解析 II ・講義ノート
第 12 回
(2021
年1
月12
日(
火)
配信分)
§ 12. 面積分とガウスの定理
線積分があれば面積分もあります。その説明には 3 変数が必要
ですが、 3 変数関数の条件付極値問題同様、本質的には 2 変数の
話なので、やはりこの講義ノートでもお話しておきます。
2 変数関数 z = g (x, y) の曲線 C 上の線積分は、 C が 1 変数関
数 y = f (x) (x ∈ [a, b]) のグラフとして表されるとき、
x = (x, y) = (x, f (x)) (x ∈ [a, b]) をパラメーター x に関する表示
と思えば
|| x ′ (x) || =
r
1 + f ′ (x) 2
より、 Z b
a g (x, f (x))
r
1 + f ′ (x) 2 dt
となりました。
ここで線素
ds =
r
1 + f ′ (x) 2 dt
の r 1 + f ′ (x) 2 は、曲線 y = f (x) の点 (x, f (x)) における x 軸正
方向の接ベクトル (1, f ′ (x)) の長さであり、これは水平な x 軸に
対して、点 (x, f (x)) における接線の長さが、同じ x の範囲で、
斜めに傾いた分、何倍になっているか、と言う比でした。
さらに各点で長さがどのくらい増えているかを表すこの比を積 分すれば、曲線の長さが
Z
C ds = Z b
a
r
1 + f ′ (x) 2 dt
で与えられ、また上の線積分も
Z
C gds
と表されました。
同様に 3 変数関数 w = g (x, y, z ) の曲面 F 上の面積分は、 F が 2 変数関数 z = f (x, y) ((x, y) ∈ D ) のグラフとして表されるとき、
Z Z
D g (x, y, f (x, y ))
r
1 + f x (x, y) 2 + f y (x, y) 2 dxdy
で与えられます。
ここで
dS =
r
1 + f x (x, y) 2 + f y (x, y) 2 dxdy
を曲面 F の面積要素と呼び、上の面積分は
Z Z
F gdS
とも表されます。この r 1 + f x (x, y) 2 + f y (x, y ) 2 は何かと言うと、
曲面 z = f (x, y) の点 (x, y, f (x, y)) における x 軸正方向の接ベク
トル (1, 0, f x (x, y)) と y 軸正方向の接ベクトル (0, 1, f y (x, y)) の作
る平行四辺形の面積です。
線形代数 I( または II ？ ) で出て来たはずの 3 次元ベクトルの外
積の長さがその面積と一致しますから、とりあえず外積を求めて
みれば
1 0 f x 0 1 f y e 1 e 2 e 3
= ( − f x , − f y , 1)
より、確かにその長さは r 1 + f x 2 + f y 2 です。これは水平な xy
平面に対して、点 (x, y, f (x, y)) における接平面の面積が、同じ
(x, y) の範囲で、斜めに傾いた分、何倍になっているか、と言う
比そのものです。
各点で面積がどのくらい増えているかを表すこの比を ( 重 ) 積分
すれば、曲面の面積が
Z Z
F dS = Z Z
D
r
1 + f x (x, y) 2 + f y (x, y) 2 dxdy
で与えられます。 (
厳密には線積分のとき同様、極限に関する議論が必要 です。)
これと同じ考え方をすれば、 2 変数関数のグラフとしてではな く、パラメーター表示されている場合にも、面積分を表すことが できます。
実際、 (x(u, v), y(u, v), z (u, v)) ((u, v) ∈ D ′ ) ( D
に ′ が付いている のは、xy
平面の領域と区別するため) を曲面 F のパラメーター表示と
すると、 F 上の各点において、 u 方向の単位接ベクトル
(x u , y u , z u ) と v 方向の単位接ベクトル (x v , y v , z v ) の外積は、
x u y u z u x v y v z v e 1 e 2 e 3
=
y u z u y v z v
, −
x u z u x v z v
,
x u y u x v y v
ですから、 F の面積要素は
dS =
v u u u u u u t
y u z u y v z v
2
+
x u z u x v z v
2
+
x u y u x v y v
2
dudv
で与えられます。
線積分の場合に、曲線 C のパラメーター表示 (x(t), y(t)) (t ∈ I = [a, b]) に対して、線素が
ds =
r
x ′ (t) 2 + y ′ (t) 2 dt
で与えられたのと比較してみましょう。
ここで曲面積の計算例を一つ見ておきましょう。
例えば原点中心の単位球面を、緯度 ϕ と経度 λ でパラメー
ター表示してみると、
(x, y, z ) = (cos ϕ cos λ, cos ϕ sin λ, sin ϕ) ϕ ∈ " − π 2 , π
2
#
, λ ∈ [ − π, π ]
!
