指数関数・対数関数
１
次の計算をせよ。ただし，(2)では x＞0， (3)では x＞0，y＞0 とする。 (1) 92× 1 27÷ 3 3 (2) 1 𝑥2÷ √ 1 𝑥3 (3) √𝑥4 3𝑦 × √𝑦 𝑥÷ √ 𝑦3 𝑥 4 (4) √−83 ÷ 40.25解答
(1) 92× 1 27÷ 3 3= 34× 3−3× 3−3= 3−2=𝟏 𝟗 (2) 1 𝑥2÷ √ 1 𝑥3= 𝑥−2÷ 𝑥 −32 = 𝑥−2× 𝑥32= 𝑥−12 = 𝟏 √𝒙 (3) √𝑥4 3𝑦 × √𝑦 𝑥÷ √ 𝑦3 𝑥 4 = (𝑥3𝑦)14× (𝑦𝑥−1) 1 2÷ (𝑦3𝑥−1) 1 4= 𝑥 3 4∙ 𝑦 1 4× 𝑦 1 2∙ 𝑥− 1 2÷ 𝑦 3 4∙ 𝑥− 1 4 = 𝑥34∙ 𝑦 1 4× 𝑦 1 2∙ 𝑥− 1 2× 𝑦− 3 4∙ 𝑥 1 4= 𝑥 3 4− 1 2+ 1 4∙ 𝑦 1 4+ 1 2− 3 4= 𝑥 1 2𝑦0= √𝒙 (4) √−83 = √(−2)3 3 = −2， 40.25= (22)14= 212= √2 よって √−83 ÷ 40.25= (−2) ÷ √2 = −√𝟐２
(1) 𝑥 > 0，𝑥12− 𝑥− 1 2= −2 のとき，𝑥 + 𝑥−1の値を求めよ。 (2) 𝑥 > 0，𝑥13+ 𝑥− 1 3= 3 のとき，𝑥 + 𝑥−1の値を求めよ。 (3) 3x－3－x＝2 のとき，次の値を求めよ。 ① 3x＋3－x ② 3x解答
(1) (𝑥12− 𝑥− 1 2) 2 = (𝑥12) 2 − 2 ∙ 𝑥12∙ 𝑥− 1 2+ (𝑥− 1 2) 2 = 𝑥 − 2 + 𝑥−1 𝑥12− 𝑥− 1 2= −2 から 4 = 𝑥 − 2 + 𝑥−1 よって 𝑥 + 𝑥−1= 𝟔 (2) (𝑥13+ 𝑥− 1 3) 3 = (𝑥13) 3 + 3 ∙ (𝑥13) 2 ∙ 𝑥−13+ 3 ∙ 𝑥 1 3∙ (𝑥− 1 3) 2 + (𝑥−13) 3 = 𝑥 + 3𝑥13+ 3𝑥− 1 3+ 𝑥−1 = 𝑥 + 𝑥−1+ 3 (𝑥13+ 𝑥−13 ) 𝑥13+ 𝑥− 1 3= 3 から 33= 𝑥 + 𝑥−1+ 3 ∙ 3 よって 𝑥 + 𝑥−1= 𝟏𝟖 (3) ① (3x－3－x)2＝(3x )2－2∙3x∙(3－x )＋(3－x)2＝32x－2＋3－2x＝32x＋3－2x－2 ここで，3x－3－x＝2 から 22＝32x＋3－2x－2 よって 32x＋3－2x＝6 また，(3x＋3－x )2＝32x＋3－2x＋2 から (3x＋3－x )2＝6＋2＝8 ここで，3x＞0，3－x＞0 であるから 3x＋3－x＞0 よって 3x＋3－x＝2√𝟐 ② 3x－3－x＝2， 3x＋3－x＝2√2 から 3x＝1＋√𝟐３
次の関数のグラフをかき，y＝3xとの位置関係を答えよ。 (1) 𝑦 = 3𝑥+1 (2) 𝑦 = − (1 3) 𝑥解答
(1) f (x)＝3xとすると，3x＋1＝f (x＋1)である ので，y＝3x＋1のグラフは y＝3xのグラフ を x 軸方向に－1 だけ平行移動したグラフ である。 (2) f (x)＝3xとする。 − (1 3) 𝑥 = −(3−1)𝑥= −3−𝑥= −𝑓(−𝑥) であるので，𝒚 = − (𝟏 𝟑) 𝒙 のグラフは𝒚 = 𝟑𝒙の グラフを原点に関して対称移動したグラフ である。 1 y＝3x －1 3 y＝3x＋1 1 y＝3x －1 1 −1 3 𝑦 = − (1 3) 𝑥４
(1) 次の 3 数の大小を比較せよ。 √2 4 √2 6 ， √2 √4 5 ， √2 6 √2 10 (2) 次の 2 数の大小を比較せよ。 √2， √65解答
