解析 II ・講義ノート

解析 II ^{・講義ノート}

第８回

(2020^年12^月 1^日(^火)^配信分)

§8.

^{高次の微分と極値問題}

 さて、

^変数関数

は偏微分可能として、その偏導関数

f_x(x, y), f_y(x, y)

がさらに偏微分可能のとき、

^は

^回

偏微分可能であると言い、得られる

^次偏導関

数を次のように表します。

∂

∂x



∂f

∂x



 = ∂²f

∂x² = (f_x)_x(x, y) = f_xx(x, y)

∂

∂y



∂f

∂x



 = ∂²f

∂y∂x = (f_x)_y(x, y) = f_xy(x, y)

∂

∂x



∂f

∂y



 = ∂²f

∂x∂y = (f_y)_x(x, y) = f_yx(x, y)

∂

∂y



∂f

∂y



 = ∂²f

∂y² = (f_y)_y(x, y) = f_yy(x, y)

と表します。上付きの

^{の位置、表記による}

^と

^{の順番の違}

いに気をつけましょう。

 これらが全て連続のとき、

^は

^{級であると言います。}

f(x, y)

^が

^{級のとき、}

^と

^{は一致しますが、}

C²

級でないときは、一致するとは限らないので注意が必要です。

 これらを並べて出来る

^{次正方行列を}

^{のヘッセ行列と}

呼び、

Hess f = D²f =







f_xx f_xy f_yx f_yy







で表します。

^が

級のとき、そのヘッセ行列は、各点

(x, y)

で実対称行列になります。

 一次関数

^に対し、

f_xx(x, y) = f_xy(x, y) = f_yx(x, y) = f_yy(x, y) = 0 ((x, y) ∈ R²)

より、

^{は零行列です。}

 また二次関数

^{に対しては、}

f_xx(x, y) = 2a, f_xy(x, y) = 2b

f_yx(x, y) = 2b, f_yy(x, y) = 2c ((x, y) ∈ R²)

より、

Hess f(x, y) =







2a 2b 2b 2c







となります。

 以下繰り返し、

^{回微分可能、}

^{次偏導関数、}

^{級、無限回微}

分可能＝

^級

何回でも好きな変数について好きな順番で 偏微分できる

と言った用語が定義されます。任意の多項式関数、

有理関数は、定義域の各点で

^{級になります。また}

^変数

^多

変数

^の

^級関数と

^変数の

^{級関数の合成関数も}

^級にな

ります。

 さて、

^は

^{級としましょう。点}

^を通り

方向ベクトル

^の直線

(x, y) = (x₀ + pt, y₀ + qt) = x₀ + tv

(t ∈ R (

^または

^{を含む開区間}

に制限すると

つまりグラフを縦の平面で切ると

^、

^に関する

変数関数

g(t) = f(x₀ + pt, y₀ + qt) = f(x₀ + tv)

が得られますが、この関数もまた

級で、次が成り立ちます。

(

以下では、慣例にならって、勾配ベクトル

^{方向ベクトル}

は共に列ベクトルと考え表記します。

g^′(t) = f_x(x₀ + pt, y₀ + qt) p + f_y(x₀ + pt, y₀ + qt) q

=







f_x(x₀ + tv) f_y(x₀ + tv)





 ·







p q





 ( · ^は内積)

= grad f(x₀ + tv) · v

g^′′(t) = f_xx(x₀ + pt, y₀ + qt) p² + f_xy(x₀ + pt, y₀ + qt) pq

+f_yx(x₀ + pt, y₀ + qt) qp + f_yy(x₀ + pt, y₀ + qt) q²

= (p q)







f_xx(x₀ + tv) f_xy(x₀ + tv) f_yx(x₀ + tv) f_yy(x₀ + tv)













p q







= ^tv Hess f(x₀ + tv) v

 この関数に

で平均値の定理を適用すると

g(t) = g(0) + g^′(θt) t (∃θ ∈ (0, 1))

= f(x₀) + t (grad f(x₀ + θtv) · v) 2

次までのテイラーの定理を適用すると

g(t) = g(0) + g^′(0) t + 1

2g^′′(θt) t² (∃θ ∈ (0, 1))

= f(x₀) + t (grad f(x₀) · v) +t²

2 (^tv Hess f(x₀ + θtv) v)

が得られます。

 特に二次関数

^の場合

には、

g(t) = m + t







k l





 ·







p q





 + t² (p q)







a b b c













p q







ですが、一般の関数では、最後の項の行列が一定にはならず、

x₀ = (x₀, y₀)

^にも

^{にも依る上に、何より}

^が何

か具体的にはわからないので少々注意が必要です。

 今、一般の

^変数関数

^{について、と言っても}

級くらいは仮定して、その増減について調べてみたいと思います。

^変数が

変数になっても、とりあえずグラフを３Ｄで描く、

もしくは思い浮かべることはできました。しかし、

^{変数になっ}

て

変数と大きく違うことの一つに、増減表が書けないと言うこ とがあります。それは変数の変化が直線的でないため、右に行く と増え、左へ行くと減ると言ったように、関数の値の増減を表に 表すことが困難だからです。そこで極大値や極小値、最大値や最 小値をどこでとるか調べるにあたって、