となりますから、
(x ϕ , y ϕ , z ϕ ) = ( − sin ϕ cos λ, − sin ϕ sin λ, cos ϕ), (x λ , y λ , z λ ) = ( − cos ϕ sin λ, cos ϕ cos λ, 0)
で、外積は
( − cos 2 ϕ cos λ, − cos 2 ϕ sin λ, − sin ϕ cos ϕ)
より、面積要素は
dS =
r
cos 4 ϕ(cos 2 λ + sin 2 λ) + sin 2 ϕ cos 2 ϕdϕdλ
= cos ϕdϕdλ
従って、その面積は
Z
F dS = Z π
− π
Z π/2
− π/2 cos ϕdϕdλ
= Z π
− π [sin ϕ] π/2 ϕ= − π/2 dλ
= Z π
− π 2dλ
= [2λ] π λ= − π
= 4π
と計算できます。
[ 練習課題 ] 2 変数関数 z = √
1 − x 2 − y 2 (x 2 + y 2 ≤ 1) のグラ
フと見て、半径 1 の半球面の面積を計算してみましょう。
線積分の章でお話したグリーンの定理の 3 次元版を考えてみま
しょう。曲面 F が R 3 の領域 D を囲む単純閉曲面のとき、次が 成り立ちます。
Z Z Z
Ω (P x + Q y + R z )dxdydz = Z Z
F (P, Q, R) · ndS
ここで n は閉曲面 F の外向き単位法線ベクトルです。この等式 は、ガウスの定理と呼ばれます。
0
x
-y z 6
F
? N R
q - 6
I M i
n ) ? R q
6 1 i I
領域 D の閉包 D が
φ 1 (x, y ) ≤ z ≤ φ 2 (x, y) ((x, y) ∈ D 3 )
( D
に 3 が付いているのは、R
3 の領域と区別するため) と表される最も 簡単な場合で、第３項について示してみましょう。
0
x
-y z 6
D3
D
F− : z = φ1(x, y) F+ : z = φ2(x, y)
このとき、曲面 F の
上半分 F + は (x, y, z ) = (x, y, φ 2 (x, y )) ((x, y) ∈ D 3 ),
下半分 F − は (x, y, z ) = (x, y, φ 1 (x, y)) ((x, y) ∈ D 3 )
と表されます。よって
Z Z Z
D R z dxdydz = Z Z
D
3Z φ
2(x,y)
φ
1(x,y) R z dz
!
dxdy
= Z Z
D
3[R(x, y, z )] φ z=φ
2(x,y)
1
(x,y) dxdy
= Z Z
D
3(R(x, y, φ 2 (x, y)) − R(x, y, φ 1 (x, y)))dxdy
= Z Z
D
3R(x, y, φ 2 (x, y)dxdy − Z Z D
3
R(x, y, φ 1 (x, y)dxdy
を得ます。
ここで、 F + の各点において、 x 軸正方向の接ベクトルは
(1, 0, (φ 2 ) x ) で、 y 軸正方向の接ベクトルは (0, 1, (φ 2 ) y ) で、それ
ぞれ与えられますから、それらの外積 ( − (φ 2 ) x , − (φ 2 ) y , 1) が上向
きの法ベクトルになり、これをその長さ r 1 + (φ 2 ) x 2 + (φ 2 ) y 2 で
割ったベクトルが、外向き単位法ベクトル n になります。
一方、 F − の各点においては、 x 軸正方向の接ベクトル (1, 0, (φ 1 ) x ) と y 軸正方向の接ベクトル (0, 1, (φ 1 ) y ) の外積
( − (φ 1 ) x , − (φ 1 ) y , 1) が上向きの法ベクトルになりますが、これは 内向きなので、 − 1 倍して外向きにしてから、その長さ
r
1 + (φ 1 ) x 2 + (φ 1 ) y 2 で割ったベクトルが、 n になります。
従って n = (n 1 , n 2 , n 3 ) の第 3 成分 n 3 は、
F + では 1
r
1 + (φ 2 ) x 2 + (φ 2 ) y 2 ,
F − では − 1
r
1 + (φ 1 ) x 2 + (φ 1 ) y 2
となり、一方、面積要素 dS は、
F + では
r
1 + (φ 2 ) x 2 + (φ 2 ) y 2 dxdy,
F − では
r
1 + (φ 1 ) x 2 + (φ 1 ) y 2 dxdy
ですから、それらの積 n 3 dS は、
F + では dxdy,
F − では − dxdy
と言うことになり、結局
Z Z Z
D R z dxdy
= Z Z
D
3R(x, y, φ 2 (x, y)dxdy − Z Z D
3
R(x, y, φ 1 (x, y)dxdy
= Z Z
F
+Rn 3 dS + Z Z
F
−Rn 3 dS
= Z Z
F Rn 3 dS
が示されました。
全く同様にして、
Z Z Z
D P x dxdydz = Z Z
F P n 1 dS
Z Z Z
D Q y dxdydz = Z Z
F Qn 2 dS
も示せるので、これらを併せてガウスの定理の主張が得られます。
3 次元でも発散は
div (P, Q, R) = P x + Q y + R z
で定義されるので、ガウスの定理は
Z Z Z
D div (P, Q, R)dxdydz = Z Z
F (P, Q, R) · ndS
とも書かれます。
さらに 3 変数関数 f (x, y, z ) の勾配ベクトルは
grad f = (f x , f y , f z ),
ラプラシアンは
△ f = div grad f = f xx + f yy + f zz
で与えられ、また
grad f · n = ∂f
∂n
も成り立ちますから、 grad f にガウスの定理を適用すれば直ち に、公式
Z Z Z
D △ f dxdydz = Z Z
f
∂f
∂n dS
も得られます。
第 11 回練習課題の解答
領域 D の閉包 D が
ψ 1 (y) ≤ x ≤ ψ 2 (y) (c ≤ y ≤ d)
と表される最も簡単な場合で示してみましょう。
このとき、左回りですから、曲線 C の右半分は
(x, y) = (ψ 2 (y), y) (c ≤ y ≤ d) 続く左半分は逆向きに
(x, y) = (ψ 1 (y), y) (d ≥ x ≥ c) と表されます。よって
Z Z
D Q x dxdy = Z d
c
Z ψ
2(y)
ψ
1(y) Q x dxdy
= Z d
c [Q(x, y)] ψ x=ψ
2(y)
1