(1) √2 4 √2 6 = 214 216 = 214− 1 6= 2 3−2 12 = 2 1 12， √2 √4 5 = 212 225 = 212− 2 5= 2 5−4 10 = 2 1 10， √2 6 √2 10 = 216 2101 = 216− 1 10= 2 5−3 30 = 2 1 15 底 2 は 1 より大きく，指数の大小は， 1 15< 1 12< 1 10であるから 2 1 15< 2 1 12< 2 1 10 すなわち √𝟐 𝟔 √𝟐 𝟏𝟎 < √𝟐 𝟒 √𝟐 𝟔 < √𝟐 √𝟒 𝟓 (2) √2， √65 のそれぞれを 10 乗すると (√2)10= (212) 10 = 25= 32， (√65 )10= (615) 10 = 62= 36 32 < 36 であるから √𝟐 < √𝟔𝟓５
次の方程式，不等式を解け。 (1) 4𝑥−1= 2√2 (2) 4𝑥−1≧ 2√2 (3) (1 9) 𝑥 < 1 √3 (4) 8 𝑥− 2𝑥+2= 0解答
(1) 4𝑥−1= (22)𝑥−1= 22𝑥−2， 2√2 = 21∙ 212= 21+12 = 232より 22𝑥−2= 2 3 2 よって 2𝑥 − 2 =3 2 したがって 𝒙 = 𝟕 𝟒 (2) (1)より 22𝑥−2≧ 232 底 2 は 1 より大きいから 2𝑥 − 2 ≧3 2 したがって 𝒙 ≧ 𝟕 𝟒 (3) 底を 3 にそろえる。 (1 9) 𝑥 = (3−2)𝑥= 3−2𝑥， 1 √3= 3 −12 よって 3−2𝑥 < 3−12 底 3 は 1 より大きいから − 2𝑥 < −1 2 したがって 𝒙 > 𝟏 𝟒 別解 底を1 3にそろえる。 (1 9) 𝑥 = {(1 3) 2 } 𝑥 = (1 3) 2𝑥 ， 1 √3= √ 1 3= ( 1 3) 1 2 よって (1 3) 2𝑥 < (1 3) 1 2 底1 3は 1 より小さいから 2𝑥 > 1 2 したがって 𝑥 > 1 4 (4) 8x＝(23)x＝23x＝(2x )3， 2x＋2＝4∙2xより ここで，2x＝t とおくと t＞0 このとき，方程式は t3－4t＝0 t(t＋2)(t－2)＝0 t＞0 であるから t＝2 すなわち 2x＝2 これを解いて x＝1６
(1) 関数 y＝6∙3x－9x＋1における最大値を求めよ。 (2) y＝2(2x＋2－x)＋4x＋4－xとする。2x＋2－x＝t とおくとき，y を t を用いて表せ。 また，関数 y の最小値を求めよ。解答
(1) 3x＝t とおくと t＞0 このとき関数は y＝6∙3x－9x＋1＝－9∙(3x)2＋6∙3x = −9𝑡2+ 6𝑡 = −9 (𝑡 −1 3) 2 + 1 𝑡 > 0 であるから，右のグラフより，𝑡 =1 3のとき最大値 1 をとる。 𝑡 =1 3のとき 3 𝑥=1 3 よって 𝑥 = −1 したがって，この関数は x＝1 のとき最大値 1 をとる。 (2) (2x＋2－x)2＝(2x )2＋2∙2x∙2－x＋(2－x )2＝22x＋2∙2x－x＋2－2x＝(22)x＋2∙20＋(22)－x＝4x＋2＋4－x よって，4x＋4－x＝(2x＋2－x )2－2＝t2－2 と表すことができる。 したがって y＝2(2x＋2－x )＋4x＋4－x＝2t＋(t2－2)＝t2＋2t－2 また，2x＞0，2－x＞0 であるから，相加平均と相乗平均の大小関係により 𝑡 = 2𝑥+ 2−𝑥≧ 2√2𝑥∙ 2−𝑥= 2 ここで y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3 右のグラフより，t＝2 のとき最小値 6 をとる。 ここで t＝2 すなわち 2x＋2－x＝2 を満たす x は 相加平均と相乗平均の大小関係において等号が成立し ているときであるから 2x＝2－x よって x＝－x x＝0 したがって，この関数は x＝0 のとき最小値 6 をとる。 1 1 3 2 3 2 6 －2 －3 －1７
