解析 I ・講義ノート

解析 I ^{・講義ノート}

第３回

(2020^年6^月2^日(^火)^配信分)

第３回本題

 関数

^が

^{のとき極限値}

に収束すると言うとき、

は

を満たしつつ、限りなく

に近付くことを考えていて、

x = a

^で

がどのような値をとるかは、全く考慮されず、それ どころか、

^で

は定義されている必要さえありませんで した。

 以下では、まず

^が

でも、とりあえず定義はされて

いる状況を考えてみましょう。

 よく整備された、なだらかな道を歩いていて、その途中に穴

^落

し穴とか、倒木を抜いた跡とか、蓋の空いたマンホールとか…

が開いていても、その穴が小さすぎて、ぎりぎりまで気付けない ような場合を思い浮かべてみて下さい。ちょっとでも離れた所か らは、そこでも道がちゃんと続いているように見えているわけで、

その見かけのその地点での地面の高さが、極限値です。

 でも、実際にはそこだけ、地面は低くなっているわけです。こ の場合、地面の高さを表す関数のグラフはつながっていません。

0

x- 6

y

◦

・

a

y =f(x) α

f(a)

 この道が、離れた所から見えているままに、見かけ通り穴も無 い状態ならば、地面の高さを表す関数のグラフはちゃんとつなが ります。

 このように、関数

^が

^{で連続 であるとは、}

xlim→a f(x) = f(a)

^{が成り立っていること}

つまり周囲からどう見え ているかと、実際にどうかが一致していること）を言います

^教科

書

^頁参照

^。

0 -

x 6

y

・

a

y =f(x) f(a) = α

 それでは、

^が

では定義はされていない場合はどうで しょうか？

 ただし、

^以外の

の近くではちゃんと定義されてい て、極限値

x→a f(x) = α

が存在するものとします。

0

x- 6

y

◦

a

y =f(x) α

 そのときは、関数の値が定義されていなかった

^で、その

極限値

を値とする関数を、新たに

ff(x) :=









f(x) (x ̸= a) α (x = a)

により定義すれば、この

^{については、}

xlim→a

ff(x) = lim_x→a f(x) = α = f^f(a)

が成り立つので、

で連続と言うことになります。

0 - x 6

y

・

a

y =fe(x) fe(a) := α

 定義域を拡げて定義したので、f^e(x) ^と f(x) は、あくまで違う関数と言うこ とで、別の記号(^文字)で表記していますが、このような自然な拡張のときは、

そのまま同じ記号(^文字)で表すことも少なくありません。

 たとえば、関数

x

^は、

では定義されていませんでした が、

のときの極限値については

xlim→0

sin x

x = 1

が成り立ちましたから、

g(x) :=













sin x

x (x ̸= 0)

1 (x = 0)

と定義すれば、関数

^は

^{で連続になります。}

0 - x 6

y

y = g(x)

−π

−2π π 2π

1

・

y = ¹_x y =−¹_x

y = −_x¹ y = _x¹

 また、前回も登場した関数

x

^も、

^{では定義されてい}

ませんでしたが、

のときの極限値については

xlim→0 x sin 1

x = 0

が成り立ちましたから、

g(x) :=













x sin 1

x (x ̸= 0)

0 (x = 0)

と定義すれば、関数

^は

^{で連続になります。}

0

x- 6

y

y = g(x)

@@

@@

@@

@@

@@

@@

y = |x| y = |x|

y =−|x| y = −|x|

・

 一方、関数

x

^は、

のときの極限値が存在しませんで したから、

での値をどのように定義しても、

^で連続

な関数に拡張することはできません。

が定義域の各点で連続のとき、連続関数であると言いま す

^教科書

^頁参照

。直観的には、グラフがちゃんとつながって いると言うことです。基本的な初等関数は皆、連続関数です。連 続関数に関する基本的な性質は、教科書でしっかり復習しておい て下さい。

 有理関数 1

x ^{や三角関数の内} tanx などは、グラフがつながっていないので は？と思われるかもしれませんが、これらの関数は、グラフが途切れている所 ( x = 0 ^やx = n

