解析 II ・講義ノート

解析 II ^{・講義ノート}

 

第９回

(2020^年12^月 8^日(^火)^配信分)

§9.

陰関数の微分と条件付き極値問題

 この講義では、関数の定義域としてまず、実数直線

R

^または区

間から、平面

R²

^{またはその部分領域に}

(

さらにより高次元の空間

Rⁿ

^に

)

扱う範囲を広げ、極値問題まで考えて来ました。

 しかし、例えば最初に例として挙げたように、地球の表面にお ける温度の分布などは、定義域は実は平面ではなく球面です。

 より一般に、極値問題を考えるには、例えば平面内の曲線上に

限定して、また空間内の曲線や曲面上に限定して、その中での極

値を探す場合も視野に入れておくべきでしょう。このような問題

を、より広い範囲で定義された関数の、ある制約条件の下での極

値問題と捉えて、条件付き極値問題と呼びます。

 例えば、

2

^変数関数

f(x, y)

の原点中心の単位円周上での極値を 求める問題は、条件

x² + y² = 1

^{の下での極値問題、}

3

^変数関数

f(x, y, z)

の原点中心の単位球面上での極値を求める問題は、条件

x² + y² + z² = 1

の下での極値問題と考えられます。

 これらの問題はもちろん、たとえば単位円周をいくつかの部分 に分け、

y = ±√

1 − x², x = ±^√1 − y²

と表して、

1

^変数関数

f(x, ±√

1 − x²), f(±^√1 − y², y)

の極値問題として解き、得られた結果を合わせて判定すると言う

考え方もありますが、与えられた条件によっては、円周のように

部分的にでも

y

^を

x

^{の、または}

x

^を

y

の関数として具体的に表

すのが困難な場合の方が一般的です。

 そこで、このような具体的には書けない隠れた関数

(

^{陰関数と言}

います

)

の微分に留意して、いつでも適用できる他の方法を考え る必要があります。それがラグランジュの未定乗数法と呼ばれる ものです。

 まず陰関数の微分から始めましょう。平面

R²

^上の曲線

C

^が、

ある

C¹

^級の

2

^変数関数

g(x, y)

^によって

g(x, y) = 0

^{と表されて}

いるとしましょう。例えば原点中心の単位円周なら

g(x, y) = x² + y² − 1

ととればよいわけです。

 さて、この曲線

C

が、全体でなくてよいので、部分的にでも

y = φ(x)

^{と表されたとすると、}

g(x, φ(x)) = 0

^が

φ(x)

^の定義域

にある全ての

x

について成り立ちます。このような

φ(x) (

^陰関

数

)

が、どのようなときに存在して、どの程度微分可能かと言うこ

とは、陰関数定理が保障してくれるのですが、とりあえずその話

は後回しにして、微分可能であることは認めましょう。

 すると、

g(x, φ(x)) = 0

の両辺が、合成関数の微分の公式を用 いて微分できて、

g_x(x, φ(x)) + g_y(x, φ(x))φ^′(x) = 0

(^{左辺第１項は、}g_x(x, y) ^に y = φ(x) を代入したと言う意味で、_x は φ(x) ^に は係りません。）

が成り立つので、陰関数

φ(x)

の微分を与える公式として、

φ^′(x) = −g_x(x, φ(x)) g_y(x, φ(x))

を得ます。つまり、陰関数そのものは具体的に表せていなくても、

その微分はわかると言うことです。ここで分母の

g_y

^が

0

^の点で

はこの公式は使えませんが、逆に、陰関数定理において陰関数の

存在を保証する条件が、実は

g_y(x, y) ̸= 0

^{と言うことなのです。}

 同様に曲線

C

^が、

x = ψ(y)

と表されるところでは、

g(ψ(y), y) = 0

^が

ψ(y) (

^陰関数

)

^{の定義域にある全ての}

y

^について

成り立ち、両辺を微分すると、

g_x(ψ(y), y)ψ^′(y) + g_y(ψ(y), y) = 0

(^{左辺第２項は、}g_y(x, y) ^に x = ψ(y) を代入したと言う意味で、_y は ψ(y) ^に は係りません。）

が成り立つので、

ψ^′(y) = −g_y(ψ(y), y) g_x(ψ(y), y)