(1) 次の対数の値を求めよ。 ① log2 1 8 ② log3√3 (2) 次の式を簡単にせよ。① log48－log42 ② log128＋log1218 (3) 次の式を簡単にせよ。 ① log√21 4 ② log49 ∙ log38
解答
(1) ① log21 8= log22 −3= −𝟑 ② log3√3 = log33 1 2=𝟏 𝟐 (2) ① log48 − log42 = log48
2= log44 = 𝟏 ② log128＋log1218＝log12144＝log12122＝2
(3) ① 底を 2 に変換する。 log√21 4= log214 log2√2 =log22 −2 log22 1 2 = −21 2 = −𝟒 ② 底を 2 にそろえる。 log49 ∙ log38 = log29 log24 ∙log28 log23 =log23 2 log222 ∙log22 3 log23 =2 log23 2 ∙ 3 log23 = 𝟑 別解 底を 3 にそろえる。 log49 ∙ log38 = log39 log34 ∙ log38 = log332 log322 ∙ log323= 2 2 log32 ∙ 3 log32 = 3
８
log35＝a，log79＝b とするとき，log57 を a，b で表せ。
解答
log57 = log37 log35 =log37 𝑎 ここで，𝑏 = log79 = log39 log37 =log33 2 log37 = 2 log37 であるから log37 = 2 𝑏 よって log57 = 2 𝑏 𝑎 = 𝟐 𝒂𝒃９
次の空欄を埋めよ。
y＝log84(x－1)3のグラフは，y＝log2x のグラフを x 軸方向に
，y 軸方向に
だけ平行移動した グラフである。
解答
底の変換公式を利用して，log84(x－1)3の底を 2 に変換する。 log84(𝑥 − 1)3= log24(𝑥 − 1)3 log28 =log24 + log2(𝑥 − 1) 3 log223 =log22 2+ 3 log 2(𝑥 − 1) 3 = 2 3+ log2(𝑥 − 1)f (x)＝log2x とすると，log2(x－1)＝f (x－1)であるから，y＝log84(x－1)3のグラフは y＝log2x のグラフを 𝑥軸方向に 𝟏 ， 𝑦軸方向に 𝟐
１０
(1) 次の 3 数の大小を比較せよ。 2， log26 ， log1 4 1 27 (2) 次の 2 数の大小を比較せよ。 log23 ， log34解答
(1) 2 = 2 ∙ log22 = log222= log24
log1 4 1 27= log2271 log2 1 4 =log23 −3 log22−2 =−3 log23 −2 = 3 2∙ log23 = log23 3 2= log2√27
底 2 は 1 より大きく，4 < √27 < 6 であるから log24 < log2√27 < log26
すなわち 𝟐 < 𝐥𝐨𝐠𝟏 𝟒 𝟏 𝟐𝟕< 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟔 (2) P＝log23－log34 とおく。 𝑃 = log23 − log24 log23 =(log23) 2− 2 log23
