解析 II ・講義ノート

解析 II ^{・講義ノート}

第14^回

(2021^年 1^月26^日(^火)^配信分)

§14. ^{相補公式の証明}

 相補公式の証明は、解析IIの範囲を逸脱してしまうのですが、

気になる人もいるのではと思いますので、一応お話しておきます。

 期末試験前の大変な時期と思いますので、忙しい人は今回パスしてもらって 構いません。

  1

2 ≤ x < 1 ( 0 ≤ 2x − 1 < 1 ) について示せば十分です。基本 関係式でy = 1 − x ^{とおけば、}

Γ(x)Γ(1 − x) = B(x, 1 − x)Γ(1) = B(x, 1 − x)

= 2 ^{Z π/2}

0 sin^2x−1 θ cos^2(1−x)−1 θdθ

= 2 ^{Z π/2}

0 sin^2x−1 θ cos^1−2x θdθ

= 2 ^{Z π/2}

0 tan^2x−1 θdθ

ですが、ここで t = tan θ ^{と置換すると、}0 ≤ θ < π 2 ^で 0 ≤ t < +∞, dt = (1 + tan² θ)dθ ^よりdθ = dt

1 + t^{2 なので} Γ(x)Γ(1 − x) = 2 ^{Z +∞}

0

t^2x−1 1 + t²dt

となります。

 ところが、この被積分関数は、0 < 2x − 1 < 1 ^{のとき、一般に}

は原始関数を初等関数で表すことはできません。しかし、後に複 素解析で学ぶ、留数定理を用いた定積分の計算法を適用すること ができます。その詳細をここでお話することはできませんが、計 算の流れだけご紹介しておきましょう。

 まず、複素関数

f(z) = z^2x−1 z² + 1

を考えます。₍この x ^は z の実部ではありません。)

 この関数は複素平面の上半平面(^{虚部が正の部分})^ではi ^以外の

点で、また実軸上でも 0 以外の点で、複素関数の意味で微分可能

(^正則)^で、i では極と呼ばれる特異点を持ちます。これは i ^の近

くで、 1

z − i の定数倍で近似されるくらいの意味で考えておいて 下さい。

 この定数を f(z) ^のz = i における留数と呼びます。そして i ^の

回りを(他の特異点の周囲を避けて) 左回りに一周する閉曲線に沿 う f(z) の線積分の値がこの留数の 2πi 倍になると言うのが留数 定理の主張です。

 ここで閉曲線のとり方を限定していないのは、線積分の値がそ のとり方に依らないためです。この事実はコーシーの積分定理か らの帰結なのですが、この講義の言葉で説明すると、f(z) ^の実部

虚部共に調和関数なので、グリーンの定理より従う事実と言うこ とになります。

 その留数ですが、極限計算を用いた公式により、次のように求 められます。

limz→i

(z − i)(z^2x−1)

z² + 1 = lim

z→i

z^2x−1

z + i = i^2x−1

2i = e^{(2x−1)πi/2} 2i

 または、 1

z² + 1 ^{の部分分数分解} 1

z² + 1 = −₂ⁱ

z − i +

i 2

z + i

より

z^2x−1

z² + 1 = −₂ⁱz^2x−1 z − i +

i

2z^2x−1 z + i

で、ここで右辺第１項の分子にz = i ^{を代入しても}

−i

2z^2x−1

z=i

= −i

2i^2x−1 = i^2x−1

2i = e^{(2x−1)πi/2} 2i

のように同じ値が得られます。

 こちらの計算の方が、i ^{の近くで、} 1

z − i ^{の定数倍で近似される}

ことが理解しやすいでしょう。

 ここで、中心が i ^で半径が ϵ ∈ (0, 1) ^の円周 C_ϵ : z = i + ϵe^iθ (0 ≤ θ ≤ 2π)