を得ます。この場合には、

g_x(x, y) ̸= 0

と言う条件が、陰関数の存

在を保証しています。

 その主張を、ここできちんと書いておくと、

C^k

^級の

2

^変数関

数

g(x, y)

^{において、}

g(x, y) = 0

^{を満たす点}

(x, y)

^に対し、

(1) g_y(x, y) ̸= 0

ならば、その点の近くでは

g(x, φ(x)) = 0

^を満た

す

C^k

^級関数

y = φ(x)

^{が唯一つ存在する。}

(2) g_x(x, y) ̸= 0

ならば、その点の近くでは

g(ψ(y), y) = 0

^を満た

す

C^k

^級関数

x = ψ(y)

^{が唯一つ存在する。}

つまり

C^k

^級の

1

変数関数のグラフとして表すことができると言 うものです。

 例えば、最初に挙げた例で言うと、

C^∞

^級の

2

^変数関数

g(x, y) = x² + y² − 1

^に対し、

g(x, y) = 0

^{は原点中心の単位円周}

ですが、

g_y(x, y) = 2y ̸= 0

^の所では

y = ±√

1 − x², g_x(x, y) = 2x ̸= 0

^の所では

x = ±√

1 − y²

^と

C^∞

^級の

1

^変数関数

のグラフとして表せ、条件を満たす点においては、その点を通る

と言う条件の下に、複号は唯一つに定まると言うわけです。

 陰関数定理の証明には、逆写像定理同様、精密な議論が必要な ので、やはり二年次専門科目の解析学

I,II

^{に委ねます。}

 ただし、陰関数定理が証明できれば、逆写像定理をそこから導くのは簡単で す。例えば R⁴ (^の領域)^から R^{2 への写像}G(x, y) (x, y ∈ R²) ^{については、}

G(x, y) = 0 ^{を満たす点} (x, y) ∈ R^{4 に対し、ヤコビ行列} J G(x, y) ^の内、

x = (x₁, x₂) ^{に関する偏微分が作る}2 ^{次の小行列式が} 0 ^{でなければ、その点の} 近くではG(ψ(y), y) = 0 ^{を満たす写像}x = ψ(y) が唯一つ存在すると言うの が、陰関数定理の主張(^の一つ)^です。

 ここで R² (^の領域)^から R^{2 への写像}y = f(x) ^のx = x₀ ^{におけるヤコビ} 行列式detJ f(x₀) ^が 0 ^{でなければ、}R⁴ (^の領域)^から R^{2 への写像}

F(x, y) = f(x) − y ^の(x, y) = (x₀, f(x₀)) ^{におけるヤコビ行列}

J F(x₀, f(x₀)) = (J f(x₀), −E₂) ( 2 ^行 4 ^列の行列) ^の内、x = (x₁, x₂) ^に関す る偏微分が作る2 ^{次の小行列}(^前の 2 ^列) ^はJ f(x₀) そのものですから、仮定よ りその行列式は 0 でないので、陰関数定理よりF(ψ(y), y) = 0 ^{を満たす写像} x = ψ(y) ^が(x, y) = (x₀, f(x₀)) の近くで存在します。これはすなわち

f(ψ(y)) − y = 0 を満たすわけですから、正にy = f(x) ^{の逆写像になってい} ます。

 ここで、条件

g(x, y) = 0

^の下で

(

^{つまり曲線}

C

^上で

) 2

^変数関

数

f(x, y)

の極値問題を考えて見ましょう。

C

^{上の各点で}

grad g(x, y) ̸= 0 (

^つまり

g_x(x, y)

^と

g_y(x, y)

^{の少なくとも一方は}

0

^{でないこと}

)

^{は仮定しておきます。}

(^{直観的に言うと、}C の近くで等高線が綺麗に並ぶようなg(x, y) ^{を選ぶと言う} ことです。)

 今

g_y(x, y) ̸= 0

^で、

C

^が

y = φ(x)