2π(n ^は奇数)) では、そもそも定義されていませんから、「定義 域の各点で連続」と言う条件は、ちゃんと満たしています。

 その意味では、x sin 1

x ^もsin 1

x も連続関数であると言えます( x = 0 ^は定義 域の外)。このような曖昧さを避けたいときには、連続である範囲を明言して、

x ̸= 0 ^{で連続な関数とか、}(−∞, 0) ∪ (0, +∞) 上の連続関数のように言えばよ いでしょう。

 連続関数に関する重要な定理に中間値の定理があります。その 主張は、

 閉区間

^{で連続な関数}

^{は、両端での異なる値}

と

をとるものとします。このとき、

^ならば

^ならば

を満たす任意の実数

^に対し、

^{を満たすような}

^が、開

区間

内に、少なくとも一つは存在する

と言うものでした。

 これは、阪和線で関西空港から天王寺に向かう電車は、全て一 度は杉本町を含め途中の各駅を、少なくとも一度は通過または停 車すると言うことと同じで、当たり前のことに思えますが、実は、

阪和線のレールが一本につながっていて

^{値域が閉区間}

^、電車が

タイムスリップ

定義域がつながっていない

^もワープ

^関数が連

続でない

もしない、と言う大前提の下で言えることなわけです。

関空 -

時刻 天王寺 6

杉本町

！

 中間値の定理の応用の代表例の一つとして、

 実係数の３次方程式

^は、少

なくとも

^{個の実数解を持つ}

と言う事実の証明があります。

 今、

^{とおけば、}

^では



1 + a₂

a₃ × 1

x + a₁

a₃ × 1

x² + a₀

a₃ × 1 x³





ですから、

^の場合、

x→−∞lim f(x) = −∞, lim

x→+∞ f(x) = +∞

が、

^の場合、

x→−∞lim f(x) = +∞, lim

x→+∞ f(x) = −∞

が成り立ちます。

 以下、

として、話を進めます。

 このとき、

x→−∞ f(x) = −∞

^{から十分小さい}

^{負で絶対値が大}

きい

^{に対しては}

^が、

x→+∞ f(x) = +∞

^{から十分大き}

い

^{に対しては}

が、それぞれ成り立っていることにな

ります。

 そこで、それぞれの

たちから一つずつ選んで

^十分

小さいので、負の数から選べます

^、

^{十分大きいので、}

正の数から選べます

^{とすれば、}

^です。

0 -x

6y y =f(x)

x₁

−∞←

↓−

−∞

x_{2 →}+∞ +

↑ +∞

 ここでx₁ < 0, x₂ > 0 ^{と選んだのは、}x₁ < x₂ を保証するためで、この大小 関係さえ成り立っていれば、x₁, x₂ の符号は、この場合、実は正負どちらでも 構いません。一方、f(x₁) ^と f(x₂) の符号の違いは本質的で、外せません。

 今、関数

^は

全体で連続ですから、特に閉区間

でももちろん連続です。よって中間値の定理が適用できて、この 閉区間の両端での値

^と

^{の中間にある任意}

の実数を

^と

の間の少なくとも１箇所で、

^{の値としてとり}

ます。

 従って、特に正負の境目である

と言う値もどこかで取る

^言い

換えると、３次関数

^{のグラフが}

^{軸を横切る}

^、ことも

言えます。そのときの

^の一つ

^を

^{とすれば、}

^が成り

立つ、つまり３次方程式

^は

^{を実数解として持つと}

言う結論が得られます。

0 -x 6y y =f(x)

x₁

− x₂ +

cW

の場合も、途中の符号の違いに注意すれば、全く同様に

して、主張を示すことができます。

 一般に実係数の奇数次方程式が少なくとも

^{個の実数解を持つ}

ことを、同様に証明できます。確かめてみて下さい。

 一方、実係数の偶数次方程式については、実数解を持たない場

合があります。任意の偶数に対して、そのような例を挙げてみて

下さい。

第２回練習課題の解答

^が

^の近く

^{自身は除く}

^{で定義された}

関数で、

^{の十分近くでは}

^{が成り立っていると}

する。ここでもし

^ならば

^も成り

立つ。