解析 II ・講義ノート

解析 II ^{・講義ノート}

第５回

(2020^年11^月10^日(^火)^配信分)

§5. 2

^{変数関数の微分}

 さて、極限と連続性について、大体準備が出来たので、これか ら一般の多変数関数の増減の様子を調べるため、微分を導入しま しょう。

 まずは

^変数関数

^の

^{における増減}

の様子を、とりあえずは既知の道具

^{変数関数の微分}

^を使える

だけ使ってみることから始めます。そのためには、これまでもし

て来たように、グラフを縦の平面で切った断面を考えるのが一番

です。

 グラフを描く

^内の点

^を通り、

xz

^{平面と平行な平面は}

です。従って、この平面で切った 切り口に現れる曲線は

^{と表される}

^{は固定してい}

るので

^{のみに関する}

変数関数です。この関数が

^にお

いて

について微分可能のとき、

^は

^にお

いて

に関して偏微分可能であると言い、その微分係数、つまり

g₁(x) = f(x, y₀)

^{とおいたときの}

^を、

^の

(x, y) = (x₀, y₀)

^における

に関する偏微分係数と呼んで、

∂f

∂x(x₀, y₀), f_x(x₀, y₀)

などと表します。定義をきちんと書くと

xlim→x₀

f(x, y₀) − f(x₀, y₀) x − x₀

となります。

 さらに、任意の

^において

に関して偏微分可能のとき、

得られる偏微分係数を

^に関する

^{変数関数と考えて、}

f(x, y)

^の

に関する偏導関数と呼び、

∂f

∂x(x, y), f_x(x, y)

などと表します。定義をきちんと書くと

hlim→0

f(x + h, y) − f(x, y) h

となります。

 本によってはh ^{はしばしば}∆x ^{と書かれ、}x ^{の増分と呼ばれます。}

についても全く同様ですが、以下、一応省略せずに書きます。

 グラフを描く

^内の点

^を通り、

yz

^{平面と平行な平面は}

です。従って、この平面で切った 切り口に現れる曲線は

^{と表される}

^{は固定してい}

るので

^{のみに関する}

変数関数です。この関数が

^にお

いて

について微分可能のとき、

^は

^にお

いて

に関して偏微分可能であると言い、その微分係数、つまり

g₂(y) = f(x₀, y)

^{とおいたときの}

^を、

^の

(x, y) = (x₀, y₀)

^における

に関する偏微分係数と呼んで、

∂f

∂y(x₀, y₀), f_y(x₀, y₀)

などと表します。定義をきちんと書くと

ylim→y₀

f(x₀, y) − f(x₀, y₀) y − y₀

となります。

 さらに、任意の

^において

に関して偏微分可能のとき、

得られる偏微分係数を

^に関する

^{変数関数と考えて、}

f(x, y)

^の

に関する偏導関数と呼び、

∂f

∂y(x, y), f_y(x, y)

などと表します。定義をきちんと書くと

klim→0

f(x, y + k) − f(x, y) k

となります。

 本によってはk ^{はしばしば}∆y ^{と書かれ、}y ^{の増分と呼ばれます。}

 また、

両方に関して偏微分可能のとき、単に偏微分可能で あると言います。

 具体的な

変数関数を偏微分するとき、

^{で偏微分したいとき}

は

^{で偏微分したいときは}

一般の多変数関数なら、微分し たい変数以外の変数全て

を固定する、つまり定数と思って微分 すればよいので、

変数関数の微分の公式が、そのまま使えます。

 たとえば、一次関数

^に対し、

f_x(x, y) = a, f_y(x, y) = b ((x, y) ∈ R²)

二次関数

^に対し、

f_x(x, y) = 2ax + 2by, f_y(x, y) = 2bx + 2cy ((x, y) ∈ R²)

となります。

 極限の性質から、連続性のとき同様に、偏微分可能な関数の和、

差、積、商は、やはり偏微分可能になりますから、任意の多項式 関数、有理関数は、定義域の各点で偏微分可能になります。また

2

^変数

^多変数

^{の偏微分可能な関数と}

変数の微分可能な関数の 合成関数も偏微分可能になります。

g(f(x, y))_x = g^′(f(x, y))f_x, g(f(x, y))_y = g^′(f(x, y))f_y

[

^練習課題

^変数関数

x)

