練習問題 204A 解答例

練習問題204A解答例 1. 以下の関数f(x, y)について，2階の偏導関数

f_xx(x, y), f_xy(x, y), f_yx(x, y), f_yy(x, y)をもとめなさい．

(1) f(x, y) =x³y⁴

fx(x, y) = 3x²y⁴, fy(x, y) = 4x³y³. fxx(x, y) = 6xy⁴, fxy(x, y) = 12x²y³ f_yx(x, y) = 12x²y³, f_yy(x, y) = 12x³y² f xy(x, y) =fyx(x, y)となっている．

(2) f(x, y) =x²+y³ −xy²

f_x(x, y) = 2x−y², f_y(x, y) = 3y²−2xy.

fxx(x, y) = 2, fxy(x, y) =−2y fyx(x, y) =−2y, fyy(x, y) = 6y−2x f xy(x, y) =f_yx(x, y)となっている．

(3) f(x, y) =xexp(xy)

fx(x, y) = (1 +xy) exp(xy), fy(x, y) =x²exp(xy).

f_xx(x, y) = (2 +xy)yexp(xy), f_xy(x, y) = (2 +xy)xexp(xy) f_yx(x, y) = (2 +xy)xexp(xy), f_yy(x, y) =x³exp(xy)

f xy(x, y) =fyx(x, y)となっている．

(4) f(x, y) = x y²+ 1 fx(x, y) = 1

y²+ 1, fy(x, y) =− 2xy (y²+ 1)². fxx(x, y) = 0, fxy(x, y) =− 2y

(y²+ 1)² f_yx(x, y) =− 2y

(y²+ 1)², f_yy(x, y) = 2x(3y²−1) (y² + 1)³ f xy(x, y) =f_yx(x, y)となっている．

(5) f(x, y) = (x−2xy)²

fx(x, y) = 2(1−2y)(x−2xy), fy(x, y) =−4x(x−2xy).

f_xx(x, y) = 2(1−2y)², f_xy(x, y) = 8x(2y−1) f_yx(x, y) = 8x(2y−1), f_yy(x, y) = 8x²

f xy(x, y) =fyx(x, y)となっている．

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2. 以下の関数f(x, y)が極値をとる可能性がある点をもとめなさい．

(1) f(x, y) =x²+ 4y²−4x+ 8y+ 10 f_x(x, y) = 2x−4, f_y(x, y) = 8y+ 8． fx(x, y) = 0, fy(x, y) = 0として x= 2, y=−1．

(x, y) = (2,−1)で極値をとる可能性がある．

(2) f(x, y) =x⁴−2x²+y²+ 15

fx(x, y) = 4x³−4x, fy(x, y) = 2y． f_x(x, y) = 0, f_y(x, y) = 0として x=−1,0,1, y= 0．

(x, y) = (−1,0),(0,0),(1,0)で極値をとる可能性がある．

(3) f(x, y) =x³+x²y+y²

fx(x, y) = 3x²+ 2xy, fy(x, y) =x²+ 2y． fx(x, y) = 0, fy(x, y) = 0とする．

3x²+ 2xy= 0 (1)

x²+ 2y= 0 (2)

(2)より2y=−x² であるから，これを(1)に代入して 3x²−x³ =x²(3−x) = 0．

x= 0,3.

x= 0のときy = 0．x = 3のときy =−9 2^．

(x, y) = (0,0),(3,−9/2)で極値をとる可能性がある．

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