^{と表される範囲で}

f(x, y)

^が

極値をとるならば

d

dxf(x, φ(x)) = 0

が成り立つはずです。ここで与式左辺は

d

dxf(x, φ(x)) = f_x(x, φ(x)) + f_y(x, φ(x))φ^′(x)

= f_x(x, φ(x)) − f_y(x, φ(x))g_x(x, φ(x)) g_y(x, φ(x))

= f_x(x, φ(x)) − g_x(x, φ(x))f_y(x, φ(x)) g_y(x, φ(x))

より、

g_x(x, φ(x)) ̸= 0

^ならば

f_x(x, φ(x))

g_x(x, φ(x)) = f_y(x, φ(x)) g_y(x, φ(x))

を得ます。

(

^一方

g_x(x, φ(x)) = 0

^ならば

f_x(x, φ(x)) = 0

^です。

)

 また

g_x(x, y) ̸= 0

^で、

C

^が

x = ψ(y)

^{と表される範囲で}

f(x, y)

が極値をとるならば

d

dyf(ψ(y), y) = 0

が成り立つはずです。ここで与式左辺は

d

dyf(ψ(y), y) = f_x(ψ(y), y)ψ^′(y) + f_y(ψ(y), y)

= f_y(ψ(y), y) − f_x(ψ(y), y)g_y(ψ(y), y) g_x(ψ(y), y)

= f_y(ψ(y), y) − g_y(ψ(y), y)f_x(ψ(y), y) g_x(ψ(y), y)

より、

g_y(x, φ(x)) ̸= 0

^ならば

f_y(ψ(y), y)

g_y(ψ(y), y) = f_x(ψ(y), y) g_x(ψ(y), y)

を得ます。

(

^一方

g_y(x, φ(x)) = 0

^ならば

f_y(x, φ(x)) = 0

^です。

)

 いずれにせよ、極値をとる点では

f_x(x, y)

g_x(x, y) = f_y(x, y) g_y(x, y)

(

^または

g_x(x, y) = f_x(x, y) = 0

^または

g_y(x, y) = f_y(x, y) = 0 )

^が

成り立つ、すなわち

grad f

^と

grad g

が平行であると言うこと です。

 これは

f

^と

g

の等高線が接すると言っても同じです。これが意 味することは、

g

^の高さ

0

の等高線に沿って進むとき、

f

^の値が

極大

(

^小

)

^{になるところでは、}

f

のある等高線に接して、その等高

線を超えることなく、低

(

^高

)

い方へ戻るような動きになると言う

ことです。

 滑らかな斜面を滑らかな動きで上り下りするとき、斜面の途中 まで上って下るには、途中で一瞬だけ斜面の向きに直交して

(

^つま

り右が上、左が下、またはその逆

)

ちょうど等高線に沿う水平な 道

(

山肌を縫う高低差の無い道路を思い浮かべて下さい

)

^と同じ方

向を向くところがあると言うことで、それを数式で表したのが上

の等式です。

0

x- 6

y ·

·

［f(x, y) = x+y ^{の等高線］}

f → +∞ f = 0

f → −∞ f = 0

●

◦

○：道, ^{●：最高点}, ◦^：最低点

0 -

x y 6

·

［f(x, y) = −x² −y^{2 の等高線］}

f → −∞

f → −∞

f → −∞ f → −∞

f = 0(山頂)

●

＼：道, ^{●：最高点}

 ここで上の比を

λ

で置き換えてやると、極値をとる点では

f_x(x, y) − λg_x(x, y) = 0 f_y(x, y) − λg_y(x, y) = 0

−g(x, y) = 0

が成り立つことになります。これは、

3

^変数関数

F(x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y)

の

3

^{個の偏微分が同時に}

0

になることと同値な条件になっていま す。そこで、条件

g(x, y) = 0

^の下での

f(x, y)

^{の極値問題は、}

F(x, y, λ)

の極値問題に置き換えて考えてもよいことになります。

この方法を、ラグランジュの未定乗数法

(

^{未定係数法とも言いま}

す

)