^{の偏導関数を求めてみ}

ましょう。

^変数

^多変数

関数どうしの合成関数の微分については、多少

注意が必要なので、後で章を改めて触れます。

 さて、

変数関数の微分に関する重要な性質の一つに、微分可 能ならば連続であると言うことがありました。

実際

^が

で微分可能とすると、微分係数

が平均変化率の極限値として存在しますから、

xlim→x₀

f(x) − f(x₀)

x − x₀ = f^′(x₀)

が成り立ちます。このとき

f(x) = f(x₀) + (f(x) − f(x₀))

= f(x₀) + f(x) − f(x₀)

x − x₀ (x − x₀) (x ̸= x₀)

→ f(x₀) + f^′(x₀) · 0 = f(x₀) (x → x₀)

より、

xlim→x₀ f(x) = f(x₀)

が成り立ち、

^は

^{で連続です。}

 ところが、

変数関数の微分に関しては、

^{両方について偏}

微分可能でも連続とは限りません。

 なぜなら

^が

で偏微分可能としても、

f(x, y) = f(x₀, y₀) + (f(x, y) − f(x₀, y)) + (f(x₀, y) − f(x₀, y₀))

= f(x₀, y₀) + f(x, y) − f(x₀, y)

x − x₀ (x − x₀) +f(x₀, y) − f(x₀, y₀)

y − y₀ (y − y₀) (x ̸= x₀, y ̸= y₀)

→ f(x₀, y₀) +

^？

で

(x,y)→lim(x₀,y₀)

f(x, y) − f(x₀, y) x − x₀

は

^{も固定せずに}

と同時に動かすことになるので、

^に関する

偏微分係数の定義ではなく、極限値が存在するかどうか、何の保 障もないからです。従って、

(x,y)lim→(x₀,y₀) f(x, y) = f(x₀, y₀)

が成り立つかどうかもわかりません。

 実際、

f(x, y) =













xy

x² + y² ((x, y) ̸= (0, 0)) 0 ((x, y) = (0, 0))

は

^軸上でも

^{軸上でも恒等的に}

^{ですから、}

^で

偏微分可能で、どちらの偏微分係数も

ですが、連続ではありま せんでした。

 これは偏微分係数が、座標軸以外の斜めの方向からの近付き方 について、何の情報も含んでいないからと考えられます。そこで、

そのことも考慮に入れて、新たな微分係数を導入しましょう。

 任意の単位ベクトル

^{に対し、グラフを描く}

^内の

点

^{を通る縦の平面}

で切った切り口に現れる曲線は、

^平面上

z = f(x₀ + pt, y₀ + qt)

^{と表される}

^{のみに関する}

^{変数関数で}

す。この関数が

^において

について微分可能のとき、

f(x, y)

^は

^において

方向に方向微分可能である と言い、その微分係数、つまり

^とおい

たときの

^を、

^の

^における

^方向の

方向微分係数と呼んで、

∂f

∂v(x₀, y₀), f_v(x₀, y₀)

などと表します。

定義をきちんと書くと

limt→0

f(x₀ + pt, y₀ + qt) − f(x₀, y₀) t

となります。

^のときが

^{に関する偏微分、}

^の

ときが

に関する偏微分に他なりません。また、任意の

^方向に

方向微分可能のとき、単に方向微分可能であると言います。

 これで情報量はだいぶ増えたはずなのですが、残念ながら、全 ての方向

について方向微分可能でも連続とは限りません。なぜ なら

^が

で方向微分可能としても、

の

への全ての近付き方を網羅していないからです。

 実際、

f(x, y) =















x²y

x⁴ + y² ((x, y) ̸= (0, 0)) 0 ((x, y) = (0, 0))

は、任意の

^{に対し、直線}

^上

f(pt, qt) =















p²qt

p⁴t² + q² (t ̸= 0)

0 (t = 0)

ですから、

^のとき

f(pt, qt) − f(0, 0)

t = p²q

p⁴t² + q² (t ̸= 0)

→ p²q

q² = p²

q (t → 0)