ここで (log23)2− 2 = (log23 + √2)(log23 − √2)
log23 > 0 より 1 log23 > 0， log23 + √2 > 0 であるから， log23 − √2の正負と𝑃の正負が一致する。 ここで，√2 <3 2であるから log23 − √2 > log23 − 3 2= 1 2(2 log23 − 3) = 1 2(log23 2− log 223) = 1 2(log29 − log28) > 0 したがって，P＞0 であるから log23＞log34
１１
(1) 4log2√2の値を求めよ。
(2) 次の方程式を解け。
① log3(𝑥 + 1) = log9(𝑥 + 3) ② (log1 2 𝑥) 2 + log1 2 𝑥2= 0 (3) 次の不等式を解け。 ① log1 3 (𝑥2+ 5) > −2 ② log 2𝑥 + log4(𝑥 + 1) < 1 2
解答
(1) 4log2√2= 𝑥とおき，両辺の 2 を底とする対数をとるとlog24log2√2= log2𝑥 すなわち log2√2 ∙ log24 = log2𝑥
ここで log2√2 ∙ log24 = 2 log2√2 = log2(√2) 2 = log22 よって log22＝log2x したがって x＝2 (2) ① 真数は正であるから x＋1＞0 かつ x＋3＞0 すなわち x＞－1 ……(ⅰ) ここで， log9(𝑥 + 3) = log3(𝑥 + 3) log39 =log3(𝑥 + 3) 2 であるから，方程式の両辺に 2 を掛けると 2log3(x＋1)＝log3(x＋3) すなわち log3(x＋1)2＝log3(x＋3)
よって，(x＋1)2＝(x＋3)から x2＋2x＋1＝x＋3 整理すると (x＋2)(x－1)＝0 (ⅰ)から x＝1 ② 真数は正であるから x＞0 かつ x2＞0 すなわち x＞0 ……(ⅰ) log1 2 𝑥 = 𝑡とおくと， log1 2 𝑥2= 2 log 1 2 𝑥 = 2𝑡から，方程式は 𝑡2+ 2𝑡 = 0 𝑡(𝑡 + 2) = 0 これを解くと 𝑡 = 0， − 2 すなわち log1 2 𝑥 = 0， − 2 よって 𝑥 = (1 2) 0 ， (1 2) −2 したがって x＝1，4 これは，(ⅰ)を満たす。 (3) ① x2＋5＞0 であるから，真数はつねに正である。 − 2 = log1 3 (1 3) −2 = log1 3 9 よって，不等式は log1 3 (𝑥2+ 5) > log 1 3 9
② 真数は正であるから x＞0 かつ x＋1＞0 すなわち x＞0 ……(ⅰ) ここで， log4(𝑥 + 1) = log2(𝑥 + 1) log24 =log2(𝑥 + 1) 2 であるから，不等式の両辺に 2 を掛けると 2log2x＋log2(x＋1)＜1 すなわち log2x2(x＋1)＜log22
よって，底 2 は 1 より大きいから x2(x＋1)＜2 すなわち x3＋x2－2＜0 左辺を因数分解すると (x－1)(x2＋2x＋2)＜0 x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0 であることから， 不等式の解は x＜1 ……(ⅱ) (ⅰ)，(ⅱ)の共通な範囲を求めて 0＜x＜1 1 1 1 0 －2 1 2 2 1 2 2 0
１２
(1) 関数𝑦 = (log1 9 𝑥) 2 + log3𝑥 の最小値を求めよ。 (2) 関数𝑦 = (log22𝑥) (log1 4 𝑥) の最大値を求めよ。解答