と呼びます。新たに付け加えた

λ

^{が未定乗数です。}

 もちろん、この方法で解くときにも、本当に極値をとるのかど

うかは、判定が必要です。曲線上の問題の場合は、隣同士の極値

候補の値を比較することで、増減表を書くときのように、隣同士

の増減が決定されるので、判定は容易です。曲面上の問題の場合

には、さらに陰関数の

2

^回微分

( g(x, y)

^が

C²

^{級ならば陰関数も}

C²

^{級になります}

)

を調べるなどする必要があるでしょう。

 簡単な例題として、

f(x, y) = ax² + cy² (

^ただし

a < c

^とする

)

の条件

x² + y² = 1

の下での極値問題を考えてみましょう。

F(x, y, λ) = ax² + cy² − λ(x² + y² − 1)

とおくと、

F_x = 2ax − 2λx = 0 F_y = 2cy − 2λy = 0 F_λ = −x² − y² + 1 = 0

より

2(a − λ)x = 0 2(c − λ)y = 0 x² + y² = 1

ですから、

(1) λ = a

^かつ

λ = c (2) λ = a

^かつ

y = 0 (3) x = 0

^かつ

λ = c (4) x = 0

^かつ

y = 0

のいずれかでなければなりませんが、仮定より

a < c

^なので

(1)

は無く、

(x, y) = (0, 0)

^は

x² + y² = 1

^{をみたさないので}

(4)

^もあ

りません。従って、極値をとるならば

(2)

^か

(3)

^{のどちらかで、}

(2) (x, y) = (1, 0), (−1, 0) (3) (x, y) = (0, 1), (0, −1)

のどこかと言うことになります。

 ここで、単位円周

x² + y² = 1

上を左回りの順に値を眺めると、

f(1, 0) = a, f(0, 1) = c, f(−1, 0) = a, f(0, −1) = c

となり、隣同士を結ぶ円弧の上では、極値をとらないので、この 関数の値は単調増加か単調減少のいずれかしかありえません。こ こで

a < c

^{ですから、}

(x, y) = (1, 0)

から始めて、増加、減少、増 加、減少、で一周するので、

極大値

f(0, 1) = c, f(0, −1) = c

極小値

f(1, 0) = a, f(−1, 0) = a

とわかります。

0

x- 6

y

·

［f(x, y) = ax²+cy^{2 の等高線］}

f(x, y) = a f(x, y) = c

●

●

◦

◦ 1

1

−1

−1

I

R

○：円周 C, ^{●：極大点}, ◦^：極小点

 ここで単位円周は閉曲線であり、かつこれら以外に極値をとる

点が無いことから、

a

^{が最小値、}

c

が最大値であることもわかり

ます。

 もっとも、単位円周には

(x, y) = (cos t, sin t)

^{と言う、とてもわ}

かりやすいパラメーター表示がありますから、未定乗数法を用い なくても、

f(cos t, sint) = a cos² t + c sin² t

の増減を調べた方が早いと言う人も多いでしょう。ここで挙げた のは、あくまでもより複雑な場合を扱うためのモデルケースと 思って、他の方法はとりあえず封印して、眺めてもらえればと思 います。

[

^練習課題

]



f(x, y) = 2bxy (

^ただし

b > 0

^とする

)

^の条件

x² + y² = 1

の下での極値を、未定乗数法を用いて求めてみま

しょう。

 もう一つ例を見てみましょう。

f(x, y) = x²y − y

^の条件

x² + y² = 1

の下での極値問題です。

F(x, y, λ) = x²y − y − λ(x² + y² − 1)

とおくと、

F_x = 2xy − 2λx = 0 F_y = x² − 1 − 2λy = 0 F_λ = −x² − y² + 1 = 0

より

2(y − λ)x = 0 x² − 2λy = 1 x² + y² = 1

(y + 2λ)y = 0 (

^{第３式ー第２式}

)

ですから

(1) y = λ

^かつ

y = −2λ (2) y = λ

^かつ

y = 0 (3) x = 0

^かつ

y = −2λ (4) x = 0

^かつ

y = 0

のいずれかでなければなりませんが、

(x, y) = (0, 0)