また

^{のとき直線}

^上

ですから、

f(pt, qt) − f(0, 0)

t → 0 (t → 0)

で、この

^は

で方向微分可能であり、その

v = (p, q)

^{方向の方向微分係数は}















p²

q (q ̸= 0) 0 (q = 0)

ですが、連続ではありませんでした。

 これは断面での切り口を見て、既知の道具

^{変数関数の微分}

だけを用いて微分を考えることの一つの限界と言ってよいで

しょう。

 そこで、微分とはそもそも何者だったか、もう一度振り返って みましょう。

における微分係数とはグラフの曲線

y = f(x)

^の点

における接線の傾きでした。つ まり、

で微分可能とは、そこで接線がひけると言うことで す。それでは、そもそも接線とは何だったのかと言うと、点

(x₀, f(x₀))

^{を通る直線}

y = a(x − x₀) + f(x₀)

であって、曲線

^との差

f(x) − {a(x − x₀) + f(x₀)}

が

のとき、小さくなってゆくものなのですが、ここで単 に

に近付くだけでは、同じ点を通ることしか表さず、交わって いる場合も含んでしまうので、

^または

^よりも速

く

に近付くものであると言うべきでしょう。

 つまり接線であるための条件は

xlim→x₀

f(x) − {a(x − x₀) + f(x₀)}

x − x₀ = 0

と言うことになります。

 ここで上の等式の左辺は

xlim→x₀

f(x) − f(x₀)

x − x₀ − a

より結局、微分係数

が存在するとき、それを傾きとすれば

接線になり、また微分係数が存在しなければ、接線と呼べるもの

は無いことになります。曲線がその点で角になっている場合など

が、それに当てはまります。

 さて、この考え方を

変数関数に適用してみましょう。

z = f(x, y)

^{がそもそも}

^{広い意味での}

曲面ですから、この場合、

接線の役割を果たすのは接平面でしょう。そこで、点

(x₀, y₀, f(x₀, y₀))

^{を通る平面}

定数関数または一次関数です

であって、曲面

^との差

f(x, y) − {a(x − x₀) + b(y − y₀) + f(x₀, y₀)}

が

^のとき、

||(x, y) − (x₀, y₀)|| =

√

(x − x₀)² + (y − y₀)²

よりも速く

に近付くものを接平面と考えることにします。

 すると、この平面が接平面であるための条件は

(x,y)→lim(x₀,y₀)

f(x, y) − {a(x − x₀) + b(y − y₀) + f(x₀, y₀)}

√

(x − x₀)² + (y − y₀)² = 0

と言うことになります。

 ここで上の等式の左辺は、近付け方を

^に限

定すれば、

x→limx₀+0

f(x, y₀) − f(x₀, y₀)

x − x₀ − a

y = y₀, x → x₀ − 0

^{に限定すれば、}

− lim

x→x₀−0

f(x, y₀) − f(x₀, y₀)

x − x₀ + a

x = x₀, y → y₀ + 0

^{に限定すれば、}

y→limy₀+0

f(x₀, y) − f(x₀, y₀)

y − y₀ − b x = x₀, y → y₀ − 0

^{に限定すれば、}

− lim

y→y₀−0

f(x₀, y) − f(x₀, y₀)

y − y₀ + b

より結局、接平面が存在するならば、その

^{軸正方向の傾きは偏}

微分係数

軸正方向の傾きは偏微分係数

^で

なければならないので、偏微分可能であることはどうしても必要 ですが、それだけでは不十分で、結局それら偏微分係数に対して、

(x,y)lim→(x₀,y₀)

f(x, y) − f(x₀, y₀) − f_x(x₀, y₀)(x − x₀) − f_y(x₀, y₀)(y − y₀)

√(x − x₀)² + (y − y₀)² = 0

が成り立つときに限り、接平面が存在すると言えます。

0

-x y z 6

z =f(x, y)

平面 y = y₀ z = f(x, y₀)

◦

0

-x y z 6

z =f(x, y) 平面 x = x₀

z =f(x0, y)

◦

0 - x y z 6

z = f(x, y)