^{変数のとき以上に、}

回微分の果たす役割が重要になります。

^は

^で極大

^小

値をとるとしましょう。

極大

^小

値の定義は、本によって多少ぶれがあって、面倒なこと もあるのですが、この講義では、

^{の十分近くでは最大}

^小

値、より厳密に言うと、十分小さい

^を選べば

f(x₀, y₀) ≥ f(x, y) (||(x, y) − (x₀, y₀)|| < δ)

(

極小値のときはもちろん

^{が成り立つとき、極大}

^小

^値をと

ると言うことにしておきます。

 このとき、点

^{を通る任意の縦の平面}

(x, y, z) = (x₀ + pt, y₀ + qt, z) ((t, z) ∈ R²)

で切っても、断面に現れる

^に関する

^変数関数

z = g(t) = f(x₀ + pt, y₀ + qt)

は、

^つまり

^で極大

^小

^{値をとりますか}

ら、結局、偏微分を含む全ての方向微分が

^で

^に

ならなければなりません。

^{級のとき、偏微分が}

^{なら方向微}

分も

になりますから、とりあえず

f_x(x₀, y₀) = f_y(x₀, y₀) = 0

ならば、この条件は満たします。

 さて、

^変数関数

^{の場合には、}

^{で極値をとる}

ならば、

を満たしましたから、上の事実はちょうどそ

の部分に対応しています。そこで、実際に極値になっているのか

どうかは、

^の前後で

の符号が変わるか否かで判定す

ることができました。ところが

変数ではこれは難しい。そこ

で、もう一つの判定方法、

級のとき凹凸を調べると言う方法を

考えてみましょう。

 それは、

ならば上に凸で極大値、

^ならば

下に凸で極小値 と言うものでした。これをテイラー展開を用いて 説明すると、

f(x) = f(x₀) + f^′(x₀) x + 1

2f^′′(x₀ + θ(x − x₀)) x²

= f(x₀) + 1

2f^′′(x₀ + θ(x − x₀)) x²

で、ここで

^{ならば、十分}

^{に近い任意の}

に対しても、

^{が成り立つので、}

f(x) < f(x₀) (>)

^{も成り立ち、}

^で極大

^小

^{値をとると言う}

ことになります。

変数の場合も同様に、偏微分が

ならば、先に計算しておい た

次までのテイラー展開は

^{次の項が消えるため、}

f(x) = f(x₀) + t²

2 (^tv Hess f(x₀ + θtv) v)

となり、

^と

^{の大小は、}

次の項の符号だけで決まるこ とになります。ここで

2 > 0 (t ̸= 0)

^{ですから、結局十分}

^に近

い

^に対し、

tv Hess f(x₀ + θtv) v

が、

p² + q² = 1)

^と

^{に依らず、負}

^正

^なら

ば

^より、

^は

^で極大

^小

値をとるとわかります。

 それでは、その正負がどうしたらわかるかと言うと、行列とベ クトルで表していることからもわかるように、二次関数の分類の 際に、線形代数からの準備として用意しておいた、実対称行列の 対角化を用いる方法が使えます。

次までのテイラー展開は、実は一次関数による近似

f(x₀) + t (grad f(x₀) · v) (^今は 1 ^次の項は 0 )

の誤差を

^{次の剰余項}

2 (^tv Hess f(x₀ + θtv) v)

によって表したもので、二次関数による近似とは言えませんが、

その誤差の部分の符号を調べることで、大雑把に言えば、どのよ

うな二次関数に近い凹凸の状況にあるかがわかります。

 さて、

^{変数の二次関数}

^は行列







a b b c







の固有値

^{を用いて、}

の形に書き直すことがで きるので、固有値がどちらも負

^正

^{なら、原点以外では負}

^正

^の

値をとりました。そして、固有値は固有方程式

λ² − (a + c)λ + (ac − b²) = 0

の解でしたから、解と係数の関係より、

^{のとき同符号}

で、さらに

^のとき負

^正

になりました。ところが

ここで

^より

^と

は同符号ですから、この二つ目の

条件は

^または

^{に置き換えられます。}

 従って、今考えている

変数関数の場合には、任意の単位ベク トル

^と十分

^に近い

^と

^に対し、

^で

f_xxf_yy − f_xy² > 0, f_xx < 0 (f_xx > 0)

