練習問題 204B 解答例

練習問題204B解答例

1. 以下の関数f(x, y)が極値を調べなさい．

(1) f(x, y) =x²+ 4y²−4x+ 8y+ 10 f_x(x, y) = 2x−4, f_y(x, y) = 8y+ 8． fx(x, y) = 0, fy(x, y) = 0として x= 2, y=−1．

(x, y) = (2,−1)で極値をとる可能性がある(練習問題204A）．

f_xx(x, y) = 2, f_xy(x, y) = 0 f_yx(x, y) = 0, f_yy(x, y) = 8

D(x, y) =fxx(x, y)fxy(x, y)− {fxy(x, y)}= 16.

fxx(2,−1) = 2 >0, D(2,−1) = 16 >0．であるから，(x, y) = (2,−1)で極 小値f(2,−1) = 2をとる．

-1 0

1 2

3 4 x

-3 -2

-1 0 y 1

0 10 20 z

-1 0

1 2 x 3 -3

-2 -1

0 y 1

図1 問い1

(2) f(x, y) =x⁴−2x²+y²+ 15 f_x(x, y) = 0, f_y(x, y) = 0として x=−1,0,1, y= 0．

(x, y) = (−1,0),(0,0),(1,0)で極値をとる可能性がある(練習問題204A）．

1

f_xx(x, y) = 12x²−4, f_xy(x, y) = 0 f_yx(x, y) = 0, f_yy(x, y) = 2

D(x, y) =fxx(x, y)fxy(x, y)− {fxy(x, y)}= 8(3x²−1).

(x, y) = (−1,0)のとき

f_xx(−1,0) = 8,D(−1,0) = 16なので極小値f(−1,0) = 14をとる．

(x, y) = (0,0)のとき

fxx(0,0) =−4,D(−1,0) =−8なので極値をとらない．

(x, y) = (1,0)のとき

fxx(1,0) = 8,D(1,0) = 16なので極小値f(1,0) = 14をとる．

-1

0 x 1 -1

-0.5 0

0.5 y 1

14 15 16 z

-1

0 x 1 -1

-0.5 0

0.5 y 1

図2 問い2

(3) f(x, y) =x³+x²y+y²

fx(x, y) = 3x²+ 2xy, fy(x, y) =x²+ 2y． f_x(x, y) = 0, f_y(x, y) = 0とする．

3x²+ 2xy= 0 (1)

x²+ 2y= 0 (2)

2

(2)より2y=−x² であるから，これを(1)に代入して 3x²−x³ =x²(3−x) = 0．

x= 0,3.

x= 0のときy = 0．x = 3のときy =−9 2^．

(x, y) = (0,0),(3,−9/2)で極値をとる可能性がある(練習問題204A）．

fxx(x, y) = 6x+ 2y, fxy(x, y) = 2x fyx(x, y) = 2x, fyy(x, y) = 2

D(x, y) =f_xx(x, y)f_xy(x, y)− {f_xy(x, y)}= 4(3x+y)−4x². (x, y) = (0,0)のとき

fxx(0,0) = 0,D(0,0) = 0なので判定できない．(実際は極小値です．図3を 参照）

(x, y) = (3,−9/2)のとき

fxx(3,−9/2) = 9,D(3,−9/2) =−18なので極値をとらない．

-0.4-0.200.20.4 x

-0.2-0.4 0.20 0.4 y

0 0.2

0.4

z -0.2-0.4 0.20 0.4

2

2.5 3

3.54 -5 x

-4.5 -4 -3.5

-3

y 0

100 200

z

2

2.5 3

3.54 x

図3 問い3

3