に沿って 1

z − i ^{を線積分すると、}dz = ϵie^iθdθ ^より

Z

C_ϵ

dz

z − i = ^{Z 2π}

0

ϵie^iθdθ

ϵe^iθ = ^{Z 2π}

0 idθ = 2πi

が成り立つことから、i の近くでその留数倍で近似されるf(z) ^の

線積分は、ϵ ^{に依らず留数の} 2πi ^倍

Z

C_ϵ f(z)dz = 2πi e^{(2x−1)πi/2}

2i = πe^{(2x−1)πi/2}

になるのですが、この事実をきちんと理解するには、テイラー展 開を一般化したローラン展開を理解する必要があるため、ここで はこれ以上の説明は省略し、直観的理解にとどめたいと思います。

 さて、次に1 < R < +∞ に対し、次の線分または曲線を順につ ないでできる閉曲線をC_R ^{とします。}

C_R,1 : z = t ( 1

R ≤ t ≤ R), C_R,2 : z = Re^iθ (0 ≤ θ ≤ π), C_R,3 : z = t (−R ≤ t ≤ − 1

R), C_R,4 : z = 1

R e^i(π−θ) (0 ≤ θ ≤ π)

すると、留数定理により次が成り立ちます

Z

C_R f(z)dz = 2πi e^{(2x−1)πi/2}

2i = πe^{(2x−1)πi/2}

0× - x y 6

i◦

C

- R -

I

C_R,3

CR,4

C_R,1

C_R,2

1

R R

i R

iR

−_R¹

−R

6C_ϵ

 さらに右辺の値は R ^{に依らないので、}

R→lim+∞

Z

C_R f(z)dz = πe^{(2x−1)πi/2}

も成り立ちます。

 ここで実はz = Re^{iθ に対して}

|f(z)| = |(Re^iθ)^2x−1|

|(Re^iθ)² + 1| ≤ R^2x−1 R² − 1

さらにdz = Rie^iθdθ ^より|dz| = Rdθ ^なので

Z

C_R,2 f(z)dz ≤ ^Z_C

R,2 |f(z)||dz| ≤ ^Z₀^π R^2x−1

R² − 1 Rdθ

= π R^2x

R² − 1 → 0 (R → +∞)

より

R→lim+∞

Z

C_R,2 f(z)dz = 0

が言えます。

 またz = 1

R e^{i(π−θ) に対して}

|f(z)| = |(_R¹ e^i(π−θ))^2x−1|

|(_R¹ e^i(π−θ))² + 1| ≤ R^−2x+1

1 − _R¹² ≤ R^−2x+3 R² − 1

さらにdz = 1

R (−i)e^i(π−θ)dθ ^より|dz| = 1

R dθ ^なので

Z

C_R,4 f(z)dz ≤ ^Z_C

R,4 |f(z)||dz| ≤ ^Z₀^π R^−2x+3 R² − 1

1

R dθ

= π R^2(1−x)

R² − 1 → 0 (R → +∞)

より

R→lim+∞

Z

C_R,4 f(z)dz = 0

も言えます。

 一方、実軸の閉区間上での積分の極限は、広義積分の定義その ものなので

R→lim+∞

Z

C_R,1 f(z)dz = ^{Z +∞}

0

t^2x−1

1 + t²dt,

R→lim+∞

Z

C_R,3 f(z)dz = ^{Z 0}

−∞

t^2x−1 1 + t²dt

が成り立ちます。

 ただし、C_R,3 ^では t < 0 ^なので、t^{2x−1 は実数の範囲では定義}

されません。ここでは

t^2x−1 = {(−1)(−t)}^2x−1 = {e^πi(−t)}^2x−1 = e^(2x−1)πi(−t)^2x−1

と考えます。そして −t = s ^{と置換すれば、}−∞ < t ≤ 0 ^で +∞ > s ≥ 0, −dt = ds ^より

Z 0

−∞

t^2x−1

1 + t²dt = e^{(2x−1)πi Z 0}

−∞

(−t)^2x−1 1 + (−t)²dt

= e^{(2x−1)πi Z 0}

+∞

s^2x−1

1 + s²(−ds)