^は

x² + y² = 1

^{をみたさないので}

(4)

^{はありません。}

 

(1)

^は

λ = 0

^{より、第４式から}

y² = 0

^{を導くので、}

(2)

^と同じ

条件になりますから、結局、極値をとるならば

(2)

^か

(3)

^のどち

らかで、

(2) (x, y) = (1, 0), (−1, 0) (3) (x, y) = (0, 1), (0, −1)

のどこかと言うことになります。ここで、単位円周

x² + y² = 1

^上

を左回りの順に値を眺めると、

f(1, 0) = 0, f(0, 1) = −1, f(−1, 0) = 0, f(0, −1) = 1

となり、隣同士を結ぶ円弧の上では、極値をとらないので、この 関数の値は単調増加か単調減少のいずれかしかありえません。

(x, y) = (1, 0)

から始めて、減少、増加、増加、減少、で一周する

ので、

(x, y) = (1, 0), (−1, 0)

では実は極値はとらず、極大値

(

^最大

値

) f(0, −1) = 1,

^極小値

(

^最小値

) f(0, 1) = −1

^{とわかります。}

 ただ、これだけでは陰関数であると言うだけで、本質的には

1

変数関数の増減を調べているだけですから、陰関数が

2

^変数にな

る場合も、見ておきましょう。

3

^変数関数

f(x, y, z)

^の条件

g(x, y, z) = 0

の下での極値問題です。

 以下ラグランジュの未定乗数法の導き方について、ほぼ同様の

手順を繰り返しますが、面倒な人は、とりあえず結論までの途中

は飛ばして、例題を眺めてもらっても構いません。

 まず陰関数の微分から始めましょう。

3

^次元空間

R³

^内の曲面

F

^が、ある

C²

^級の

3

^変数関数

g(x, y, z)

^によって

g(x, y, z) = 0

と表されているとしましょう。例えば原点中心の単位球面なら

g(x, y, z) = x² + y² + z³ − 1

ととればよいわけです。

 さて、この曲面

F

が、全体でなくてよいので、部分的にでも

z = φ(x, y)

^{と表されたとすると、}

g(x, y, φ(x, y)) = 0

^が

φ(x, y)

の定義域にある全ての

(x, y)

について成り立ちます。このような

φ(x, y)

の、存在や微分可能性については、とりあえず認めましょ

う。すると、

g(x, y, φ(x, y)) = 0

の両辺が、合成関数の微分の公

式を用いて偏微分できて、

g_x(x, y, φ(x, y)) + g_z(x, y, φ(x, y))φ_x(x, y) = 0 g_y(x, y, φ(x, y)) + g_z(x, y, φ(x, y))φ_y(x, y) = 0

が成り立つので、陰関数

φ(x, y)

の偏微分を与える公式として、

φ_x(x, y) = −g_x(x, y, φ(x, y)) g_z(x, y, φ(x, y)) φ_y(x, y) = −g_y(x, y, φ(x, y)) g_z(x, y, φ(x, y))

を得ます。ここで、陰関数定理において陰関数の存在を保証する

条件は、

g_z(x, y, z) ̸= 0

^です。

 ここで、条件

g(x, y, z) = 0

^の下で

(

^{つまり曲面}

F

^上で

) 3

^変数

関数

f(x, y, z)

の極値問題を考えて見ましょう。

F

^{上の各点で}

grad g(x, y, z) ̸= 0 (

^つまり

g_x(x, y, z), g_y(x, y, z), g_z(x, y, z)

^の内、

少なくとも一つは

0

^{でないこと}

)

^{は仮定しておきます。}

 今

g_z(x, y, z) ̸= 0

^で、

F

^が

z = φ(x, y)

^{と表される範囲で}

f(x, y, z)

^{が極値をとるならば}

∂

∂xf(x, y, φ(x, y)) = ∂

∂yf(x, y, φ(x, y)) = 0

が成り立つはずです。ここで与式左辺は

∂

∂xf(x, y, φ(x, y)) = f_x(x, y, φ(x, y)) + f_z(x, y, φ(x, y))φ_x(x)