(1) log1 9 𝑥 =log3𝑥 log319 =log3𝑥 −2 より，𝑦 = (log3𝑥)2 4 + log3𝑥 であるから log3𝑥 = 𝑡とおくと 𝑦 = 𝑡2 4 + 𝑡 = 1 4(𝑡 2+ 4𝑡) =1 4{(𝑡 + 2) 2− 4} =1 4(𝑡 + 2) 2− 1 𝑡 = −2 のとき最小値 − 1 をとる。𝑡 = −2 のとき log3𝑥 = −2 よって 𝑥 = 3−2=1 9 したがって，この関数は 𝒙 =𝟏 𝟗のとき最小値 − 𝟏をとる。 (2) 𝑦 = (log22𝑥) (log1 4 𝑥) = (1 + log2𝑥) ( log2𝑥 log214 ) = (1 + log2𝑥) ( log2𝑥 −2 ) であるから log2𝑥 = 𝑡とおくと 𝑦 = (1 + 𝑡) (− 1 2𝑡) = − 1 2(𝑡 2+ 𝑡) = −1 2{(𝑡 + 1 2) 2 −1 4} = − 1 2(𝑡 + 1 2) 2 +1 8 𝑡 = −1 2のとき最大値 1 8をとる。𝑡 = − 1 2のとき log2𝑥 = − 1 2 よって 𝑥 = 2 −12 = √1 2= √2 2 したがって，この関数は 𝒙 =√𝟐 𝟐 のとき最大値 𝟏 𝟖をとる。１３
log102＝0.3010 とする。次の問いに答えよ。 (1) 520は何桁の整数か。 (2) (1 4) 25 は小数で表すと，小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか。解答
(1) 520の常用対数の値を求める。 log10520= 20 log105 = 20 log1010 2 = 20(log1010 − log102) = 20(1 − 0.3010) = 13.98 よって 520＝1013.98 1013＜1013.98＜1014であるから 1013＜520＜1014 したがって，520は 14 桁の整数である。 (2) log10( 1 4) 25 = 25 log10 1 4= 25 ∙ (− log104) = 25 ∙ (−2 log102) = 25 ∙ (−2 ∙ 0.3010) = −15.05 よって (1 4) 25 = 10−15.05 10−16 < 10−15.05< 10−15であるから 10−16< (1 4) 25 < 10−15 したがって (1 4) 25 は小数第𝟏𝟔位に初めて𝟎でない数字が現れる。
研究
log102＝0.3010，log103＝0.4771 とし，N＝620とする。次の問いに答えよ。
(1) N は何桁の整数か。 (2) N の最高位の数を求めよ。 (3) N の一の位の数を求めよ。
解答
(1) log10620＝20log106＝20(log102＋log103)＝20(0.3010＋0.4771)＝15.562
よって 620＝1015.562 1015＜1015.562＜1016であるから 1015＜620＜1016 したがって，620は 16 桁の整数である。
(2) (1)から log10620＝15.562＝15＋0.562 ここで，log103＝0.4771，log104＝2log102＝0.6020 であるから log103＜0.562＜log104 よって 3＜100.562＜4 各辺に 1015を掛けると 3∙1015＜1015.562＜4∙1015 すなわち 3∙1015＜620＜4∙1015 したがって，620の最高位の数は 3 (3) 6 を n 乗したときの一の位の数を anとする。 61＝6 より a 1＝6， 62＝36 より a2＝6， 63＝216 より a3＝6，…… 6nの一の位の数はつねに 6 である。よって a20＝6 したがって，620の一の位の数は 6