= e^{(2x−1)πi Z +∞}

0

s^2x−1 1 + s²ds

となります。

 これらをまとめると、

R→lim+∞

Z

C_R f(z)dz = ^{Z +∞}

0

t^2x−1

1 + t²dt + ^{Z 0}

−∞

t^2x−1 1 + t²dt

= (1 + e^(2x−1)πi) ^{Z +∞}

0

t^2x−1 1 + t²dt

を得ます。

 以上より

Γ(x)Γ(1 − x) = 2^{Z +∞}

0

t^2x−1 1 + t²dt

= 2

1 + e^(2x−1)πi lim

R→+∞

Z

C_R f(z)dz

= 2

1 + e^(2x−1)πi πe^{(2x−1)πi/2} = 2π

1+e^(2x−1)πi e^{(2x−1)πi/2}

= 2π

e^{−(2x−1)πi/2} + e^{(2x−1)πi/2}

= π

cos ^(2x−₂^1)π = π

cos πx − ^π₂

= π

sin πx

で、相補公式を得ます。

第13^{回練習課題の解答}

Γ(x)Γ(y) = 4 ^{Z +∞}

0 e^−u2u^2x−1du ^{Z +∞}

0 e^−v2v^2y−1dv

= 4 lim

a₁→+0 lim

b₁→+∞

Z b₁

a₁ e^−u2u^2x−1du

× lim

a₂→+0 lim

b₂→+∞

Z b₂

a₂ e^−v2v^2y−1du

= 4 lim

a₁→+0 lim

b₁→+∞ lim

a₂→+0 lim

b₂→+∞

Z b₂ a₂

Z b₁

a₁ e^−u2−v2u^2x−1v^2y−1dudv

(被積分関数が正値なので、ここでは極限をとる順序について、気を付ける必要 はありません。)

 ここで(u, v) = (r cosθ, r sin θ) ^{と変数変換}(^置換)^すれば、

0 < r < +∞, 0 < θ < π

2 ^で0 < u < +∞, 0 < v < +∞, ^ヤコビ行

列式は r ^{ですが、さらに任意の}0 < a₁ < b₁, 0 < a₂ < b₂ ^に対し、

{(r cos θ, r sin θ) | a₃ ≤ r ≤ b₃, a₄ ≤ θ ≤ b₄}

⊂ {(u, v) | a₁ ≤ u ≤ b₁, a₂ ≤ v ≤ b₂}

⊂ {(r cos θ, r sin θ) | a^′₃ ≤ r ≤ b^′₃, a^′₄ ≤ θ ≤ b^′₄}

を満たす0 < a^′₃ < a₃ < b₃ < b^′₃ , 0 < a^′₄ < a₄ < b₄ < b^′₄ < π

2 ^がと

れて、さらに

a₃ → +0, b₃ → +∞, a₄ → +0, b₄ → π

2 − 0

=⇒ a₁ → +0, b₁ → +∞, a₂ → +0, b₂ → +∞

=⇒ a^′₃ → +0, b^′₃ → +∞, a^′₄ → +0, b^′₄ → π

2 − 0

を満たすので、

= 4 lim

a₃→+0 lim

b₃→+∞ lim

a₄→+0 lim

b₄→π/2−0

Z b₄ a₄

Z b₃

a₃ e^−r2(r cosθ)^2x−1(r sin θ)^2y−1rdrdθ

= 4 lim

a₃→+0 lim

b₃→+∞ lim

a₄→+0 lim

b₄→π/2−0

Z b₄ a₄

Z b₃

a₃ e^−r2r^2x+2y−1 cos^2x−1 θ sin^2y−1 θdrdθ

= 4 lim

a₃→+0 lim

b₃→+∞

Z b₃

a₃ e^−r2r^2(x+y)−1dr

× lim

a₄→+0 lim

b₄→π/2−0

Z b₄

a₄ cos^2x−1 θ sin^2y−1 θdθ

= 4 ^{Z +∞}

0 e^−r2r^2(x+y)−1dr ^{Z π/2}

0 cos^2x−1 θ sin^2y−1 θdθ

= Γ(x + y)B(x, y)