ならば極大

^小

値となりますが、今仮定より

^は

^{級なので、}

f_xx, f_yy, f_xy

^{は全て連続のため、}

^{もまた連続で、}

x = x₀

の近くでは、それらの符号は

^従って

^{の固有値の符}

号も

変わりません。よって、

での符号を調べれば十分と 言うことになります。

 一方

f_xxf_yy − f_xy² < 0

ならば、

^{のいくらでも近くで、}

^{が正負両方の}

値をとってしまうので、極値にはならないことも判定できます。

 以上まとめると、

^級の

^変数関数

^が、

f_x(x₀, y₀) = f_y(x₀, y₀) = 0

^{をみたすとき、}

(1) f_xx(x₀, y₀)f_yy(x₀, y₀) − f_xy(x₀, y₀)² > 0

^かつ

^な

らば

^で極大値

^をとる。

(2) f_xx(x₀, y₀)f_yy(x₀, y₀) − f_xy(x₀, y₀)² > 0

^かつ

^な

らば

^で極小値

^をとる。

(3) f_xx(x₀, y₀)f_yy(x₀, y₀) − f_xy(x₀, y₀)² < 0

^ならば

で極値をとらない。

と判定できます。

 判定条件を二次方程式の判別式を用いて説明している本などでは、

f_xy² − f_xxf_yy の符号で記述していることがあります。見かけ上、正負が逆にな るので、参照する際には注意して下さい。この講義では、線形代数との関わり を重視して、f_xxf_yy − f_xy² の符号で記述しました。

 ちょっと例題を見ておきましょう。二次関数はもう分類済み

0 - x y z 6

z =ax²+cy² (a < 0, c <0)

◦ ^極大値

0 -

x y z 6

z =ax²+cy² (a > 0, c >0) 極小値◦

0 - x y z 6

z =ax²+cy² (a > 0, c <0) 極値でない ◦

なので、

^{変数の三次関数}

^{について考えてみま}

しょう。もしこの関数がどこかで極値をとるならば、そこでは

f_x(x, y) = 2xy = 0 f_y(x, y) = x² − 1 = 0

が成り立たなければなりません。

 第２式より

で、これを第１式に代入して

^を得ま

す。従って、極値を取る点の候補は

^{です。ここで}

f_xx = 2y, f_xy = 2x, f_yy = 0

より、

f_xx(±1, 0) = 0, f_xy(±1, 0) = ±2, f_yy(±1, 0) = 0

ですから、

f_xx(±1, 0)f_yy(±1, 0) − f_xy(±1, 0)² = −4 < 0

より、極値はとらないことがわかります。

[

^練習課題

3y³

^{ではどうでしょうか？}

 上の判定条件

の内、どの条件も満たさないときは、

さらに高次の微分に関する情報が無ければ、一般には判定できま せん。

 たとえば二次関数の場合、原点で偏微分が消えていてヘッセ行 列の固有値の一つが

ならば、対角化する座標変換により、結局

f(x, y) = ax²(+0y²) (a ̸= 0)

の場合に帰着しましたが、この場合

f_xx(0, 0)f_yy(0, 0) − f_xy(0, 0)² = 2a · 0 − 0² = 0

となり、上の判定条件は適用できないものの、

^のとき、

f(x, y) ≤ f(0, 0) ((x, y) ̸= (0, 0)) ( a > 0

^のとき

^{より、極大}

^小

^{値をとります。}

( y ^軸 (x = 0) 上では等号が成立してしまうので、本によってはこれを極値と 認めなかったり、広義の(^{＝広い意味での})極値と言ったりします。)

0 - x y z 6

z = ax²(+0y²) (a < 0, c= 0)

◦ (広義の)極大値

0 -

x y z 6

z = ax²(+0y²) (a > 0, c= 0) (^広義の)^極小値 ◦

 しかし、これが

^{なら、原点}

での偏微分は

回まで全て上の例と一致するものの、

(c < 0)

^のとき、

軸上では狭義単調に増加

^減少

^{するので、原点}

では極値をとりません。

 一方、

^{なら、やはり原点で}

の偏微分は

回まで全て上の例と一致しかつ、

^かつ

のとき、

f(x, y) < f(0, 0) ((x, y) ̸= (0, 0))

( a > 0

^かつ

^のとき

^{より、原点で極大}

^小

^{値をとりま}

すが、

^かつ

^{のときは、}

^{軸上で上に凸、}

^{軸上で下に}

凸

^かつ

^{のときは上下が逆}

より、原点で極値はとり

ません。

 このように、ヘッセ行列

^{の固有値の中に}

^がある、

つまり

回微分が消えている方向があるとき、高次の項の符号 が、極値になるならないに影響して来るわけです。特に

x²y, xy², x³y, x²y², xy³

などの項が、一般には

^{次の場合の}

のように整理できるとは 限らず、判定にはより困難が伴います。

 ここでは

変数関数について説明して来ましたが、上の判定条 件は、

変数関数でも同様に成り立ちます。ただし、実

^次対称

行列の固有値の符号の判定条件を書き下すために、

^の

小行列式が用いられ、条件式の本数は

に応じて増えます。この

講義ノートでは省略しますが、参考書等で確認しておいて下さい。

第７回練習課題の解答

∂(r, θ)

∂(x, y) =









√ x

x² + y²

√ y

x² + y²

− y x² + y²

x x² + y²









=









cos θ sin θ

−sin θ r

cosθ r









= 1 r







r cosθ r sinθ

− sinθ cosθ







=







cosθ −r sinθ sinθ r cosθ







−1

=



∂(x, y)

∂(r, θ)





−1