橋本・長浜・石井・篠崎・田代
0 . 5
u)
0 . 4
C
0.3
゜ 2
1
．
．
0 0
} ‑
eB
uo
1a
0 . 0
I I I I I I I I I I I
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 time ( s )
図10 索の伸び又は張力の時間変動 パラシュート付
tension (kg f l
1600 1200 800 400
゜
I I I I
elongation ( m ) 0 . 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 0 . 0
L co en
ヽ
‑0E C QJ co
0
．
en C>
‑a a:l
OJ cっ
゜
C．ユ cっ en ‑c
C: co
Q)
O
ら
en
゜
てコ co
• ̲j
図 11 相平面軌道 パラシュート無し
0 . 5
‑‑ E三
0.4
今 ‑
3 2 1
．
．
．
0 0 0
u□
!+ g6 uo 1a
0. 0
図12
゜
ー
2
・ I I I I I I4.0 6.0 8.0 time ( s )
索の伸び又は張力の時間変動 パラシュート無し
゜
ー
゜
・． ゜
1 0
．
実係留線では，張力は分布しているけれども，本計算では，一定と見倣している．前報I)に述べたラム プドマス法11質点10結合線模型を用いて計算した，図3に示す結果と比べてみると，収束値は当然同 じであるけれども，遷移期間中に生ずる，張力変動の振幅及び最大値とも，本計算法2質点1結合線模 型によるものが大きい．従って，この計算は安全側の値を与えることが判かる．
本方法による計算値が大きくなる理由は，重量を集中した為である．前報の11質点10結合線模型で は，ナイロンロープ近傍が上昇に転じた時，上部例えばラジオプイ近傍は未だ下降しているとするのに 対し，本報で述べた2質点1結合線模型では，ナイロンロープから上部は凡て同じ様に上昇するものと して計算している．換言すれば，前報模型では，各点の運動が必ずしも一致しないけれども，本報模型 では各部は一緒に動くものとして取扱っている．例えば，浮玉が上昇し最上端近傍に位置する場合，加 速度は張力が増加する方向に作用する．重量を集中した為，張力が大きく現われるのである．
6. 結 ‑0
係留系を2質点1結合線から成る模型に置き換え，この模型に就いて敷設時の計算を行い，錨着地後 の索の弛緩及び遷移荷重を簡単に推定する方法を述べた．
実係留線では，張力が分布しているけれども，この模型では，一定と見倣している．重量を集中して いるため，計算値は大き目に現われる．錨直上部ロープの挙動を推定するには，適当であると考えられ る．
144 川建・橋本・長浜・石井・篠崎・田代
参 考 文 献
1) 川建和雄，長浜智基，石井秀夫，篠崎高茂，田代昭正：海中で用いる索の二次元動的計算法，九 州 大 学 応 用 力 学 研 究 所 所 報 第63号 (1987) 179‑188.
（昭和63年5月31日 受 理 ）
付 録
記 号 添 字 等
B 浮力 (kgf) A 錨anchor
EA 伸び剛性 (kgf) B 浮玉又はプイ buoy
f 函数 T 最終速度terminalspeed
g 重力加速度 (ms―I)
゜
原h 水深 (m) co 平衡
k 抗力係数 (kgfs2m―2) L1 伸 び
L 長さ (m) 時間tに関する微分d/dt
長さ (m)
r 最終速度対特性速度
T 張力 (kgf) 時間 (s) V 速度 (ms―I) V 速度 (ms‑1)
w
仮想重量 (kgf) W' 水中重量 (kgf)X 変 数
X 位置 (m) 刀 無次元位置 刀c 無次元位置又は伸び
(5 無次元速度
て 無次元時間