= f_x(x, y, φ(x, y)) − f_z(x, y, φ(x, y))g_x(x, y, φ(x, y)) g_z(x, y, φ(x, y))

= f_x(x, y, φ(x, y)) − g_x(x, y, φ(x, y))f_z(x, y, φ(x, y)) g_z(x, y, φ(x, y))

中辺は

∂

∂yf(x, y, φ(x, y)) = f_y(x, y, φ(x, y)) + f_z(x, y, φ(x, y))φ_y(x)

= f_y(x, y, φ(x, y)) − f_z(x, y, φ(x, y))g_y(x, y, φ(x, y)) g_z(x, y, φ(x, y))

= f_y(x, y, φ(x, y)) − g_y(x, y, φ(x, y))f_z(x, y, φ(x, y)) g_z(x, y, φ(x, y))

より、

g_x(x, y, φ(x, y)) ̸= 0

^かつ

g_y(x, y, φ(x, y)) ̸= 0

^ならば

f_x(x, y, φ(x, y))

g_x(x, y, φ(x, y)) = f_y(x, y, φ(x, y))

g_y(x, y, φ(x, y)) = f_z(x, y, φ(x, y)) g_z(x, y, φ(x, y))

を得ます。

(

^一方

g_x(x, y, φ(x, y)) = 0

^ならば

f_x(x, y, φ(x, y)) = 0, g_y(x, y, φ(x, y)) = 0

^ならば

f_y(x, y, φ(x, y)) = 0

^です。

)

^これは

y

が

(x, z)

^{の関数で、}

x

^が

(y, z)

の関数で、表されるところでも全

く同様で、いずれにせよ、極値をとる点では

f_x(x, y, z)

g_x(x, y, z) = f_y(x, y, z)

g_y(x, y, z) = f_z(x, y, z) g_z(x, y, z)

(

^または

g_x = f_x = 0, g_y = f_y = 0, g_z = f_z = 0

^{の内の一つか二つ}

)

が成り立つ、すなわち

grad f = (f_x, f_y, f_z)

^と

grad g = (g_x, g_y, g_z)

が平行であると言うことです。これは

f

^と

g

^{の等高面が接すると}

言っても同じです。

 ここで上の比を

λ

で置き換えてやると、極値をとる点では

f_x(x, y, z) − λg_x(x, y, z) = 0 f_y(x, y, z) − λg_y(x, y, z) = 0 f_z(x, y, z) − λg_z(x, y, z) = 0

−g(x, y, z) = 0

が成り立つことになります。

 これは、

4

^変数関数

F(x, y, z, λ) = f(x, y, z) − λg(x, y, z)

の

4

^{個の偏微分が同時に}

0

になることと同値な条件になっていま す。そこで、条件

g(x, y, z) = 0

^の下での

f(x, y, z)

^{の極値問題}

は、

F(x, y, z, λ)

の極値問題に置き換えて考えてもよいことにな

ります。

 芸がありませんが、簡単な例題として、

f(x, y, z) = ax² + by² + cz² (

^ただし

a < b < c

^とする

)

^の条件

x² + y² + z² = 1

の下での極値問題を考えてみましょう。

F(x, y, z, λ) = ax² + by² + cz² − λ(x² + y² + z² − 1)

とおくと、

F_x = 2ax − 2λx = 0 F_y = 2by − 2λy = 0 F_z = 2cz − 2λz = 0

F_λ = −x² − y² − z² + 1 = 0

より

2(a − λ)x = 0 2(b − λ)y = 0 2(c − λ)z = 0 x² + y² + z² = 1

ですが、以前の教訓を生かして考えると、

λ

^{は二つ以上選べない、}

原点は条件を満たさないと言うことから

(1) λ = a

^かつ

y = z = 0 (2) λ = b

^かつ

x = z = 0 (3) λ = c

^かつ

x = y = 0

のいずれかでなければならず、

(1) (x, y, z) = (1, 0, 0), (−1, 0, 0) (2) (x, y, z) = (0, 1, 0), (0, −1, 0) (3) (x, y, z) = (0, 0, 1), (0, 0, −1)