◦ 接平面

 一般に

^のとき、

^より速く

^{に近付くものを}

^で表し

ます。この表記を用いると、上の条件は

f(x, y) = f(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)(x − x₀) + f_y(x₀, y₀)(y − y₀) +o(

√

(x − x₀)² + (y − y₀)²)

と表せます。

  o(t) を高位の無限小と呼びます。ちなみに、もう少しゆるく、高々 t ^の定数 倍程度の速さで 0 に近付く、言い換えると t に対する比が有界であるものは、

同位の無限小と呼んでO(t) で表します。これらの記号をまとめてランダウの 記号と呼びます。

変数関数の場合で言うと、条件

f(x) = f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀) + o(|x − x₀|)

が、

^が

で微分可能であることと同値でした。

 前頁の条件が成立するとき、同様の意味合いで、

^は

(x, y) = (x₀, y₀)

で全微分可能であると言います。全微分可能なら ば、今度こそ連続となることは、条件式右辺において、

以外の項が皆、

^のとき

に近付くことからわかり

ます。

 また、全微分可能ならば、既に見たように偏微分可能ですが、

さらに、任意の方向

p² + q² = 1)

^に対し、

f(x₀ + pt, y₀ + qt)

= f(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)pt + f_y(x₀, y₀)qt + o(|t|)

より

f(x₀ + pt, y₀ + qt) − f(x₀, y₀) t

= f_x(x₀, y₀)p + f_y(x₀, y₀)q + o(|t|)

→ f_x(x₀, y₀)p + f_y(x₀, y₀)q (t t→ 0)

が成り立つので、方向微分可能であり、方向微分係数が

f_x(x₀, y₀)p + f_y(x₀, y₀)q

^{により与えられます。}

 微積分の教科書において、全微分はしばしば、厳密にはまだ導入されない外 微分もしくは微分形式と言う概念を用いて、

df = ∂f

∂xdx + ∂f

∂ydy = f_xdx + f_ydy

と表されますが、この式は、上で見た方向微分を与える式のことを表している と見ることも可能です。行ベクトルと列ベクトルの使い分けの意味と併せて、

ここで、ちょっとお話しておきます。

 第２回でもちょっと触れたように、実は Rⁿ の点並びに各点における接ベク トルは、列ベクトルで表すのが慣例です。R^{2 の場合、各点}x₀ =



 x₀ y₀



 にお

ける任意の接ベクトルp =



 p q



 は、正式にはその点での偏微分作用素と考え て、基底

( ∂

∂x

) x₀

,

( ∂

∂y

) x₀

の線形結合

p

( ∂

∂x

) x₀

+ q

( ∂

∂y

) x₀

=



 ( ∂

∂x

) x₀

,

( ∂

∂y

) x₀







 p q





と表されます。

 一方、2 ^変数関数 f(x, y) ^の全微分df = f_xdx + f_ydy ^は、各点 x₀ ^毎に、接 ベクトル空間から R ^{への線形写像}(双対ベクトル、この場合は特に余接ベクト ルと言います)

df_x0 = f_x(x₀)dx_x0 + f_y(x₀)dy_x0 = (f_x(x₀), f_y(x₀))



 dx_x0 dy_x0





を表しています。ここでdx_x0, dy_x0 ^は、



 dx_x0 dy_x0







 ( ∂

∂x

) x0

,

( ∂

∂y

) x0





=









dx_x0 ⁽⁽_∂x^{∂ )}_x

0

)

dx_x0

(( ∂

∂y )

x₀ )

dy_x0 ⁽⁽_∂x^{∂ )}

x0

)

dy_x0

(( ∂

∂y )

x₀ )







 =



 1 0 0 1





を満たすもの(^双対基底)^です。

 この意味で

df_x0(p) = pf_x(x₀) + qf_y(x₀)

が成り立つ、すなわち、df_x0 ^は、点 x₀ ^{における各}(^接)^ベクトル p ^に対し、f の p 方向の方向微分係数を与える線形写像と言うことになります。

 この表記に従うと、速度ベクトルなどの接ベクトルは列ベクトルで、2 ^変数 関数の(^全)微分は行ベクトルで、それぞれ成分表示するのがよいことになりま す。写像の微分であるヤコビ行列(^後出)も、この表記に倣って定義されます。