のどこかと言うことになります。そこでの値はそれぞれ、

f(1, 0, 0) = f(−1, 0, 0) = a, f(0, 1, 0) = f(0, −1, 0) = b, f(0, 0, 1) = f(0, 0, −1) = c

となります。

 ここで

a < b < c

で、これら以外に極値をとる点が無いことか

ら、

a

^{が最小値、}

c

が最大値であることはわかります。ただし、こ れは球面が閉じた曲面だから言えることで、境界

(

^{閉区間の端点の}

ようなもの

)

がある曲面では、この論理は通用しません。

 さて、それでは

b

は極値なのでしょうか？

 陰関数の

2

回偏微分を頑張って求めるのも一つの手ですが、面 倒なので、ここでは楽な方法で判定しておきましょう。

 

2

^点

(0, 1, 0), (0, −1, 0)

と結ぶ単位球面上の曲線として、最小 値もそこで実現する

xy

^平面

z = 0

による断面を考えると単位円 周

x² + y²(+0²) = 1

^{が得られ、そこでの}

f

^の値は

f(x, y, 0) = ax² + by² (a < b)

ですから、この円周上では

b

^は最大

値です。

 一方、最大値もそこで実現する

yz

^平面

x = 0

^{による断面を考}

えると単位円周

(0²+)y² + z² = 1

^{が得られ、そこでの}

f

^の値は

f(0, y, z) = by² + cz² (b < c)

ですから、この円周上では

b

^は最小

値です。

 つまり、

f

^{の値は、点}

(0, 1, 0), (0, −1, 0)

^から、

xy

^{平面による}

断面に沿って進むと減少し、

yz

平面による断面に沿って進むと増

加するので、ここでは極値をとりません。

0 - x y z 6

−1 1

1

−1 1

−1

●：最大点, ◦^：最小点

- s

k

? 6

^

]

●

●

◦

◦

×

×

 一般にはこのような断面は簡単には見当がつくとは限りませ ん。最大値や最小値をとる点と断面で結ぶのがよいとは限らない からです。適当にとれば上手く行くこともありますが、それでも、

極値にならない場合にしか、判定できません。二つの方向に増え ても極小

(

^{減っても極大}

)

とは言えないからです。それを確実に示 そうとすれば、

2

回或いはさらに高次の偏微分を計算するのが、

近道ではないにせよ、有力な方法と言えるでしょう。

第８回練習課題の解答

 関数

f(x, y) = x²y − y + 1

3y³

がどこかで極値をとるならば、そ こでは

f_x(x, y) = 2xy = 0

f_y(x, y) = x² + y² − 1 = 0

が成り立たなければなりません。第１式より

x = 0

^または

y = 0

で、これを第２式に代入して

y = ±1

^または

x = ±1

^{を得ます。}

従って、極値を取る点の候補は

(x, y) = (0, ±1), (±1, 0)

^です。こ

こで

f_xx = 2y, f_xy = 2x, f_yy = 2y

より、

(x, y) = (0, ±1)

^では

f_xx(0, ±1) = ±2, f_xy(0, ±1) = 0, f_yy(0, ±1) = ±2

ですから、

f_xx(0, ±1)f_yy(0, ±1) − f_xy(0, ±1)² = 4 > 0

より、極値をとり、特に

f_xx(0, 1) = 2 > 0

^より

(x, y) = (0, 1)

^では

極小値

f(0, 1) = −2

3

^に、また

f_xx(0, −1) = −2 > 0

^より

(x, y) = (0, −1)

^{では極大値}

f(0, −1) = 2

3

^{になります。}

 一方

(x, y) = (±1, 0)

^では

f_xx(±1, 0) = 0, f_xy(±1, 0) = ±2, f_yy(±1, 0) = 0

ですから、

f_xx(±1, 0)f_yy(±1, 0) − f_xy(±1, 0)² = −4 < 0

より、極値はとらないことがわかります。