 また、f ^の点 x₀ ^{における勾配ベクトル}grad f_x0 は、接ベクトルとして定義 されるものなので、R² においては、成分だけ見れば f ^の(^全)^{微分と同じく偏} 微分係数f_x(x₀), f_y(x₀) を並べたものですが、あくまで列ベクトルとして区別 されるべきものです。

 定義域の各点

で全微分可能であるような関数を、単に全 微分可能な関数であると言います。しかしながら、与えられた関 数が全微分可能であるか否かを、定義の条件式に当てはめて示す のは結構面倒です。

変数の場合に倣って、二つの偏導関数

f_x(x, y), f_y(x, y)

^{が共に連続のとき、}

^は

^{級であると言}

いますが、実は

級ならば全微分可能なので、条件としてはや

や強くなってしまいますが、

級を確かめることは、全微分可能

の判定に有用です。

 実際、

f(x, y) − f(x₀, y₀) − f_x(x₀, y₀)(x − x₀) − f_y(x₀, y₀)(y − y₀)

= f(x, y) − f(x₀, y) − f_x(x₀, y₀)(x − x₀)

+f(x₀, y) − f(x₀, y₀) − f_y(x₀, y₀)(y − y₀)

=



f(x, y) − f(x₀, y)

x − x₀ − f_x(x₀, y₀)



 (x − x₀) +



f(x₀, y) − f(x₀, y₀)

y − y₀ − f_y(x₀, y₀)



 (y − y₀)

より、

f(x, y) − f(x₀, y₀) − f_x(x₀, y₀)(x − x₀) − f_y(x₀, y₀)(y − y₀)

√

(x − x₀)² + (y − y₀)²

=



f(x, y) − f(x₀, y)

x − x₀ − f_x(x₀, y₀)



 x − x₀

√

(x − x₀)² + (y − y₀)² +



f(x₀, y) − f(x₀, y₀)

y − y₀ − f_y(x₀, y₀)



 y − y₀

√

(x − x₀)² + (y − y₀)²

で、ここで

ylim→y₀

f(x₀, y) − f(x₀, y₀)

y − y₀ = f_y(x₀, y₀)

は偏微分係数の定義そのままですが、一方、

^が

^級であ

ることから

(x,y)→lim(x₀,y₀)

f(x, y) − f(x₀, y) x − x₀

= lim_y→y

0 _xlim_→x

0

f(x, y) − f(x₀, y)

x − x₀ (

^{∵近付け方に依らない}

= lim

y→y₀ f_x(x₀, y) (

^∵

^{でも偏微分可能}

= f_x(x₀, y₀) (

^∵

^が連続

も言えて、さらに、

x − x₀

√

(x − x₀)² + (y − y₀)², y − y₀

√

(x − x₀)² + (y − y₀)²

は共に有界ですから、結局

(x,y)lim→(x₀,y₀)

f(x, y) − f(x₀, y₀) − f_x(x₀, y₀)(x − x₀) − f_y(x₀, y₀)(y − y₀)

√(x − x₀)² + (y − y₀)² = 0

すなわち全微分可能であることが導かれます。

 ちなみに、全偏微分可能な関数の和、差、積、商は、やはり全 微分可能になりますから、任意の多項式関数、有理関数は、定義 域の各点で全微分可能になります。また

^変数

^多変数

^の全微分

可能な関数と

変数の微分可能な関数の合成関数も全微分可能に

なります。

第４回練習課題の解答

^のとき、

^{は原点で不連続}

でしたが、相加平均と相乗平均の関係より

|f(x, y)| = |x²y|

|x⁴ + y²| = x²|y|

x⁴ + y² = 1 2 ·

√x⁴y²

x⁴+y² 2

≤ 1 2

が成り立ちます。

^{つまり関数}

^{は有界でした。}

^この不等

式を用いると、

^{のときは、}

|f(x, y) − f(0, 0)| = |f(x, y) − 0| = |f(x, y)|

= x²|y|

x⁴ + y²|x| ≤ 1

2|x| ≤ 1 2

√

x² + y²

→ 0 (||x − 0|| =

√

x² + y² → 0)

なので、この

^{は原点でも連続です。}